Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Notion de limite

Limite finie en un point

On dit que f admet $ℓ$ comme limite en a, et on note $x \to a lim f (x) = ℓ$ , si f(x) peut être rendu aussi proche de $ℓ$ qu'on veut dès que x est suffisamment proche de a.

Limite infinie

$x \to a lim f (x) = + \infty$ : f(x) dépasse tout réel M lorsque x est proche de a.
$x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ : f(x) se rapproche de $ℓ$ quand x devient très grand.

Unicité : si la limite existe, elle est unique.

II. Limites de référence

À connaître par cœur

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \in N^{*}$ )
$x \to - \infty lim x^{n} = + \infty$ si n pair ; $- \infty$ si n impair
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ ; $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to + \infty lim x = + \infty$ ; $x \to 0^{+} lim x = 0$

Limites trigonométriques fondamentales

$x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$
$x \to 0 lim \frac{tan ( x )}{x} = 1$

III. Opérations sur les limites

Soient $lim f = ℓ$ et $lim g = ℓ^{'}$ ( $ℓ, ℓ^{'}$ finis ou infinis). Alors :

Somme : $lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}$ (sauf forme indéterminée " $+ \infty - \infty$ ")
Produit : $lim (f \cdot g) = ℓ \cdot ℓ^{'}$ (sauf " $0 \cdot \infty$ ")
Quotient : $lim (f / g) = ℓ / ℓ^{'}$ (sauf " $0/0$ ", " $\infty/\infty$ " et $ℓ^{'} = 0$ )

Les 4 formes indéterminées (FI)

$+ \infty - \infty$ $0 \cdot \infty$ $\infty/\infty$ $0/0$

IV. Lever les formes indéterminées

Polynômes en $\pm \infty$

La limite d'un polynôme en $\pm \infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

Exemple : $x \to + \infty lim (x^{3} - 5 x^{2} + 2) = x \to + \infty lim x^{3} = + \infty$ .

Fonctions rationnelles en $\pm \infty$

La limite d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Exemple : $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{3 x ^{2} - x} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Racines : multiplier par la quantité conjuguée

Exemple : $x \to + \infty lim (x + 1 - x)$ . On multiplie haut et bas par $x + 1 + x$ :

$= x \to + \infty lim \frac{x + 1 - x}{x + 1 + x} = x \to + \infty lim \frac{1}{x + 1 + x} = 0$ .

Forme 0/0 : factoriser

Exemple : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

V. Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Si, au voisinage de a, on a $u (x) \leq f (x) \leq v (x)$ et $lim u = lim v = ℓ$ , alors $lim f = ℓ$ .

Comparaison à l'infini

Si $f (x) \geq u (x)$ et $lim u = + \infty$ , alors $lim f = + \infty$ .
Si $f (x) \leq v (x)$ et $lim v = - \infty$ , alors $lim f = - \infty$ .

Passage à la limite dans les inégalités

Si $f (x) \leq g (x)$ au voisinage de a et $lim f = ℓ$ , $lim g = ℓ^{'}$ , alors $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

VI. Limite et composition

Composition des limites

Si $x \to a lim f (x) = b$ et $u \to b lim g (u) = ℓ$ , alors $x \to a lim g (f (x)) = ℓ$ .

Exemple : $x \to + \infty lim sin (1/ x)$ . Posons $u = 1/ x$ . Quand $x \to + \infty$ , $u \to 0$ , et $sin (u) \to 0$ . Donc la limite vaut 0.

VII. Continuité en un point

Définition

f est continue en a ( $a \in D_{f}$ ) si :

$x \to a lim f (x) = f (a)$

f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.

Continuité à droite / à gauche

Continue à droite en a : $x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$
Continue à gauche en a : $x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$

f continue en a $\Leftrightarrow$ continue à droite ET à gauche en a.

VIII. Opérations et continuité

Stabilité

Si f et g sont continues en a, alors :

$f + g$ , $λ \cdot f$ , $f \cdot g$ sont continues en a.
$f / g$ est continue en a si $g (a) \neq = 0$ .
$g \circ f$ est continue en a si g est continue en f(a).

Fonctions usuelles continues

Sont continues sur leur domaine : polynômes, fractions rationnelles, , sin, cos, tan, $∣ x ∣$ .

IX. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI)

Soit f continue sur $[a, b]$ . Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Corollaire (cas strictement monotone)

Si f est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe un unique $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Application : existence d'une racine

Si f continue et $f (a) \cdot f (b) < 0$ , alors l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $] a, b [$ .

Exemple : $f (x) = x^{3} + x - 1$ est continue sur $R$ . $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in] 0, 1 [$ : $f (c) = 0$ . De plus f strictement croissante (somme de croissantes) $\Rightarrow$ unicité.

X. Image d'un intervalle

Théorème

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si f est continue sur $[a, b]$ (segment fermé borné), alors $f ([a, b]) = [m, M]$ où $m = min f$ et $M = max f$ : f atteint ses bornes.

