Barycentre dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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📊 En Sciences Économiques : le barycentre formalise la notion de moyenne pondérée (ex. prix moyen pondéré, point d'équilibre).

I. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Soient $A$ et $B$ deux points du plan, $α$ et $β$ deux réels tels que $α + β \neq = 0$ . Le barycentre du système pondéré ${(A, α); (B, β)}$ est l'unique point $G$ vérifiant :

$α G A + β GB = 0$

Formule pratique

Pour tout point $M$ du plan : $M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$ .

En particulier (avec $M = O$ origine) :

$G = \frac{α A + β B}{α + β}$

Cas particulier : milieu

Si $α = β = 1$ , alors $G$ est le milieu de $[A B]$ .

II. Propriétés du barycentre

Homogénéité : Multiplier tous les poids par un même réel $k \neq = 0$ ne change pas le barycentre.
Le barycentre appartient à la droite $(A B)$ .
Position du barycentre :
- Si $α$ et $β$ sont de même signe : $G \in [A B]$
- Si $α$ et $β$ sont de signes opposés : $G$ est à l'extérieur du segment $[A B]$

III. Barycentre de trois points pondérés

Définition

Soient $A, B, C$ trois points et $α, β, γ$ trois réels tels que $α + β + γ \neq = 0$ . Le barycentre de ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ est l'unique point $G$ tel que :

$α G A + β GB + γ GC = 0$

Formule pratique

$M G = \frac{α M A + β M B + γ M C}{α + β + γ}$

Cas particulier : centre de gravité

Si $α = β = γ = 1$ (ou tous égaux), $G$ est le centre de gravité du triangle $A B C$ , à l'intersection des médianes.

IV. Associativité du barycentre

Théorème (associativité)

Soit $G$ le barycentre de ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ avec $α + β \neq = 0$ . Si $H$ est le barycentre de ${(A, α); (B, β)}$ , alors :

$G est le barycentre de {(H, α + β); (C, γ)}$

Très utile pour simplifier les calculs et localiser le barycentre.

V. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $A B C$ un triangle. $G$ est le barycentre de ${(A, 2); (B, 1); (C, - 1)}$ . Construire $G$ .

Solution (associativité) :

Soit $H$ le barycentre de ${(B, 1); (C, - 1)}$ . Comme $1 + (- 1) = 0$ , ce barycentre n'existe pas... On regroupe différemment.

Soit $H$ le barycentre de ${(A, 2); (B, 1)}$ . $H = \frac{2 A + B}{3}$ , donc $H$ est sur $[A B]$ à $1/3$ de $B$ .
Alors $G$ est barycentre de ${(H, 3); (C, - 1)}$ . Et $G = \frac{3 H - C}{2}$ . Donc $G$ est sur la droite $(H C)$ , à l'extérieur de $[H C]$ , du côté de $H$ .

VI. Top 4 pièges à éviter

Diviser par 0. Toujours vérifier que la somme des poids est $\neq = 0$ .
Mettre des poids négatifs sans réfléchir. Le signe affecte la position de $G$ .
Mal appliquer l'associativité. Vérifier que la somme partielle est $\neq = 0$ avant de regrouper.
Confondre $G A$ et $A G$ . Sens opposés. La définition utilise $G A$ .

📈 Figure clé

Barycentre de deux points pondérés

🔑 Formules clés à retenir

Barycentre de 2 points ( $α + β \neq = 0$ ) :

$α G A + β GB = 0$

$M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$

Milieu : $α = β = 1$

Centre de gravité : $α = β = γ = 1$

Associativité : on peut regrouper 2 points

en leur barycentre partiel (si somme $\neq = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour construire un barycentre : utilise l'associativité pour le ramener à un barycentre de 2 points (plus simple).
🎯 Multiplier tous les poids par un même réel ne change rien. Tu peux donc simplifier (ex : poids $4, 6, - 2$ → $2, 3, - 1$ ).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Barycentre dans le plan

Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Quand ? On donne $A$ , $B$ et des coefficients $α$ , $β$ avec $α + β \neq = 0$ , et on cherche $G$ .

