Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Primitives

Définition

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ .

Deux primitives diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont 2 primitives de $f$ , alors $G (x) = F (x) + C$ pour une constante $C$ .

II. Primitives usuelles (à connaître par cœur)

$f (x)$	$F (x)$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$

Reconnaître $u^{'} \cdot u^{n}$

$\int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ( $n \neq = - 1$ )
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 u + C$

III. Intégrale définie

Définition

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ . L'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est :

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

IV. Propriétés

Linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$
Chasles : $a \int b f = a \int c f + c \int b f$
Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $a \int b f \geq 0$
Croissance : si $f \leq g$ , alors $a \int b f \leq a \int b g$
Inversion bornes : $a \int b f = - b \int a f$

V. Intégration par parties (IPP)

Formule

$a \int b u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) v^{'} (x) d x$

Quand utiliser l'IPP ?

Pour intégrer un produit de 2 fonctions. Choix de $u$ (règle LIATE) : Logarithme, Inverse trig, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle (dans cet ordre de préférence pour le facteur dérivé).

Exemple : $0 \int 1 x e^{x} d x$ .
Pose $u = x$ ( $u^{'} = 1$ ), $v^{'} = e^{x}$ ( $v = e^{x}$ ).
$= [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

VI. Calcul d'aires

Aire entre $C_{f}$ et l'axe des abscisses, entre $a$ et $b$ :

$A = a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ : $A = a \int b f (x) d x$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Calculer $I = 1 \int e \frac{ln x}{x} d x$ .

Solution : On reconnaît $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u (x) = ln x$ ? Non, ici c'est $u^{'} \cdot u$ avec $u (x) = ln x$ et $u^{'} (x) = 1/ x$ .
Donc primitive : $\frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2}$ .
$I = [\frac{( ln x ) ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{( ln e ) ^{2}}{2} - \frac{( ln 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

VIII. Top 6 pièges à éviter

Oublier $+ C$ dans une primitive (sans bornes).
Inverser les bornes sans changer le signe.
Oublier $∣ \cdot ∣$ dans $ln ∣ x ∣$ .
Confondre $\int u^{'} v$ et $\int u v^{'}$ dans l'IPP.
Calculer une aire sans valeur absolue quand $f$ change de signe.
Oublier le coefficient $1/ a$ dans la primitive de $e^{a x + b}$ .

📈 Figure clé

Aire

- 2 \int 2 (4 - x^{2}) d x

🔑 Formules clés à retenir

Primitives usuelles :

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Formes composées :

$\int u^{'} / u d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

Intégrale : $a \int b f = F (b) - F (a)$

IPP : $\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$

Aire : $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour les IPP, choisir $u$ via LIATE (Log, Inverse-trig, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle).
🎯 Avant de chercher une primitive complexe, regarder si l'expression est de la forme $u^{'} \cdot g (u)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Calcul intégral

Type 1 : Calculer une primitive

Quand ? On demande une primitive d'une fonction ou une intégrale directe sans technique spéciale.

Identifie la forme : puissance, $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ , $u^{'} u^{n}$ , $cos$ , $sin$ .
Applique la primitive de référence : $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ , $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣$ , $\int u^{'} e^{u} d x = e^{u}$ .
N'oublie pas la constante $+ C$ pour une primitive (pas pour une intégrale définie).
Vérifie en dérivant le résultat.

Exemple éclair : $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C$ car le numérateur est la dérivée du dénominateur.

Type 2 : Intégration par parties

Quand ? L'intégrande est un produit du type $x e^{x}$ , $x ln x$ , $x cos x$ , $ln x$ … où une dérivation simplifie un facteur.

Choisis $u$ (qu'on dérive) et $v^{'}$ (qu'on intègre) ; prends $u = ln$ ou $u =$ polynôme en priorité.
Applique $a \int b u v^{'} d x = [u v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v d x$ .
Calcule le crochet $[u v]_{a}^{b}$ puis l'intégrale restante, souvent plus simple.
Répète l'IPP si nécessaire.

Exemple éclair : $0 \int 1 x e^{x} d x$ avec $u = x$ , $v^{'} = e^{x}$ : $[x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

Type 3 : Calculer une aire entre courbe et axe

Quand ? On veut l'aire du domaine limité par $C_{f}$ , l'axe des abscisses et deux droites $x = a$ , $x = b$ .

