Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Rappels sur les limites

Limites usuelles à connaître par cœur

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

II. Les 4 formes indéterminées

$\frac{0}{0}$ → factoriser par $(x - a)$ ou utiliser limites de référence
$\frac{\infty}{\infty}$ → factoriser par le terme dominant
$\infty - \infty$ → factoriser ou quantité conjuguée (si racines)
$0 \times \infty$ → transformer en $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$

III. Continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Fonctions usuellement continues

Les polynômes sont continus sur $R$
Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine
$sin, cos, \cdot, exp$ continues sur leurs domaines
Somme, produit, composée de fonctions continues = continue

IV. Prolongement par continuité

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais $x \to a lim f (x) = ℓ$ existe et est finie, on peut prolonger $f$ en posant $\tilde{f} (a) = ℓ$ . Le prolongement $\tilde{f}$ est continu en $a$ .

V. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Corollaire (TVI strict / bijection)

Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe un UNIQUE $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Application classique au BAC SE

"Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution sur $I$ ".

Méthode :

Justifier $f$ continue sur $I$
Justifier $f$ strictement monotone (signe de $f^{'}$ )
Montrer que $f (a) \cdot f (b) < 0$
Conclure par TVI strict

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ .
1) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $R$ .
2) Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in] 0, 1 [$ .

Solution :

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ pour tout $x$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $R$ .

2) $f$ continue (polynôme) et strictement croissante sur $[0, 1]$ .
$f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ . Donc $f (0) \cdot f (1) < 0$ .
Par TVI strict, il existe un unique $α \in] 0, 1 [$ tel que $f (α) = 0$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $\frac{0}{0} = 0$ : c'est une FI, à lever.
Appliquer le TVI sans justifier la continuité.
Oublier la stricte monotonie dans le TVI strict.
Conclure "il existe" au lieu de "il existe UN seul" alors qu'on demande l'unicité.
Confondre limite à gauche et à droite aux bornes du domaine.

📈 Figure clé

Asymptotes :

x = 1

y = 2

🔑 Formules clés à retenir

Limites usuelles :

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

4 FI : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

Continuité : $x \to a lim f (x) = f (a)$

TVI strict :

$f$ continue + strictement monotone + $f (a) f (b) < 0$

$\Rightarrow$ unique solution $α \in] a, b [$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 TVI strict = 3 conditions OBLIGATOIRES : continue, strictement monotone, changement de signe.
🎯 Si tu vois "unique solution", pense automatiquement TVI strict.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ (fractions rationnelles)

Quand ? Tu remplaces par la valeur et tu obtiens $\frac{0}{0}$ (en un réel) ou $\frac{\infty}{\infty}$ (en $\pm \infty$ ) avec des polynômes.

En $\pm \infty$ : factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis simplifie.
Astuce rapide en $\pm \infty$ : la limite d'une fraction rationnelle vaut la limite du quotient des termes de plus haut degré.
En un réel $a$ donnant $\frac{0}{0}$ : factorise par $(x - a)$ en haut et en bas (racine évidente), puis simplifie.
Remplace de nouveau dans l'expression simplifiée et conclus.

Exemple éclair : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

Type 2 : Forme indéterminée avec racines (conjugué)

Quand ? Tu as une FI $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$ et l'expression contient une racine carrée .

Multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée (change le signe entre les deux termes).
Utilise l'identité $(A - B) (A + B) = A - B$ pour faire disparaître la racine.
Simplifie le facteur qui s'annule, puis remplace par la valeur.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = x \to 0 lim \frac{1}{x + 1 + 1} = \frac{1}{2}$ .

Type 3 : Limite par comparaison ou encadrement (théorème des gendarmes)

Quand ? Présence de $sin$ , $cos$ ou d'une partie entière : la fonction est bornée mais oscille, le calcul direct est impossible.

Encadre la partie bornée, par exemple $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ .
Multiplie/divise l'encadrement par le reste (attention au signe qui inverse les inégalités).
Calcule les limites des deux bornes : si elles sont égales à $ℓ$ , le théorème des gendarmes donne la limite $ℓ$ .
Cas $+ \infty$ : si $f (x) \geq g (x)$ et $g (x) \to + \infty$ , alors $f (x) \to + \infty$ .

Exemple éclair : $0 \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{∣ x ∣}$ , et comme $\frac{1}{∣ x ∣} \to 0$ en $+ \infty$ , on a $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$ .

Type 4 : Étudier la continuité en un point

Quand ? On te demande si $f$ est continue en $a$ , souvent pour une fonction définie par morceaux (changement de formule en $a$ ).

Vérifie que $a$ appartient au domaine et calcule $f (a)$ .
Calcule la limite à gauche $x \to a^{-} lim f (x)$ et la limite à droite $x \to a^{+} lim f (x)$ .
$f$ est continue en $a$ si et seulement si $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ .
Si les deux limites diffèrent ou diffèrent de $f (a)$ : $f$ est discontinue en $a$ .

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ et $f (1) = 2$ : $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ , donc $f$ est continue en $1$ .

