Étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Plan d'étude d'une fonction

Étapes à suivre

Domaine de définition $D_{f}$ .
Parité / périodicité : réduction éventuelle du domaine d'étude.
Limites aux bornes de $D_{f}$ (et continuité).
Dérivée $f^{'} (x)$ , signe, tableau de variations.
Branches infinies et asymptotes.
Points particuliers : intersections avec $(O x)$ , $(O y)$ , tangentes remarquables.
Tracé de la courbe $C_{f}$ .

II. Asymptotes

Asymptote verticale

Si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ , la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $C_{f}$ .

Asymptote horizontale

Si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ ( $ℓ \in R$ ), la droite d'équation $y = ℓ$ est une asymptote horizontale à $C_{f}$ en $\pm \infty$ .

Asymptote oblique

La droite d'équation $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) est une asymptote oblique à $C_{f}$ en $+ \infty$ (resp. $- \infty$ ) si :

$x \to + \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$

Méthode de recherche

Calculer $a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ . Si finie et non nulle, continuer.
Calculer $b = x \to + \infty lim [f (x) - a x]$ . Si finie, alors $y = a x + b$ est asymptote oblique.
Position : étudier le signe de $f (x) - (a x + b)$ pour savoir si $C_{f}$ est au-dessus ou en dessous.

III. Branches paraboliques

Branche parabolique

Lorsqu'il n'y a pas d'asymptote oblique, on étudie $lim \frac{f ( x )}{x}$ :

Si $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \pm \infty$ : branche parabolique de direction $(O y)$ .
Si $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ (avec $lim f = \pm \infty$ ) : branche parabolique de direction $(O x)$ .
Si $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a$ (fini non nul) et $lim [f (x) - a x] = \pm \infty$ : branche parabolique de direction $y = a x$ .

IV. Éléments de symétrie

Axe de symétrie vertical $x = a$

$C_{f}$ admet la droite $x = a$ comme axe de symétrie si :

$\forall x \in D_{f}, 2 a - x \in D_{f}$ et $f (2 a - x) = f (x)$

Cas particulier : $a = 0$ $\Leftrightarrow$ $f$ paire.

Centre de symétrie $Ω (a, b)$

$C_{f}$ admet le point $Ω (a; b)$ comme centre de symétrie si :

$\forall x \in D_{f}, 2 a - x \in D_{f}$ et $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$

Cas particulier : $Ω = O$ $\Leftrightarrow$ $f$ impaire.

V. Position relative de deux courbes

Comparer $C_{f}$ et $C_{g}$

Étudier le signe de $f (x) - g (x)$ sur $D_{f} \cap D_{g}$ :

$f (x) - g (x) > 0$ $\Rightarrow$ $C_{f}$ au-dessus de $C_{g}$
$f (x) - g (x) < 0$ $\Rightarrow$ $C_{f}$ en dessous de $C_{g}$
$f (x) - g (x) = 0$ $\Rightarrow$ point d'intersection

VI. Points remarquables et tangentes

Intersection avec $(O x)$ : résoudre $f (x) = 0$ .
Intersection avec $(O y)$ : calculer $f (0)$ si $0 \in D_{f}$ .
Tangente horizontale : $f^{'} (x) = 0$ .
Point à tangente verticale : $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = \pm \infty$ .
Point d'inflexion : $f^{''} (x)$ s'annule en changeant de signe (changement de convexité).

VII. Étude réduite par parité ou périodicité

Domaine d'étude

$f$ paire : étudier sur $D_{f} \cap [0, + \infty [$ , puis symétrie / $(O y)$ .
$f$ impaire : étudier sur $D_{f} \cap [0, + \infty [$ , puis symétrie / $O$ .
$f$ T-périodique : étudier sur $[a, a + T]$ , puis translations de vecteur $T \cdot i$ .
Combinaison (périodique + paire/impaire) : étudier sur $[0, T /2]$ .

VIII. Exemple-type : fonction rationnelle avec asymptote oblique

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$

1. Domaine : $D_{f} = R ∖ {1}$ .

2. Division euclidienne : $x^{2} + 1 = (x - 1) (x + 1) + 2$ , donc $f (x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

3. Limites : $x \to 1^{+} lim f = + \infty$ ; $x \to 1^{-} lim f = - \infty$ $\Rightarrow$ $x = 1$ asymptote verticale.

$x \to \pm \infty lim [f (x) - (x + 1)] = lim \frac{2}{x - 1} = 0$ $\Rightarrow$ $y = x + 1$ asymptote oblique.

4. Dérivée : $f^{'} (x) = 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ . $f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow$ $(x - 1)^{2} = 2$ $\Leftrightarrow$ $x = 1 \pm 2$ .

5. Variations : croissante sur $] - \infty, 1 - 2]$ , décroissante sur $[1 - 2, 1 [$ , décroissante sur $] 1, 1 + 2]$ , croissante sur $[1 + 2, + \infty [$ .