Vérifie que $α + β \neq = 0$ (sinon le barycentre n'existe pas).
Écris la relation $α G A + β GB = 0$ .
Transforme pour isoler un vecteur : $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
Place $G$ sur la droite $(A B)$ grâce à ce coefficient.
Vérifie la position (entre $A$ et $B$ si les coefficients sont de même signe).

Exemple éclair : $G = bar {(A, 1), (B, 3)}$ : $A G = \frac{3}{4} A B$ , donc $G$ est aux trois quarts de $[A B]$ vers $B$ .

Type 2 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Quand ? Les points sont donnés par leurs coordonnées et on veut celles de $G$ .

Vérifie $α + β (+ γ) \neq = 0$ .
Applique la formule : $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B}}{α + β}$ .
De même : $y_{G} = \frac{α y _{A} + β y _{B}}{α + β}$ .
Pour trois points, ajoute le terme $γ$ au numérateur et au dénominateur.
Simplifie et écris $G (x_{G}; y_{G})$ .

Exemple éclair : $A (2; 0)$ , $B (4; 6)$ , $G = bar {(A, 1), (B, 1)}$ : $x_{G} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ , $y_{G} = \frac{0 + 6}{2} = 3$ , donc $G (3; 3)$ (milieu).

Type 3 : Réduire une expression vectorielle $α M A + β M B$

Quand ? On veut simplifier une somme de vecteurs dépendant d'un point variable $M$ .

Vérifie le signe de la somme $S = α + β (+ γ)$ .
Si $S \neq = 0$ : introduis $G$ le barycentre, alors $α M A + β M B = S M G$ .
Si $S = 0$ : la somme est un vecteur constant indépendant de $M$ (de la forme $α B A$ ).
Remplace dans l'expression initiale.
Conclus la forme réduite.

Exemple éclair : $2 M A + M B = 3 M G$ où $G = bar {(A, 2), (B, 1)}$ .

Type 4 : Montrer qu'un point est barycentre / alignement

Quand ? On demande de prouver que $G$ est barycentre, ou que trois points sont alignés.

Pars de la relation donnée et fais apparaître $α G A + β GB = 0$ .
Identifie les coefficients : $G$ est $bar {(A, α), (B, β)}$ .
Pour un alignement : montre que $G$ s'exprime comme barycentre de deux des points.
Conclus que $G$ appartient à la droite $(A B)$ .
Vérifie la cohérence des coefficients.

Exemple éclair : Si $A G = \frac{2}{5} A B$ alors $G = bar {(A, 3), (B, 2)}$ , donc $A$ , $G$ , $B$ alignés.

Type 5 : Barycentre de trois points et associativité

Quand ? On a trois points pondérés et on veut simplifier en regroupant deux d'entre eux.

Vérifie que la somme totale des coefficients est non nulle.
Choisis deux points à regrouper et calcule leur barycentre partiel $H$ .
Affecte à $H$ la somme des deux coefficients regroupés.
Réécris $G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$ (théorème d'associativité).
Construis ou calcule $G$ à partir de $H$ et $C$ .

Exemple éclair : $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}$ : pose $I$ milieu de $[A B]$ , alors $G = bar {(I, 2), (C, 2)}$ = milieu de $[I C]$ .

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Quand ? On cherche l'ensemble des points $M$ tels que $∥ α M A + β M B ∥ = k$ ou une relation vectorielle.

Réduis $α M A + β M B$ avec le barycentre $G$ : on obtient $S M G$ .
Remplace dans l'égalité : $∥ S M G ∥ = k$ devient $M G = \frac{k}{∣ S ∣}$ .
Reconnais la nature : $M G = r$ est un cercle de centre $G$ et de rayon $r$ .
Si l'égalité fait intervenir un vecteur fixe, reconnais une droite.
Précise centre/rayon ou direction et conclus.

Exemple éclair : $∥ M A + M B ∥ = 4$ donne $∥ 2 M I ∥ = 4$ ( $I$ milieu), soit $M I = 2$ : cercle de centre $I$ , rayon $2$ .

Type 7 : Utiliser le barycentre pour les points particuliers d'un triangle

Quand ? On veut caractériser le centre de gravité ou un point construit sur les médianes.

