I. Vecteurs de l'espace

Repère orthonormé direct

$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ avec $\Vert \vec{i}\Vert =\Vert \vec{j}\Vert =\Vert \vec{k}\Vert =1$ et les 3 vecteurs orthogonaux 2 à 2.

Coordonnées d'un vecteur

Tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit de façon unique : $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. On note $\vec{u}(x,y,z)$.

II. Opérations sur les vecteurs

Soient $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

• Somme : $\vec{u}+\vec{v}=(x+x^{\prime },y+y^{\prime },z+z^{\prime })$
• Multiplication par un scalaire : $\lambda \vec{u}=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$
• Vecteur opposé : $-\vec{u}=(-x,-y,-z)$

III. Norme et distance

• $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• Distance entre $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ :
  $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$

IV. Colinéarité de deux vecteurs

Critère pratique

$\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ sont colinéaires ssi $\{\begin{array}{l}x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0\\ y{z}^{\prime }-z{y}^{\prime }=0\\ x{z}^{\prime }-z{x}^{\prime }=0\end{array}$

V. Coplanarité de trois vecteurs

Critère de coplanarité de 4 points

4 points $A,B,C,D$ sont coplanaires ssi les vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Dans un repère orthonormé, soient $A(1,0,2)$, $B(2,1,0)$, $C(0,1,1)$.
1) Calculer $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$.
2) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ?

Solution :

1) $\overrightarrow{AB}=(1,1,-2)$, donc $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$.
$\overrightarrow{AC}=(-1,1,-1)$, donc $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$.

2) $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ssi $1\times 1-1\times (-1)=0$, soit $1+1=2\ne 0$. Donc NON colinéaires.

VII. Top 4 pièges à éviter

1. Confondre coordonnées de point et de vecteur. Un point a un nom (ex : $A$), un vecteur aussi (ex : $\vec{u}$).
2. Oublier la racine carrée dans la norme.
3. Confondre colinéaires et coplanaires. 2 vecteurs sont colinéaires ; 3 vecteurs sont coplanaires.
4. Croire que 4 points alignés sont coplanaires. Vrai, mais réciproque fausse : 4 points coplanaires ne sont pas forcément alignés.