Triangles isométriques et semblables — Résumé de cours

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Triangles isométriques et triangles semblables

1. Triangles isométriques

Définition

Deux triangles sont dits isométriques (ou égaux) lorsqu'ils ont leurs côtés deux à deux de même longueur et leurs angles deux à deux de même mesure. Autrement dit, l'un est la reproduction exacte de l'autre : on peut le superposer parfaitement après un déplacement (translation, rotation ou symétrie).

Si les triangles $A B C$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ sont isométriques avec $A \leftrightarrow A^{'}$ , $B \leftrightarrow B^{'}$ , $C \leftrightarrow C^{'}$ , alors :

A B = A^{'} B^{'}; B C = B^{'} C^{'}; A C = A^{'} C^{'}

A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}

Les sommets, côtés et angles qui se correspondent sont appelés éléments homologues.

2. Les cas d'isométrie des triangles

Il n'est pas nécessaire de vérifier les six égalités (3 côtés + 3 angles). Trois conditions bien choisies suffisent. On distingue trois cas.

Propriété — 1er cas : côté-côté-côté (CCC)

Si les trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux aux trois côtés d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont isométriques.

Propriété — 2e cas : côté-angle-côté (CAC)

Si deux côtés d'un triangle et l'angle compris entre ces deux côtés sont respectivement égaux à deux côtés et à l'angle compris d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont isométriques.

Propriété — 3e cas : angle-côté-angle (ACA)

Si un côté d'un triangle et les deux angles adjacents à ce côté sont respectivement égaux à un côté et aux deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont isométriques.

3. Conséquences de l'isométrie

Propriété

Lorsque deux triangles sont isométriques, tous leurs éléments homologues sont égaux : les côtés homologues ont la même longueur, les angles homologues ont la même mesure. Il en va de même pour les hauteurs, les médianes, les périmètres et les aires.

C'est très utile : pour prouver que deux longueurs (ou deux angles) sont égaux, il suffit souvent de montrer que deux triangles bien choisis sont isométriques.

4. Triangles semblables

Définition

Deux triangles sont dits semblables lorsqu'ils ont leurs angles deux à deux de même mesure et leurs côtés homologues proportionnels. Ils ont la même forme mais pas forcément la même taille : l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre.

Si $A B C$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ sont semblables (avec $A \leftrightarrow A^{'}$ , $B \leftrightarrow B^{'}$ , $C \leftrightarrow C^{'}$ ), alors :

A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k

5. Rapport de similitude

Définition

Le nombre $k$ commun à tous les rapports des côtés homologues s'appelle le rapport de similitude. Si $k > 1$ , c'est un agrandissement ; si $0 < k < 1$ , c'est une réduction ; si $k = 1$ , les triangles sont isométriques.

Le rapport des périmètres est égal à $k$ , et le rapport des aires est égal à $k^{2}$ .

6. Cas de similitude des triangles

Propriété — 1er cas : deux angles égaux (AA)

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables. (C'est le cas le plus utilisé.)

Propriété — 2e cas : côtés proportionnels (CCC)

Si les trois côtés d'un triangle sont proportionnels aux trois côtés d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.

Propriété — 3e cas : un angle égal entre côtés proportionnels (CAC)

Si un angle d'un triangle est égal à un angle d'un autre triangle et que les côtés qui forment cet angle sont proportionnels, alors ces deux triangles sont semblables.

7. Lien avec le théorème de Thalès

Propriété

Dans une configuration de Thalès, deux droites parallèles coupées par deux sécantes forment deux triangles semblables. Si $(M N) ∥ (B C)$ dans le triangle $A B C$ avec $M \in [A B]$ et $N \in [A C]$ , alors les triangles $A M N$ et $A B C$ sont semblables et :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Le théorème de Thalès fournit donc automatiquement des triangles semblables, et réciproquement la similitude justifie les égalités de rapports de Thalès.

