Angle au centre et angle inscrit — Résumé de cours

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Angle au centre et angle inscrit

Dans ce chapitre, nous étudions les angles particuliers liés au cercle. Nous découvrirons une relation très importante qui lie l'angle au centre et l'angle inscrit, puis nous l'utiliserons pour résoudre des problèmes de géométrie.

1. Cercle, arc et corde

Définition

Un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ du point $O$ . On le note $C (O; r)$ .

Considérons deux points $A$ et $B$ sur un cercle de centre $O$ .

Le segment $[A B]$ qui relie ces deux points s'appelle une corde.
Les deux points $A$ et $B$ partagent le cercle en deux morceaux appelés arcs. On note un arc $A B ⌢$ . Il existe un petit arc et un grand arc.
Une corde qui passe par le centre $O$ s'appelle un diamètre : c'est la plus grande corde possible, et sa longueur vaut $2 r$ .

2. Angle au centre

Définition

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre $O$ du cercle. Ses deux côtés coupent le cercle en deux points $A$ et $B$ . On le note $A O B$ .

On dit que l'angle au centre $A O B$ intercepte l'arc $A B ⌢$ : c'est l'arc situé « à l'intérieur » de l'angle, entre les deux côtés.

3. Angle inscrit

Définition

Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet $M$ est sur le cercle et dont les deux côtés sont des cordes du cercle. On le note $A M B$ , où $A$ , $B$ et $M$ sont trois points du cercle.

L'angle inscrit $A M B$ intercepte l'arc $A B ⌢$ qui ne contient pas le point $M$ (l'arc « en face » du sommet).

4. Relation fondamentale : angle au centre et angle inscrit

C'est la propriété la plus importante du chapitre. Lorsque l'angle au centre et l'angle inscrit interceptent le même arc, ils sont liés par une relation simple.

Propriété

Si un angle au centre $A O B$ et un angle inscrit $A M B$ interceptent le même arc $A B ⌢$ , alors l'angle au centre est le double de l'angle inscrit.

A O B = 2 \times A M B

Autrement dit, l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre :

A M B = \frac{A O B}{2}

5. Angles inscrits interceptant le même arc

Propriété

Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc sont égaux.

Si $M$ et $N$ sont deux points du cercle situés du même côté de la corde $[A B]$ , alors :

A M B = A N B

En effet, ces deux angles inscrits valent chacun la moitié du même angle au centre $A O B$ : ils sont donc forcément égaux.

6. Cas particulier : angle inscrit dans un demi-cercle

Propriété

Si un angle inscrit intercepte un diamètre (c'est-à-dire si $[A B]$ est un diamètre du cercle), alors cet angle est un angle droit.

A M B = 9 0^{\circ}

Explication : si $[A B]$ est un diamètre, l'angle au centre $A O B$ est un angle plat, donc $A O B = 18 0^{\circ}$ . L'angle inscrit vaut la moitié : $\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$ . Ainsi, tout triangle dont un côté est un diamètre et dont le troisième sommet est sur le cercle est un triangle rectangle.

7. Quadrilatère inscriptible

Définition

Un quadrilatère est dit inscriptible lorsque ses quatre sommets appartiennent à un même cercle.

Propriété

Dans un quadrilatère inscriptible $A B C D$ , les angles opposés sont supplémentaires (leur somme vaut $18 0^{\circ}$ ).

A + C = 18 0^{\circ} et B + D = 18 0^{\circ}

8. Polygones réguliers et angles

Définition

Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure. Ses sommets sont régulièrement répartis sur un cercle (le cercle circonscrit) de centre $O$ .

Pour un polygone régulier à $n$ côtés, les sommets partagent le cercle en $n$ arcs égaux. L'angle au centre associé à chaque côté vaut donc :

A O B = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

Par exemple, pour un triangle équilatéral ( $n = 3$ ), chaque angle au centre vaut $\frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ . Pour un carré ( $n = 4$ ), il vaut $\frac{36 0 ^{\circ}}{4} = 9 0^{\circ}$ . Pour un hexagone régulier ( $n = 6$ ), il vaut $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : utiliser la relation fondamentale

Énoncé. Trois points $A$ , $B$ et $M$ sont sur un cercle de centre $O$ . On sait que l'angle inscrit $A M B = 3 5^{\circ}$ . Calculer l'angle au centre $A O B$ qui intercepte le même arc $A B ⌢$ .