6. Position / asymptote oblique : $f (x) - (x + 1) = \frac{2}{x - 1}$ . Positif si $x > 1$ ( $C_{f}$ au-dessus), négatif si $x < 1$ (en dessous).

7. Centre de symétrie : on vérifie que $f (2 - x) + f (x) = 2 \cdot 2 = 4$ , donc $Ω (1; 2)$ est centre de symétrie.

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{3} - 3 x

: maximum local puis minimum local

🔑 Formules clés à retenir

Plan d'étude : Domaine → Parité/Période → Limites → Dérivée et variations → Asymptotes/branches → Points remarquables → Tracé
Asymptote verticale : $x \to a lim f = \pm \infty$ ⇒ $x = a$
Asymptote horizontale : $x \to \pm \infty lim f = ℓ$ ⇒ $y = ℓ$
Asymptote oblique y = ax+b : $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ , $b = lim [f (x) - a x]$
Position : signe de $f (x) - (a x + b)$
Axe $x = a$ : $f (2 a - x) = f (x)$ · Centre $Ω (a, b)$ : $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$
Branches paraboliques : si $\frac{f ( x )}{x} \to \pm \infty$ direction (Oy), $\to 0$ direction (Ox)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Asymptote horizontale ≠ pas d'intersection : une asymptote horizontale $y = ℓ$ peut être franchie par la courbe — la définition dit juste que $f (x) \to ℓ$ en $\pm \infty$ , pas que $f (x) \neq = ℓ$ pour tout $x$ fini !

❌

Asymptote oblique : ordre des calculs : d'abord calculer $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ , PUIS $b = lim [f (x) - a x]$ . Inverser l'ordre donne des erreurs.

❌

Oublier l'étude de position par rapport aux asymptotes : après avoir trouvé une asymptote $y = a x + b$ , calculer le signe de $f (x) - (a x + b)$ pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous.

🟢 Astuces de pros

✅

Plan d'étude dans l'ordre : ne pas sauter d'étapes ! Le domaine d'abord (il conditionne tout), puis la parité (qui réduit le travail de moitié si $f$ est paire/impaire).

✅

Trouver les points d'inflexion : calculer $f^{''}$ , résoudre $f^{''} (x) = 0$ , vérifier que $f^{''}$ change de signe. Le point d'inflexion est là où la courbure change de sens.

💡

Centre de symétrie : si $Ω (a, b)$ est centre de symétrie, alors $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ pour tout $x$ . Vérifier cette relation algébriquement après avoir identifié le candidat.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Étude de fonctions

Type 1 : Mener le plan d'étude complet d'une fonction

Quand ? « Étudier la fonction $f$ » (problème de synthèse, partie longue de l'examen).

Détermine $D_{f}$ et, si utile, la parité / périodicité pour réduire l'intervalle d'étude.
Calcule les limites aux bornes de $D_{f}$ .
Calcule $f^{'} (x)$ , étudie son signe, dresse le tableau de variations.
Étudie les branches infinies (asymptotes).
Place quelques points utiles (intersections avec les axes, tangentes) puis trace $C_{f}$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ : $D_{f} = R^{*}$ , $f$ impaire, $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ , asymptote oblique $y = x$ .

Type 2 : Asymptote verticale

Quand ? $f$ n'est pas définie en $x_{0}$ (valeur interdite) et on étudie le comportement près de $x_{0}$ .

Calcule $x \to x_{0} lim f (x)$ (à gauche et à droite si nécessaire).
Si une de ces limites vaut $+ \infty$ ou $- \infty$ , la droite $x = x_{0}$ est asymptote verticale.
Précise les signes ( $+ \infty$ ou $- \infty$ ) de chaque côté pour le tracé.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ : $x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ , donc $x = 2$ est asymptote verticale.

Type 3 : Asymptote horizontale

Quand ? On étudie la limite de $f$ en $+ \infty$ ou $- \infty$ et elle est finie.

Calcule $x \to + \infty lim f (x)$ (et/ou en $- \infty$ ).
Si cette limite vaut un réel $ℓ$ , la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale.
Pour le tracé, étudie le signe de $f (x) - ℓ$ afin de savoir si $C_{f}$ est au-dessus ou en dessous de l'asymptote.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ : $x \to + \infty lim f (x) = 2$ , donc $y = 2$ est asymptote horizontale.

Type 4 : Asymptote oblique

Quand ? $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ et on soupçonne une droite $y = a x + b$ ; souvent fraction rationnelle (degré du haut = degré du bas $+ 1$ ).

Calcule $a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (doit être un réel non nul).
Calcule $b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ (doit être un réel). Astuce : la division euclidienne donne directement $a$ et $b$ .
Conclus : la droite $(D) : y = a x + b$ est asymptote oblique.
Étudie le signe de $f (x) - (a x + b)$ pour la position relative.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ : la droite $y = x$ est asymptote oblique en $\pm \infty$ .

