Barycentre dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Soient $A$ et $B$ deux points du plan, $α$ et $β$ deux réels tels que $α + β \neq = 0$ . Le barycentre du système pondéré ${(A, α); (B, β)}$ est l'unique point $G$ vérifiant :

$α G A + β GB = 0$

Formule pratique

Pour tout point $M$ du plan : $M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$ .

En particulier (avec $M = O$ origine) :

$G = \frac{α A + β B}{α + β}$

Cas particulier : milieu

Si $α = β = 1$ , alors $G$ est le milieu de $[A B]$ .

II. Propriétés du barycentre

Homogénéité : Multiplier tous les poids par un même réel $k \neq = 0$ ne change pas le barycentre.
Le barycentre appartient à la droite $(A B)$ .
Position du barycentre :
- Si $α$ et $β$ sont de même signe : $G \in [A B]$
- Si $α$ et $β$ sont de signes opposés : $G$ est à l'extérieur du segment $[A B]$

III. Barycentre de trois points pondérés

Définition

Soient $A, B, C$ trois points et $α, β, γ$ trois réels tels que $α + β + γ \neq = 0$ . Le barycentre de ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ est l'unique point $G$ tel que :

$α G A + β GB + γ GC = 0$

Formule pratique

$M G = \frac{α M A + β M B + γ M C}{α + β + γ}$

Cas particulier : centre de gravité

Si $α = β = γ = 1$ (ou tous égaux), $G$ est le centre de gravité du triangle $A B C$ , à l'intersection des médianes.

IV. Associativité du barycentre

Théorème (associativité)

Soit $G$ le barycentre de ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ avec $α + β \neq = 0$ . Si $H$ est le barycentre de ${(A, α); (B, β)}$ , alors :

$G est le barycentre de {(H, α + β); (C, γ)}$

Très utile pour simplifier les calculs et localiser le barycentre.

V. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $A B C$ un triangle. $G$ est le barycentre de ${(A, 2); (B, 1); (C, - 1)}$ . Construire $G$ .

Solution (associativité) :

Soit $H$ le barycentre de ${(B, 1); (C, - 1)}$ . Comme $1 + (- 1) = 0$ , ce barycentre n'existe pas... On regroupe différemment.

Soit $H$ le barycentre de ${(A, 2); (B, 1)}$ . $H = \frac{2 A + B}{3}$ , donc $H$ est sur $[A B]$ à $1/3$ de $B$ .
Alors $G$ est barycentre de ${(H, 3); (C, - 1)}$ . Et $G = \frac{3 H - C}{2}$ . Donc $G$ est sur la droite $(H C)$ , à l'extérieur de $[H C]$ , du côté de $H$ .

VI. Top 4 pièges à éviter

Diviser par 0. Toujours vérifier que la somme des poids est $\neq = 0$ .
Mettre des poids négatifs sans réfléchir. Le signe affecte la position de $G$ .
Mal appliquer l'associativité. Vérifier que la somme partielle est $\neq = 0$ avant de regrouper.
Confondre $G A$ et $A G$ . Sens opposés. La définition utilise $G A$ .

📈 Figure clé

Barycentre de deux points pondérés

🔑 Formules clés à retenir

Barycentre de 2 points ( $α + β \neq = 0$ ) :

$α G A + β GB = 0$

$M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$

Milieu : $α = β = 1$

Centre de gravité : $α = β = γ = 1$

Associativité : on peut regrouper 2 points

en leur barycentre partiel (si somme $\neq = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour construire un barycentre : utilise l'associativité pour le ramener à un barycentre de 2 points (plus simple).
🎯 Multiplier tous les poids par un même réel ne change rien. Tu peux donc simplifier (ex : poids $4, 6, - 2$ → $2, 3, - 1$ ).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Barycentre dans le plan

Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Quand ? On donne $A$ , $B$ et des coefficients $α$ , $β$ , on demande de placer $G = bar {(A, α), (B, β)}$ .

Vérifie que $α + β \neq = 0$ (sinon le barycentre n'existe pas).
Utilise la relation réduite $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
Calcule le coefficient $k = \frac{β}{α + β}$ pour situer $G$ sur la droite $(A B)$ .
Place $G$ à partir de $A$ dans le sens de $A B$ (entre $A$ et $B$ si $0 < k < 1$ ).

Exemple éclair : $G = bar {(A, 1), (B, 3)}$ donne $A G = \frac{3}{4} A B$ : $G$ est aux trois quarts de $[A B]$ côté $B$ .

Type 2 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Quand ? On a les coordonnées de $A$ , $B$ (et $C$ ) et leurs coefficients, on veut celles de $G$ .