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = \frac{1}{x}

: asymptotes

x = 0

y = 0

🔑 Formules clés à retenir

Limites de référence : $\frac{1}{x ^{n}} \to 0$ en $\pm \infty$ · $\frac{s i n ( x )}{x} \to 1$ en $0$ · $\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$
Polynôme en ±∞ : limite = terme dominant · Rationnelle : quotient des termes dominants
4 FI : $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ (à lever par factorisation ou conjugué)
Gendarmes : $u \leq f \leq v$ et $lim u = lim v = ℓ$ $\Rightarrow$ $lim f = ℓ$
Continuité en a : $x \to a lim f (x) = f (a)$
TVI : $f$ continue sur $[a, b]$ , $k$ entre $f (a)$ et $f (b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in [a, b]$ , $f (c) = k$
TVI strict monotone : unicité de $c$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Forme indéterminée 0/0 : ne jamais conclure "la limite n'existe pas". Il faut lever l'indétermination (factoriser, conjuguer, croissance comparée). Ex : $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2$ .

❌

TVI : les hypothèses sont indispensables : f doit être continue sur $[a, b]$ et k doit être entre $f (a)$ et $f (b)$ . Si f n'est pas continue, le TVI ne s'applique pas !

❌

Limites à gauche ≠ limites à droite : pour une fraction avec un dénominateur qui s'annule, les limites à gauche et à droite peuvent être de signes opposés ( $+ \infty$ d'un côté, $- \infty$ de l'autre).

🟢 Astuces de pros

✅

Lever $\infty - \infty$ : factoriser par le terme dominant. Ex : $x \to + \infty lim (x^{2} + 1 - x)$ → multiplier par le conjugué $(x^{2} + 1 + x)$ au numérateur et dénominateur.

✅

Continuité et valeur en un point : si f est continue en a, calculer la limite revient à calculer $f (a)$ . Pour les fonctions "composées gentilles" (polynômes, sin, cos, exp, ln), c'est direct.

💡

TVI pour prouver l'existence d'une solution : si f continue change de signe sur $[a, b]$ ( $f (a) \cdot f (b) < 0$ ), alors l'équation $f (x) = 0$ a au moins une solution dans $] a, b [$ . La dichotomie permet de l'approcher.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Calculer une limite par opérations directes

Quand ? Limite d'une somme, produit ou quotient sans forme indéterminée (en remplaçant, on tombe sur un nombre ou un cas clair).

Remplace $x$ par la valeur visée (ou regarde le comportement en $\pm \infty$ ).
Applique les théorèmes sur les opérations : limite d'une somme = somme des limites, etc.
Pour un polynôme/fraction rationnelle en $\pm \infty$ , retiens le terme de plus haut degré.
Conclus en donnant la valeur finie ou $\pm \infty$ .

Exemple éclair : $x \to + \infty lim (2 x^{3} - 5 x) = x \to + \infty lim 2 x^{3} = + \infty$ .

Type 2 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ (fraction rationnelle)

Quand ? En remplaçant $x$ par $a$ , numérateur et dénominateur s'annulent tous les deux : on obtient $\frac{0}{0}$ .

Puisque $a$ est racine commune, factorise par $(x - a)$ le numérateur et le dénominateur.
Simplifie le facteur $(x - a)$ .
Remplace de nouveau $x$ par $a$ dans l'expression simplifiée.
Conclus la limite.

Exemple éclair : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

Type 3 : Forme indéterminée avec une racine (quantité conjuguée)

Quand ? La forme indéterminée ( $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$ ) contient une .

Multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée (change le signe entre les deux termes de la racine).
Utilise l'identité $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ pour faire disparaître la racine.
Simplifie puis remplace $x$ par la valeur visée.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

Type 4 : Limites usuelles trigonométriques

Quand ? Apparaît $sin$ , $tan$ ou $1 - cos$ en $0$ menant à $\frac{0}{0}$ .

Mémorise : $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .
Fais apparaître la forme usuelle en multipliant/divisant par le bon facteur (ajuste l'argument : $\frac{sin ( a x )}{a x}$ ).
Remplace par la valeur de la limite usuelle, puis combine.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin ( 3 x )}{3 x} = 3$ .

Type 5 : Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Quand ? Présence de $sin$ , $cos$ ou $(- 1)^{n}$ bornés, multipliés par une fonction tendant vers $0$ .

Encadre la partie bornée : par exemple $- 1 \leq sin (\dots) \leq 1$ .
Multiplie l'encadrement par le facteur (attention au signe).
Vérifie que les deux bornes tendent vers la même limite $ℓ$ .
Conclus par le théorème des gendarmes : $lim f = ℓ$ .

Exemple éclair : $x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0$ , donc $x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0$ .

Type 6 : Étudier la continuité en un point

Quand ? Fonction définie par morceaux, ou « $f$ est-elle continue en $x_{0}$ ? ».

Vérifie que $f (x_{0})$ existe (calcule sa valeur).
Calcule $x \to x_{0} lim f (x)$ ; pour une fonction par morceaux, calcule la limite à gauche et à droite.
Compare : $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ (limites à gauche et à droite égales à $f (x_{0})$ ).
Conclus : continue ou non.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ et $f (1) = 2$ . Comme $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2 = f (1)$ , $f$ est continue en $1$ .

