Nombres relatifs

الأعداد النسبية

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Nombres relatifs — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Définition et vocabulaire

Les nombres relatifs sont les nombres entiers positifs, négatifs et zéro :

… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, …

  • Un nombre relatif possède un signe (+ ou −) et une valeur absolue (la partie numérique).
  • La valeur absolue de a, notée |a|, est la distance de a à 0 sur la droite graduée.
  • Exemples : |−7| = 7, |+4| = 4, |0| = 0.

II. Comparaison des nombres relatifs

  • Tout nombre positif est supérieur à zéro ; tout nombre négatif est inférieur à zéro.
  • Deux nombres positifs : le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus grande.
  • Deux nombres négatifs : le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite. Ex : −3 > −7.
  • Sur la droite graduée : le nombre à droite est toujours le plus grand.

III. Addition de nombres relatifs

Même signe : on additionne les valeurs absolues et on conserve le signe commun.

(+5) + (+3) = +8    (−5) + (−3) = −8

Signes opposés : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on prend le signe du nombre de plus grande valeur absolue.

(+7) + (−4) = +3    (−7) + (+4) = −3

Opposé d'un nombre : l'opposé de a est −a. a + (−a) = 0.

Exemples : l'opposé de +5 est −5 ; l'opposé de −3 est +3.

IV. Soustraction de nombres relatifs

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé :

a − b = a + (−b)

Exemples : (+8) − (+3) = (+8) + (−3) = +5.

(−4) − (−6) = (−4) + (+6) = +2.

V. Multiplication et division

Règle des signes :

  • (+) × (+) = (+)    (−) × (−) = (+)
  • (+) × (−) = (−)    (−) × (+) = (−)

On multiplie les valeurs absolues, puis on applique la règle des signes.

Exemples : (−3) × (−4) = +12 ; (+5) × (−2) = −10.

La même règle s'applique à la division.

VI. Opérations avec des expressions

Pour calculer une expression avec des nombres relatifs :

  1. Transformer les soustractions en additions d'opposés.
  2. Regrouper les termes positifs d'un côté, négatifs de l'autre.
  3. Effectuer les calculs.

Exemple : (−3) + (+5) − (−2) − (+4) = −3 + 5 + 2 − 4 = (5+2) − (3+4) = 7 − 7 = 0.

🔑 Formules clés à retenir

  • |a| = distance de a à 0
  • Même signe → additionner les valeurs absolues
  • Signes opposés → soustraire, prendre le signe du plus grand
  • a − b = a + (−b)
  • (−) × (−) = (+)   (−) × (+) = (−)
  • Ordre : −7 < −3 < 0 < 2 < 5
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Mal soustaire des négatifs : 5 − (−3) ≠ 2. Soustraire un négatif revient à ajouter : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.

❌

Confondre valeur absolue et opposé : |−5| = 5 (toujours positif), mais l'opposé de −5 est +5. Ce sont des notions différentes !

❌

Règle des signes à la multiplication : (−3) × (−4) = +12 (pas −12 !). Deux signes négatifs → positif. Fais attention aux expressions avec plusieurs facteurs.

🟢 Astuces de pros

✅

Transformer toute soustraction en addition : a − b = a + (−b). Transforme d'abord, puis additionne. Exemple : −3 + 5 − (−2) = −3 + 5 + 2 = 4.

✅

Comparer des négatifs : sur l'axe numérique, plus un négatif est loin de 0, plus il est petit. −100 < −1 même si 100 > 1 en valeur absolue.

💡

Moyen mnémotechnique pour les signes : "Les ennemis de mes ennemis sont mes amis" → (−) × (−) = (+). "Mon ennemi et moi ne sommes pas amis" → (−) × (+) = (−).