Type 5 : Prolongement par continuité

Quand ? $f$ n'est pas définie en $a$ (souvent une FI $\frac{0}{0}$ ) et on demande si on peut la prolonger continûment en $a$ .

Vérifie que $a \in / D_{f}$ mais que $a$ est une borne du domaine.
Calcule $x \to a lim f (x)$ (lève la FI).
Si cette limite est un réel fini $ℓ$ : le prolongement existe, on pose $g (a) = ℓ$ et $g (x) = f (x)$ ailleurs ; $g$ est continue en $a$ .
Si la limite est infinie ou n'existe pas : pas de prolongement possible.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ n'est pas définie en $3$ ; $x \to 3 lim f (x) = 6$ , donc le prolongement $g (3) = 6$ est continu en $3$ .

Type 6 : Montrer qu'une équation $f (x) = k$ admet une solution (TVI)

Quand ? On demande de prouver l'existence d'une solution de $f (x) = k$ (souvent $k = 0$ ) sur un intervalle, sans la calculer.

Justifie que $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ (somme/produit/quotient de fonctions continues).
Calcule $f (a)$ et $f (b)$ et vérifie que $k$ est compris entre eux, c.-à-d. $f (a) < k < f (b)$ ou l'inverse (souvent $f (a) \cdot f (b) < 0$ pour $k = 0$ ).
Conclus par le TVI : il existe au moins un $c \in] a, b [$ tel que $f (c) = k$ .
Pour l'unicité : ajoute que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ (corollaire du TVI).

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} + x - 1$ est continue, $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , donc d'après le TVI l'équation $f (x) = 0$ admet une solution dans $] 0, 1 [$ .

Type 7 : Limite d'une fonction composée et croissances comparées

Quand ? La fonction est de la forme $g (u (x))$ (racine, puissance) ou tu reconnais une limite usuelle de référence.

Pose $X = u (x)$ et détermine $x \to a lim u (x) = b$ .
Calcule $X \to b lim g (X) = ℓ$ , alors $x \to a lim g (u (x)) = ℓ$ (composition des limites).
Réutilise les limites de référence, par exemple $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ et $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Exemple éclair : $x \to + \infty lim x^{2} + 1 = + \infty$ car $X = x^{2} + 1 \to + \infty$ et $X \to + \infty$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

69 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 69 corrigés

Exercices Faciles

24 exercices

Asymptote horizontale d'une fonction rationnelle

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{4 x - 7}{2 x + 1}$ . Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ et en déduire l'asymptote horizontale de la courbe en $+ \infty$ .

Ma réponse

Limites et continuité

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I. Rappels sur les limites

Limites usuelles à connaître par cœur

II. Les 4 formes indéterminées

III. Continuité

Définition

Fonctions usuellement continues

IV. Prolongement par continuité

V. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Corollaire (TVI strict / bijection)

Application classique au BAC SE

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Lever une forme indéterminée 00​ ou ∞∞​ (fractions rationnelles)

Type 2 : Forme indéterminée avec racines (conjugué)

Type 3 : Limite par comparaison ou encadrement (théorème des gendarmes)

Type 4 : Étudier la continuité en un point

Type 5 : Prolongement par continuité

Type 6 : Montrer qu'une équation f(x)=k admet une solution (TVI)

Type 7 : Limite d'une fonction composée et croissances comparées

Limites et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale d'une fonction rationnelle

Continuité d'une fonction par morceaux

Continuité en un point

Existence d'une solution (TVI)

Forme 0/0 par factorisation

Image d'un intervalle par une fonction continue monotone

Limite usuelle sin x / x

Limite avec racine au dénominateur

Limite avec racine : conjugué

Limite d'une fonction irrationnelle simple en +∞

Limite d'une fonction rationnelle en +∞

Limite d'une fraction rationnelle en +∞

Limite rationnelle en −∞ (degré numérateur supérieur)

Continuité par morceaux

Limite par règle des polynômes

Continuité d'une fonction par morceaux

Limite en un point fini

FI infini sur infini

Forme indéterminée $\infty/\infty$

Limite avec polynôme et racine

Limite par factorisation

Limite à l'infini d'une fraction

Prolongement par continuité

Prolongement par continuité

Exercices Intermédiaires

Asymptote oblique d'une fonction rationnelle

Branche parabolique en +∞

Conjugué : √(x²+3x) − √(x²+x)

Détermination d'un paramètre pour la continuité

Différence racine - x en +∞

Direction d'une branche infinie irrationnelle

Existence d'une solution d'une équation

Existence et unicité par la monotonie

Forme indéterminée √(x²+x) − x

Image d'un intervalle non monotone

Image d'un intervalle ouvert

Prolongement par continuité

Limite avec valeur absolue (limites latérales)

Limite en -∞ avec racine carrée

Limite irrationnelle au dénominateur en −∞

TVI avec dichotomie

Limite par changement de variable

TVI pour racine d'équation

Limite avec changement de variable

Limite avec valeur absolue

Continuité et paramètre

Continuité en un point

Théorème des valeurs intermédiaires

Type 1 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ (fractions rationnelles)

Type 6 : Montrer qu'une équation $f (x) = k$ admet une solution (TVI)