8. Exemples résolus

Exemple 1 — Utiliser un cas d'isométrie

Soit un triangle $A B C$ isocèle en $A$ , et $I$ le milieu de $[B C]$ . Montrer que $A B I = A C I$ .

Dans les triangles $A B I$ et $A C I$ : $A B = A C$ (triangle isocèle).
$B I = C I$ ( $I$ est le milieu de $[B C]$ ).
$A I = A I$ (côté commun).
D'après le cas côté-côté-côté, les triangles $A B I$ et $A C I$ sont isométriques.
Donc leurs angles homologues sont égaux : $A B I = A C I$ .

Exemple 2 — Calculer une longueur avec la similitude

Les triangles $A B C$ et $D E F$ sont semblables avec $A = D$ et $B = E$ . On donne $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm et $D E = 6$ cm. Calculer $E F$ .

Comme $A = D$ et $B = E$ , les triangles sont semblables (cas AA).
Les côtés homologues sont proportionnels : $\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C}$ .
Le rapport de similitude vaut $k = \frac{D E}{A B} = \frac{6}{4} = 1, 5$ .
Donc $E F = k \times B C = 1, 5 \times 6 = 9$ cm.

🔑 Formules clés à retenir

$A B = A^{'} B^{'}; B C = B^{'} C^{'}; A C = A^{'} C^{'}$ — côtés homologues égaux dans deux triangles isométriques
$A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}$ — angles homologues égaux dans deux triangles isométriques
Cas CCC : trois côtés égaux $\Rightarrow$ triangles isométriques
Cas CAC : deux côtés et l'angle compris égaux $\Rightarrow$ triangles isométriques
Cas ACA : un côté et les deux angles adjacents égaux $\Rightarrow$ triangles isométriques
$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k$ — côtés proportionnels, rapport de similitude $k$
Cas AA : deux angles égaux $\Rightarrow$ triangles semblables
$\frac{p e ˊ rim e ˋ tre _{2}}{p e ˊ rim e ˋ tre _{1}} = k$ — le rapport des périmètres égale le rapport de similitude
$\frac{aire _{2}}{aire _{1}} = k^{2}$ — le rapport des aires égale le carré du rapport de similitude
$(M N) ∥ (B C) \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ — Thalès : triangles $A M N$ et $A B C$ semblables
$k = 1$ — triangles semblables et isométriques (même taille)
$k > 1$ agrandissement, $0 < k < 1$ réduction

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : croire que deux triangles ayant le même périmètre ou la même aire sont isométriques. C'est faux : il faut que les côtés ET les angles correspondent. Seuls les cas CCC, CAC, ACA garantissent l'isométrie.

❌

Erreur : utiliser le cas « côté-côté-angle » (deux côtés et un angle NON compris). Ce cas n'existe pas : il ne garantit pas l'isométrie. L'angle doit être l'angle compris entre les deux côtés (CAC).

❌

Erreur : écrire le rapport de similitude en mélangeant les triangles, par exemple $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}$ . Tous les rapports doivent aller dans le même sens : $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}$ .

✅

Pour les triangles semblables, le cas le plus rapide est deux angles égaux (AA) : si deux angles correspondent, le troisième aussi (somme = $18 0^{\circ}$ ), donc inutile de vérifier les côtés.

✅

Avant d'écrire les égalités, repère bien les sommets homologues (souvent ceux des angles égaux). Range-les dans le même ordre : $A \leftrightarrow A^{'}$ , $B \leftrightarrow B^{'}$ , $C \leftrightarrow C^{'}$ . Cela évite les erreurs de rapports.

💡

Pour calculer une longueur manquante, écris d'abord le rapport de similitude $k$ avec deux côtés connus, puis multiplie : un côté du grand triangle $= k \times$ son homologue du petit triangle.