Type 5 : Reconnaître une branche parabolique

Quand ? $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ mais il n'y a pas d'asymptote oblique.

Calcule $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ .
Si cette limite est $\pm \infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(O y)$ .
Si elle vaut $0$ : branche parabolique de direction l'axe $(O x)$ .
Si elle vaut un réel $a$ mais $f (x) - a x \to \pm \infty$ : branche parabolique de direction la droite $y = a x$ .

Exemple éclair : $f (x) = x$ : $x \to + \infty lim \frac{x}{x} = 0$ , branche parabolique de direction $(O x)$ .

Type 6 : Dresser le tableau de variations

Quand ? Étape centrale de toute étude : organiser limites, signe de $f^{'}$ et variations.

Trace les colonnes : $x$ varie des bornes de $D_{f}$ ; place les valeurs où $f^{'} (x) = 0$ ou où $f$ n'est pas définie.
Reporte la ligne du signe de $f^{'} (x)$ .
Déduis les flèches de $f$ : croît quand $f^{'} > 0$ , décroît quand $f^{'} < 0$ .
Inscris les limites et les extremums aux extrémités des flèches.

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ ; max local en $- 1$ , min local en $1$ , reportés dans le tableau.

Type 7 : Tracer la courbe représentative

Quand ? Dernière étape : « représenter graphiquement $C_{f}$ dans un repère ».

Trace d'abord les asymptotes (en pointillés) et repère leur position relative.
Place les points clés : intersections avec les axes, extremums, points à tangente remarquable.
Trace les tangentes utiles (notamment aux extremums : horizontales).
Relie en respectant les variations (tableau) ; exploite la parité / périodicité par symétrie ou translation.

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{1}{x}$ : asymptotes $x = 0$ et $y = 0$ , fonction impaire, on trace une branche puis on déduit l'autre par symétrie centrale.

Étude de fonctions — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

74 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 74 corrigés

Exercices Faciles

24 exercices

Asymptotes d'une fonction rationnelle

Facile

Énoncé

Pour chacune des fonctions, déterminer $D_{f}$ et les asymptotes éventuelles :

$f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}$
$g (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 1}$
$h (x) = \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}$

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Étude de fonctions

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Étapes à suivre

II. Asymptotes

Asymptote verticale

Asymptote horizontale

Asymptote oblique

Méthode de recherche

III. Branches paraboliques

Branche parabolique

IV. Éléments de symétrie

Axe de symétrie vertical x=a

Centre de symétrie Ω(a,b)

V. Position relative de deux courbes

Comparer Cf​ et Cg​

VI. Points remarquables et tangentes

VII. Étude réduite par parité ou périodicité

Domaine d'étude

VIII. Exemple-type : fonction rationnelle avec asymptote oblique

f(x)=x−1x2+1​

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Étude de fonctions

Type 1 : Mener le plan d'étude complet d'une fonction

Type 2 : Asymptote verticale

Type 3 : Asymptote horizontale

Type 4 : Asymptote oblique

Type 5 : Reconnaître une branche parabolique

Type 6 : Dresser le tableau de variations

Type 7 : Tracer la courbe représentative

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptotes d'une fonction rationnelle

Asymptote oblique simple

Parité et domaine d'étude

Centre de symétrie

Étude complète de f(x) = x² − 4x + 3

f(x) = 1/x sur ]0,+∞[ : variations et asymptotes

Domaine de définition d'une fonction

Domaine de définition d'une fonction

Parité d'une fonction

Limites aux bornes

Tableau de variations

Parité d'une fonction

Domaine de définition d'une fonction

Parité d'une fonction

Limite de fonction

Limites aux bornes

Domaine de définition d'une fonction

Parité de la fonction

Limites aux bornes

Tangent à l'origine

Étude d'une fonction irrationnelle et tangente en un point

Étude complète d'une fonction rationnelle simple — Bac Sénégal 2023

Étude complète d'une fonction rationnelle simple — Bac Sénégal 2023

Étude d'une fonction du second degré et sa parabole

Exercices Intermédiaires

Étude complète d'une fonction rationnelle

Branche parabolique

Étude d'une fonction irrationnelle

Fonction trigonométrique périodique

Étude complète de f(x) = x³ − 6x² + 9x

Étude complète de f(x) = (x−1)/(x+2)

Branches infinies et points d'inflexion

Énoncé

Axe et centre de symétrie d'une courbe

Énoncé

Étude complète d'une fonction polynôme du 3e degré

Énoncé

Fonction rationnelle impaire avec asymptote oblique

Énoncé

Fonction avec radical au dénominateur

Axe de symétrie vertical $x = a$

Centre de symétrie $Ω (a, b)$

Comparer $C_{f}$ et $C_{g}$

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$

Fonction polynôme $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Fonction $f (x) = x - \frac{1}{x - 2}$

Fonction $f (x) = \frac{3 x ^{4} + 1}{3 x ^{3}}$

Fonction $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + x} - x^{2} + x$

Fonction $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$