Solution. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit lorsqu'ils interceptent le même arc :

A O B = 2 \times A M B = 2 \times 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

L'angle au centre mesure donc $7 0^{\circ}$ .

Exemple 2 : triangle inscrit dans un demi-cercle

Énoncé. $[A B]$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$ , et $M$ est un point du cercle différent de $A$ et $B$ . On donne $M A B = 2 8^{\circ}$ . Calculer les angles $A M B$ et $A B M$ du triangle $A M B$ .

Solution. Comme $[A B]$ est un diamètre, l'angle inscrit $A M B$ intercepte ce diamètre : il est donc droit.

A M B = 9 0^{\circ}

La somme des angles d'un triangle vaut $18 0^{\circ}$ , donc :

A B M = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}

Le triangle $A M B$ est rectangle en $M$ , et $A B M = 6 2^{\circ}$ .

📈 Figure clé

Angle au centre

A O B

et angle inscrit

A M B

A O B = 2 A M B

🔑 Formules clés à retenir

$A O B = 2 \times A M B$ — l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc
$A M B = \frac{A O B}{2}$ — l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc
$A M B = A N B$ — deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux
$A M B = 9 0^{\circ}$ — angle inscrit interceptant un diamètre (triangle rectangle)
$A + C = 18 0^{\circ}$ — angles opposés d'un quadrilatère inscriptible (supplémentaires)
$B + D = 18 0^{\circ}$ — l'autre paire d'angles opposés d'un quadrilatère inscriptible
$A O B = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — angle au centre d'un polygone régulier à $n$ côtés
$d = 2 r$ — longueur du diamètre, où $r$ est le rayon du cercle

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : confondre l'angle au centre et l'angle inscrit. On écrit parfois $A M B = 2 \times A O B$ : c'est l'inverse ! C'est l'angle au centre (sommet $O$ ) qui est le double, et l'angle inscrit (sommet sur le cercle) qui est la moitié.

❌

Erreur : appliquer la relation $A O B = 2 \times A M B$ alors que les deux angles n'interceptent pas le même arc. Vérifie toujours que c'est bien le même arc $A B ⌢$ qui est intercepté.

✅

Pour repérer rapidement un angle droit, cherche un diamètre dans la figure. Dès qu'un triangle a un côté qui est un diamètre et son troisième sommet sur le cercle, il est rectangle en ce sommet : $A M B = 9 0^{\circ}$ .

✅

Pour savoir quel arc est intercepté par un angle inscrit, repère le sommet et regarde l'arc situé « en face », celui qui ne contient pas le sommet.

💡

Dans un quadrilatère inscriptible, si tu connais un angle, tu trouves directement l'angle opposé : il suffit de calculer $18 0^{\circ}$ moins l'angle connu, car les angles opposés sont supplémentaires.

💡

Astuce mémoire : « au CENTRE c'est le DOUBLE ». Le centre $O$ est le sommet de l'angle le plus « grand » (le double), et un point sur le cercle donne l'angle le plus « petit » (la moitié).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Angle au centre et angle inscrit

Type 1 : Reconnaître un angle au centre et un angle inscrit

Quand ? Quand on doit identifier la nature d'un angle dans un cercle.

Repère le sommet de l'angle : s'il est au centre du cercle, c'est un angle au centre.
Si le sommet est sur le cercle, c'est un angle inscrit.
Identifie l'arc intercepté : les deux côtés de l'angle coupent le cercle en deux points qui délimitent cet arc.

Exemple éclair : $A O B$ avec $O$ le centre est un angle au centre ; $A M B$ avec $M$ sur le cercle est un angle inscrit.

Type 2 : Calculer l'angle au centre à partir de l'angle inscrit

Quand ? Quand un angle inscrit et l'angle au centre interceptent le même arc.

Vérifie que les deux angles interceptent le même arc.
Applique : l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit.
Calcule $A O B = 2 \times A M B$ .

Exemple éclair : si $A M B = 4 0^{\circ}$ , alors $A O B = 8 0^{\circ}$ .

Type 3 : Calculer l'angle inscrit à partir de l'angle au centre

Quand ? Quand on connaît l'angle au centre et qu'on cherche l'angle inscrit du même arc.