💡

Une configuration de Thalès (droites parallèles) cache toujours deux triangles semblables. Pense à la similitude pour retrouver ou justifier les égalités de rapports.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Triangles isométriques et semblables

Type 1 : Montrer que deux triangles sont isométriques

Quand ? On veut prouver que deux triangles ont exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles (superposables).

Repérer les éléments connus (côtés, angles) dans chaque triangle.
Choisir un cas d'isométrie : trois côtés égaux ( $C C C$ ), ou un côté entre deux angles égaux ( $A C A$ ), ou un angle entre deux côtés égaux ( $C A C$ ).
Vérifier que les éléments correspondants sont égaux, puis conclure que les triangles sont isométriques.

Exemple éclair : Dans $A B C$ et $D E F$ , si $A B = D E$ , $A = D$ et $A C = D F$ , alors par le cas $C A C$ les triangles sont isométriques.

Type 2 : Utiliser l'isométrie pour trouver une longueur ou un angle

Quand ? Deux triangles sont déjà isométriques et on cherche une mesure manquante.

Identifier la correspondance entre les sommets des deux triangles.
Écrire l'égalité des côtés correspondants et des angles correspondants.
Remplacer par les valeurs connues pour trouver la mesure cherchée.

Exemple éclair : Si $A B C$ et $D E F$ sont isométriques avec $B C = 5$ cm, alors le côté correspondant $E F = 5$ cm.

Type 3 : Montrer que deux triangles sont semblables

Quand ? On veut prouver que deux triangles ont la même forme (mêmes angles) mais pas forcément la même taille.

Comparer les angles des deux triangles.
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles de l'autre, conclure qu'ils sont semblables.
On peut aussi vérifier que les côtés correspondants sont proportionnels.

Exemple éclair : Si $A = D$ et $B = E$ , alors $A B C$ et $D E F$ sont semblables.

Type 4 : Calculer le rapport de similitude

Quand ? Deux triangles sont semblables et on veut connaître le facteur d'agrandissement ou de réduction.

Repérer deux côtés correspondants dont on connaît les longueurs.
Calculer le rapport $k = \frac{c o ˆ t e ˊ du grand}{c o ˆ t e ˊ du petit}$ .
Vérifier que ce même rapport convient pour les autres paires de côtés.

Exemple éclair : Si $A B = 6$ cm correspond à $D E = 3$ cm, alors $k = \frac{6}{3} = 2$ .

Type 5 : Trouver une longueur grâce au rapport de similitude

Quand ? On connaît le rapport $k$ et on cherche un côté manquant dans un triangle semblable.

Déterminer le rapport de similitude $k$ .
Multiplier (ou diviser) la longueur connue par $k$ selon le côté cherché.
Écrire le résultat avec son unité.

Exemple éclair : Avec $k = 2$ , si $B C = 4$ cm dans le petit triangle, alors le côté correspondant $E F = 4 \times 2 = 8$ cm.

Triangles isométriques et semblables — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

4 exercices

Vrai ou Faux sur les triangles semblables

Facile

Énoncé

Vrai ou Faux

Réponds par Vrai ou Faux à chacune des affirmations suivantes, en justifiant ta réponse.

Si deux triangles ont le même périmètre, alors ils sont semblables.
Si deux triangles ont la même aire, alors ils sont semblables.
Tous les triangles équilatéraux sont semblables.
Tous les triangles rectangles sont semblables.
Tous les triangles rectangles isocèles sont semblables.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Compléter le tableau des éléments homologues

Facile

Énoncé

Les triangles $A B C$ et $M O I$ sont semblables, avec la correspondance des sommets : $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow I$ .

Recopie et complète ce tableau des éléments homologues.