Le centre de gravité $G$ d'un triangle $A B C$ est $bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}$ .
Ses coordonnées : $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ , $y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}$ .
Relation utile : $G A + GB + GC = 0$ .
$G$ est sur chaque médiane aux deux tiers depuis le sommet : $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ .
Exploite ces relations pour les calculs ou constructions.

Exemple éclair : $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 6)$ : $G (2; 2)$ , et $G A + GB + GC = 0$ .

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Barycentre de 2 points

Facile

Énoncé

Soient

A

B

deux points. Construire le barycentre

G

{(A, 3); (B, 2)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Coefficients de somme nulle

Facile

Énoncé

Soient

A

B

C

trois points. Les coefficients

(2, - 3, 1)

permettent-ils de définir un barycentre ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Vérification définition

Facile

Énoncé

Soit

A (0, 0)

B (6, 0)

. Vérifier que

G (4, 0)

est barycentre de

{(A, 1), (B, 2)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Centre de gravité

Facile

Énoncé

Soient

A (1, 2)

B (4, 5)

C (- 2, 8)

. Calculer les coordonnées du centre de gravité

G

du triangle

A B C

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Barycentre de 3 points

Facile

Énoncé

Soient

A (1, 2)

B (4, - 1)

C (- 2, 3)

. Calculer les coordonnées du barycentre

G

du système

{(A, 1), (B, 2), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Isobarycentre = centre de gravité

Facile

Énoncé

Soit

A B C

un triangle,

G

son centre de gravité. Démontrer que

G

est le barycentre du système

{(A, 1), (B, 1), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Milieu et barycentre

Facile

Énoncé

Soient

A (2, 3)

B (8, - 1)

. Vérifier que le milieu

I

[A B]

est le barycentre de

{(A, 1), (B, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

7 exercices

Vecteur constant si somme nulle

Intermédiaire

Énoncé

Soient

A

B

C

trois points. Montrer que le vecteur

w = M A - 2 M B + M C

est indépendant du point

M

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Barycentre et alignement

Intermédiaire

Énoncé

Soient

A

B

deux points distincts. Trouver le point

M

sur la droite

(A B)

tel que

M A + 3 M B = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Médiane et centre de gravité

Intermédiaire

Énoncé

Soit

A B C

un triangle et

A^{'}

le milieu de

[B C]

. Démontrer que le centre de gravité

G

vérifie

A G = \frac{2}{3} A A^{'}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Lieu géométrique

Intermédiaire

Énoncé

Soient

A

B

deux points distincts. Déterminer l'ensemble des points

M

tels que

2 M A + 3 M B = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Centre de gravité

Intermédiaire

Énoncé

Soit

A B C

un triangle,

G

son centre de gravité. Montrer que

G A + GB + GC = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Associativité du barycentre

Intermédiaire

Énoncé

Soient

A

B

C

trois points.

H = bar {(A, 2), (B, 3)}

G = bar {(H, 5), (C, 1)}

. Montrer que

G = bar {(A, 2), (B, 3), (C, 1)}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Réduction d'une somme vectorielle

Intermédiaire

Énoncé

Soient

A

B

C

M

quatre points du plan. Réduire la somme

u = M A + 2 M B - M C

en fonction d'un seul vecteur.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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II. Propriétés du barycentre

III. Barycentre de trois points pondérés

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Cas particulier : centre de gravité

IV. Associativité du barycentre

Théorème (associativité)

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VI. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

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Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Type 2 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Type 3 : Réduire une expression vectorielle αMA+βMB

Type 4 : Montrer qu'un point est barycentre / alignement

Type 5 : Barycentre de trois points et associativité

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Type 7 : Utiliser le barycentre pour les points particuliers d'un triangle

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Barycentre de 2 points

Coefficients de somme nulle

Vérification définition

Centre de gravité

Barycentre de 3 points

Isobarycentre = centre de gravité

Milieu et barycentre

Exercices Intermédiaires

Vecteur constant si somme nulle

Barycentre et alignement

Médiane et centre de gravité

Lieu géométrique

Centre de gravité

Associativité du barycentre

Réduction d'une somme vectorielle

Exercices supplémentaires

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