Type 7 : Prolongement par continuité

Quand ? $f$ n'est pas définie en $x_{0}$ (souvent un trou $\frac{0}{0}$ ) et on demande de la prolonger par continuité.

Vérifie que $x \to x_{0} lim f (x)$ existe et est finie ; note-la $ℓ$ .
Définis la fonction prolongée $g$ par : $g (x) = f (x)$ si $x \neq = x_{0}$ et $g (x_{0}) = ℓ$ .
Conclus : $g$ est le prolongement par continuité de $f$ en $x_{0}$ (si la limite n'existe pas ou est infinie, le prolongement est impossible).

Exemple éclair : $f (x) = \frac{sin x}{x}$ non définie en $0$ ; $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , on pose $g (0) = 1$ .

Type 8 : Existence d'une solution (théorème des valeurs intermédiaires)

Quand ? « Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet (au moins / exactement) une solution dans $[a; b]$ ».

Justifie que $f$ est continue sur $[a; b]$ .
Calcule $f (a)$ et $f (b)$ et montre qu'ils sont de signes contraires : $f (a) \cdot f (b) < 0$ .
Conclus par le T.V.I. : il existe au moins un $c \in] a; b [$ tel que $f (c) = 0$ .
Pour l'unicité, ajoute que $f$ est strictement monotone sur $[a; b]$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} + x - 1$ continue, $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , donc $f (x) = 0$ a une solution dans $] 0; 1 [$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

23 exercices

Limites à l'infini (polynômes et fractions)

Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

$x \to + \infty lim (3 x^{2} - 5 x + 7)$
$x \to - \infty lim (- 2 x^{3} + x^{2} - 4)$
$x \to + \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - 3 x}$
$x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 2}{x ^{3} - 1}$
$x \to - \infty lim \frac{5 x ^{3} - x}{x ^{2} + 2}$

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Limites et continuité

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I. Notion de limite

Limite finie en un point

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II. Limites de référence

À connaître par cœur

Limites trigonométriques fondamentales

III. Opérations sur les limites

Les 4 formes indéterminées (FI)

IV. Lever les formes indéterminées

Polynômes en ±∞

Fonctions rationnelles en ±∞

Racines : multiplier par la quantité conjuguée

Forme 0/0 : factoriser

V. Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Comparaison à l'infini

Passage à la limite dans les inégalités

VI. Limite et composition

Composition des limites

VII. Continuité en un point

Définition

Continuité à droite / à gauche

VIII. Opérations et continuité

Stabilité

Fonctions usuelles continues

IX. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI)

Corollaire (cas strictement monotone)

Application : existence d'une racine

X. Image d'un intervalle

Théorème

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

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🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Calculer une limite par opérations directes

Type 2 : Lever une forme indéterminée 00​ (fraction rationnelle)

Type 3 : Forme indéterminée avec une racine (quantité conjuguée)

Type 4 : Limites usuelles trigonométriques

Type 5 : Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Type 6 : Étudier la continuité en un point

Type 7 : Prolongement par continuité

Type 8 : Existence d'une solution (théorème des valeurs intermédiaires)

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Exercices interactifs

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Limites à l'infini (polynômes et fractions)

Limites en un point (forme 0/0)

Limites trigonométriques

Continuité en un point

Limite polynomiale en +∞

Limite en un point : forme 0/0

Limites de fonctions rationnelles en un point

Calculer les limites suivantes.

Limites de polynômes à l'infini

Calculer les limites suivantes en +∞.

Limites diverses : polynôme et expression simple

Calculer les limites suivantes.

Limites de fonctions rationnelles

Limites de fonctions rationnelles

Limite d'une fonction polynomiale

Limite d'une fonction simple

Limite infinie

Limite d'un rapport

Limite d'une fonction trigonométrique

Limite d'une fonction rationnelle

Limite d'une fonction simple

Limite à l'infini d'un polynôme

Limite d'une fonction rationnelle

Limite d'une fonction trigonométrique

Limite d'un polynôme

Limite d'une fonction trigonométrique

Limite à l'infini d'une fonction rationnelle

Polynômes en $\pm \infty$

Fonctions rationnelles en $\pm \infty$

Type 2 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ (fraction rationnelle)

Calculer les limites suivantes en $+ \infty$ .

On pose $g (x) = \frac{x ^{2} - x - 3}{x ^{2} + 2 x - 3}$ . Calculer.

Calculer les limites suivantes en $+ \infty$ .

Calculer $x \to 5 lim \frac{x - 1 - 2}{x - 5}$ .

Calculer $x \to + \infty lim x + x + x + x - x$ .

Calculer $x \to \frac{π}{2} lim \frac{3 + sin x - 2}{x - \frac{π}{2}}$ .

Soit $f$ définie sur $R^{*}$ par :

Soit $a > 0$ . Calculer $x \to a^{+} lim \frac{x - a - x - a}{x ^{2} - a ^{2}}$ .

Soit $n \in N^{*}$ . Calculer les limites suivantes.

Soit $f$ définie par :

Calculer $x \to 0 lim f (x)$ .