Vérifie que la somme des coefficients $s = α + β + γ$ est non nulle.
Applique $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B} + γ x _{C}}{s}$ .
Applique de même $y_{G} = \frac{α y _{A} + β y _{B} + γ y _{C}}{s}$ .
Donne $G$ sous la forme $G (x_{G}; y_{G})$ .

Exemple éclair : Avec $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ coefficients $1$ et $2$ : $x_{G} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{3} = 2$ , $y_{G} = 0$ , donc $G (2; 0)$ .

Type 3 : Réduire une somme vectorielle $α M A + β M B + \dots$

Quand ? Une expression dépend d'un point variable $M$ et on veut la simplifier avec un barycentre.

Calcule la somme des coefficients $s$ .
Si $s \neq = 0$ : introduis $G$ le barycentre, alors $α M A + β M B + γ M C = s M G$ .
Si $s = 0$ : la somme est un vecteur constant indépendant de $M$ (calcule-le avec un point pratique).
Remplace dans l'expression de départ.

Exemple éclair : $M A + M B + M C = 3 M G$ où $G$ est l'isobarycentre (centre de gravité).

Type 4 : Montrer qu'un point est barycentre (ou l'identifier)

Quand ? On demande de prouver que $G$ donné est le barycentre d'un système, ou d'identifier le centre de gravité.

Pars de la définition $α G A + β GB + γ GC = 0$ .
Exprime chaque vecteur via un point connu, ou utilise les coordonnées.
Vérifie l'égalité à $0$ après calcul.
Conclus : $G$ est bien le barycentre avec ces coefficients (le centre de gravité = isobarycentre, coefficients égaux).

Exemple éclair : Le centre de gravité $G$ d'un triangle vérifie $G A + GB + GC = 0$ .

Type 5 : Utiliser l'associativité du barycentre

Quand ? Trois points pondérés, et on veut faire apparaître un point intermédiaire (milieu, alignement).

Regroupe deux des points en un barycentre partiel $H$ (avec la somme de leurs coefficients).
Remplace ces deux points par $(H, somme)$ : $G$ devient barycentre de $H$ et du troisième point.
Déduis que $G$ appartient à la droite reliant $H$ au troisième point.
Conclus sur l'alignement ou l'intersection cherchée.

Exemple éclair : $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}$ et $I$ milieu de $[A B]$ : $G = bar {(I, 2), (C, 2)}$ , donc $G$ est le milieu de $[I C]$ .

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Quand ? On cherche l'ensemble des $M$ vérifiant $∥ α M A + β M B ∥ = k$ ou une égalité de normes.

Réduis la somme vectorielle au barycentre $G$ : $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
L'égalité devient $∣ α + β ∣ \cdot M G = k$ , donc $M G = \frac{k}{∣ α + β ∣}$ : c'est un cercle de centre $G$ .
Si l'énoncé donne $∥ \dots ∥ = ∥ \dots ∥$ avec sommes nulles, on obtient une droite (médiatrice ou parallèle).
Précise centre et rayon (ou la nature exacte) de l'ensemble.

Exemple éclair : $∥ M A + M B ∥ = 4$ donne $2 M I = 4$ où $I$ est le milieu de $[A B]$ , soit le cercle de centre $I$ et rayon $2$ .

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Barycentre de 2 points

Facile

Énoncé

Soient

A

B

deux points. Construire le barycentre

G

{(A, 3); (B, 2)}

Ma réponse

Barycentre dans le plan

Barycentre dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Formule pratique

Cas particulier : milieu

II. Propriétés du barycentre

III. Barycentre de trois points pondérés

Définition

Formule pratique

Cas particulier : centre de gravité

IV. Associativité du barycentre

Théorème (associativité)

V. Méthode BAC type 2024

VI. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Barycentre dans le plan

Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Type 2 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Type 3 : Réduire une somme vectorielle αMA+βMB+…

Type 4 : Montrer qu'un point est barycentre (ou l'identifier)

Type 5 : Utiliser l'associativité du barycentre

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Barycentre de 2 points

Coefficients de somme nulle

Vérification définition

Centre de gravité

Barycentre de 3 points

Isobarycentre = centre de gravité

Milieu et barycentre

Exercices Intermédiaires

Vecteur constant si somme nulle

Barycentre et alignement

Médiane et centre de gravité

Lieu géométrique

Centre de gravité

Associativité du barycentre

Réduction d'une somme vectorielle

Exercices Difficiles

Centre de gravité — propriété 2/3

Lieu : cercle

Associativité

Lieu géométrique

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Barycentre dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

Type 3 : Réduire une somme vectorielle $α M A + β M B + \dots$