Vérifie que les deux angles interceptent le même arc.
Applique : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre.
Calcule $A M B = \frac{A O B}{2}$ .

Exemple éclair : si $A O B = 10 0^{\circ}$ , alors $A M B = 5 0^{\circ}$ .

Type 4 : Utiliser deux angles inscrits qui interceptent le même arc

Quand ? Quand deux angles inscrits interceptent le même arc du cercle.

Vérifie que les deux angles sont inscrits dans le même cercle.
Vérifie qu'ils interceptent le même arc.
Conclus qu'ils sont égaux.

Exemple éclair : si $A M B$ et $A N B$ interceptent l'arc $A B$ , alors $A M B = A N B$ .

Type 5 : Calculer l'angle inscrit dans un demi-cercle

Quand ? Quand l'angle inscrit intercepte un diamètre du cercle.

Repère que les deux extrémités de l'arc forment un diamètre (l'angle au centre vaut $18 0^{\circ}$ ).
Applique la propriété de l'angle inscrit : il vaut la moitié de $18 0^{\circ}$ .
Conclus que l'angle inscrit est droit, soit $9 0^{\circ}$ .

Exemple éclair : si $[A B]$ est un diamètre et $M$ est sur le cercle, alors $A M B = 9 0^{\circ}$ .

Angle au centre et angle inscrit — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

Exercices Faciles

3 exercices

Deux angles inscrits à partir d'un angle au centre

Facile

Énoncé

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . Les points $A$ , $E$ , $B$ et $D$ appartiennent à ce cercle. La mesure de l'angle au centre $A O B$ qui intercepte le petit arc $A B$ (l'arc qui contient le point $E$ ) est égale à $8 0^{\circ}$ .

Le point $D$ se trouve sur le grand arc $A B$ (de l'autre côté de la corde $[A B]$ par rapport à $E$ ).

Déterminer, en justifiant, la mesure de l'angle inscrit $A D B$ .
Déterminer, en justifiant, la mesure de l'angle inscrit $A E B$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

De l'angle inscrit vers l'angle au centre

Facile

Énoncé

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ et $M$ appartiennent à ce cercle. L'angle inscrit $B A C$ intercepte l'arc $B C$ et l'on a $B A C = 6 5^{\circ}$ .

Calculer la mesure de l'angle inscrit $B M C$ .
Montrer que $B O C = 13 0^{\circ}$ .

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Reconnaître angle au centre et angle inscrit

Facile

Énoncé

On considère un cercle de centre $O$ .

Donner la définition d'un angle au centre, puis celle d'un angle inscrit.
Un angle au centre mesure $11 0^{\circ}$ . Quelle est la mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc ?
Un angle inscrit mesure $3 5^{\circ}$ . Quelle est la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Exercices Intermédiaires

2 exercices

Angle au centre, triangle isocèle et tangente

Intermédiaire

Énoncé

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . La droite $(A M)$ est tangente au cercle au point $A$ . Le point $C$ appartient au cercle et l'angle au centre vérifie $A O C = 6 0^{\circ}$ .

Calculer, en justifiant, la mesure de l'angle $O C A$ .
Calculer, en justifiant, la mesure de l'angle $C A M$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Angle inscrit dans un demi-cercle

Intermédiaire

Énoncé

$(C)$ est un cercle de centre $O$ et de diamètre $[A B]$ . Les points $C$ et $D$ appartiennent au cercle $(C)$ et l'on a $D C B = 4 2^{\circ}$ .

Calculer la mesure de l'angle $D A B$ .
Montrer que $D O B = 8 4^{\circ}$ .
Calculer la mesure de l'angle $A C D$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Exercices Difficiles

1 exercices

Deux diamètres et arcs opposés

Difficile

Énoncé

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . Les segments $[A B]$ et $[C D]$ sont deux diamètres du cercle. Les points $M$ , $N$ et $E$ appartiennent au cercle, et l'on donne l'angle inscrit $A M D = 4 2^{\circ}$ .

Trouver la mesure de l'angle au centre $A O D$ .
Trouver la mesure de l'angle inscrit $A N D$ .
Trouver la mesure de l'angle inscrit $C E B$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Exercices supplémentaires

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