Étudie le signe de $f$ sur $[a; b]$ .
Si $f \geq 0$ : aire $= a \int b f (x) d x$ (en unités d'aire).
Si $f$ change de signe : découpe l'intégrale et prends $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$ .
Multiplie par l'unité d'aire si le repère a des unités précisées.

Exemple éclair : Aire sous $f (x) = x^{2}$ entre $0$ et $2$ : $0 \int 2 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ u.a.

Type 4 : Aire entre deux courbes

Quand ? Le domaine est limité par deux courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ entre deux abscisses.

Trouve les bornes : résous $f (x) = g (x)$ pour les points d'intersection.
Détermine quelle courbe est au-dessus (étudie le signe de $f - g$ ).
Aire $= a \int b (f (x) - g (x)) d x$ avec $f \geq g$ sur $[a; b]$ .
Si l'ordre s'inverse, découpe l'intervalle.

Exemple éclair : Entre $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2}$ : intersections $0$ et $1$ , $f \geq g$ , aire $= 0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ u.a.

Type 5 : Valeur moyenne d'une fonction

Quand ? On demande la valeur moyenne de $f$ sur un intervalle $[a; b]$ .

Applique la formule $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
Calcule d'abord l'intégrale (primitive puis crochet).
Divise par la longueur $b - a$ de l'intervalle.
Interprète : $μ$ est la hauteur du rectangle de même aire.

Exemple éclair : Valeur moyenne de $f (x) = x^{2}$ sur $[0; 3]$ : $μ = \frac{1}{3} 0 \int 3 x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .

Type 6 : Utiliser les propriétés de l'intégrale (Chasles, linéarité, comparaison)

Quand ? On veut majorer/minorer une intégrale ou la découper sans la calculer explicitement.

Linéarité : $a \int b (α f + β g) = α a \int b f + β a \int b g$ .
Chasles : $a \int b f = a \int c f + c \int b f$ .
Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ alors $a \int b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ alors $a \int b f \leq a \int b g$ .
Encadrement (inégalité de la moyenne) : si $m \leq f \leq M$ alors $m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)$ .

Exemple éclair : Sur $[0; 1]$ , $0 \leq \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$ donne $0 \leq 0 \int 1 \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$ .

Calcul intégral — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Aire sous 1/x

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{1}{x}$ définie sur $] 0; + \infty [$ .

Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e$ .

Ma réponse

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I. Primitives

Définition

II. Primitives usuelles (à connaître par cœur)

Reconnaître u′⋅un

III. Intégrale définie

Définition

IV. Propriétés

V. Intégration par parties (IPP)

Formule

Quand utiliser l'IPP ?

VI. Calcul d'aires

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 6 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

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Type 1 : Calculer une primitive

Type 2 : Intégration par parties

Type 3 : Calculer une aire entre courbe et axe

Type 4 : Aire entre deux courbes

Type 5 : Valeur moyenne d'une fonction

Type 6 : Utiliser les propriétés de l'intégrale (Chasles, linéarité, comparaison)

Calcul intégral — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Aire sous 1/x

Aire sous une droite

Aire sous une exponentielle

Aire sous une parabole

Intégrale d'une fonction affine

Intégrale de 1/x sur [1,e]

Intégrale de l'exponentielle

Intégrale de x·eˣ sur [0,1]

Calcul d'intégrale simple

Intégrale d'un sinus

Primitive trigonométrique

Primitive simple

Calcul direct

Primitive avec $\ln$

Primitive d'exponentielle

Primitive d'une fraction

Primitive polynomiale

Primitive d'une fonction polynôme

Intégrale de l'exponentielle

Primitive d'un polynôme

Primitive de 1/x avec condition

Primitive de (2x+1)·eˣ

Primitive de ln x

Primitive de x·e^(2x)

Primitive de x·eˣ

Valeur moyenne d'une fonction affine

Exercices Intermédiaires

Aire avec fonction négative

Aire changeant de signe

Aire entre courbe et droite (ln)

Aire entre deux courbes

Aire sous un sinus

Forme u'e^u définie

Forme u'/u

Forme u'/u avec exponentielle

Intégrale de ln x sur [1,e]

Intégrale de (x+2)·eˣ sur [0,1]

Intégrale de x·ln x sur [1,e]

Aire entre deux courbes

Aire d'une région

Intégration par parties avec exp

IPP avec $x \sin x$

Intégration par parties

Aire entre 2 courbes

IPP avec $\ln$

Linéarité de l'intégrale

Intégration par parties (IPP)

Primitive de la forme u'/u

Intégration par parties de x·e^x

Reconnaître $u^{'} \cdot u^{n}$