$A B C$ et $\dots$ ; sommet $B$ et $\dots$ ; côté $[A B]$ et $\dots$
$A C B$ et $\dots$ ; sommet $C$ et $\dots$ ; côté $[B C]$ et $\dots$
$B A C$ et $\dots$ ; sommet $A$ et $\dots$ ; côté $[A C]$ et $\dots$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Reconnaître des triangles isométriques

Facile

Énoncé

On donne deux triangles $A B C$ et $D E F$ tels que :

AB = 5 \ \text{cm}, \quad BC = 7 \ \text{cm}, \quad AC = 6 \ \text{cm}

DE = 5 \ \text{cm}, \quad EF = 7 \ \text{cm}, \quad DF = 6 \ \text{cm}

Que peux-tu dire des triangles $A B C$ et $D E F$ ? Justifie.
En déduire l'égalité $B A C = E D F$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Pourquoi deux triangles équilatéraux sont semblables

Facile

Énoncé

$A B C$ est un triangle équilatéral de côté $3 cm$ et $D E F$ est un triangle équilatéral de côté $5 cm$ .

Explique pourquoi les triangles $A B C$ et $D E F$ sont semblables.
Quel est le rapport de similitude qui permet de passer de $A B C$ à $D E F$ ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

2 exercices

Triangles semblables et calcul de longueur

Intermédiaire

Énoncé

$A B C$ est un triangle tel que $A B = 6 cm$ et $B C = 4 cm$ .

$D$ est un point du côté $[A C]$ tel que $C D = 1, 2 cm$ , et $E$ est un point du côté $[B C]$ tel que $C D E = A B C$ .

Démontre que les triangles $A B C$ et $E D C$ sont semblables.
Indique les sommets et les côtés homologues.
Calcule la longueur $E D$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Calcul de longueurs avec le rapport de similitude

Intermédiaire

Énoncé

Les triangles $A B C$ et $M N P$ sont semblables, avec la correspondance $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ . On donne :

$A B = 4 cm$ , $B C = 6 cm$ , $A C = 5 cm$ , $M N = 6 cm$

Calcule le rapport de similitude $k = \frac{M N}{A B}$ .
En déduire les longueurs $N P$ et $M P$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Triangles semblables et rapport des aires

Difficile

Énoncé

Deux triangles $A B C$ et $D E F$ sont semblables. On sait que :

$A B = 4 cm$ , $D E = 6 cm$

où $[A B]$ et $[D E]$ sont des côtés homologues. L'aire du triangle $A B C$ est $A_{A B C} = 8 cm^{2}$ .

Calcule le rapport de similitude $k = \frac{D E}{A B}$ .
En déduire l'aire du triangle $D E F$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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1. Triangles isométriques

Définition

2. Les cas d'isométrie des triangles

Propriété — 1er cas : côté-côté-côté (CCC)

Propriété — 2e cas : côté-angle-côté (CAC)

Propriété — 3e cas : angle-côté-angle (ACA)

3. Conséquences de l'isométrie

Propriété

4. Triangles semblables

Définition

5. Rapport de similitude

Définition

6. Cas de similitude des triangles

Propriété — 1er cas : deux angles égaux (AA)

Propriété — 2e cas : côtés proportionnels (CCC)

Propriété — 3e cas : un angle égal entre côtés proportionnels (CAC)

7. Lien avec le théorème de Thalès

Propriété

8. Exemples résolus

Exemple 1 — Utiliser un cas d'isométrie

Exemple 2 — Calculer une longueur avec la similitude

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Type 1 : Montrer que deux triangles sont isométriques

Type 2 : Utiliser l'isométrie pour trouver une longueur ou un angle

Type 3 : Montrer que deux triangles sont semblables

Type 4 : Calculer le rapport de similitude

Type 5 : Trouver une longueur grâce au rapport de similitude

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Vrai ou Faux sur les triangles semblables

Vrai ou Faux

Compléter le tableau des éléments homologues

Énoncé

Reconnaître des triangles isométriques

Énoncé

Pourquoi deux triangles équilatéraux sont semblables

Énoncé

Exercices Intermédiaires

Triangles semblables et calcul de longueur

Énoncé

Calcul de longueurs avec le rapport de similitude

Énoncé

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Triangles semblables et rapport des aires

Énoncé

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