Repère dans le plan — Résumé de cours

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Repère dans le plan

Pour repérer la position d'un point dans le plan, on utilise un repère. C'est l'outil qui permet de transformer la géométrie en calculs sur des nombres : c'est ce qu'on appelle la géométrie analytique.

1. Notion de repère du plan

Définition

Un repère du plan est constitué de trois points non alignés : un point $O$ appelé origine, et deux autres points qui déterminent deux droites graduées appelées axes. On note ce repère $(O; I; J)$ ou $(O; i; j)$ .

L'axe horizontal $(O I)$ est l'axe des abscisses.
L'axe vertical $(O J)$ est l'axe des ordonnées.
Le point $O$ , où les deux axes se croisent, est l'origine du repère.

2. Repère orthogonal, orthonormé

Définition

On distingue plusieurs types de repères :

Un repère est orthogonal lorsque ses deux axes sont perpendiculaires.
Un repère est orthonormé lorsqu'il est orthogonal et que les deux axes ont la même unité de longueur : $O I = O J = 1$ .

Dans tout ce chapitre, pour calculer une distance, on travaille dans un repère orthonormé.

3. Coordonnées d'un point

Définition

Dans un repère $(O; I; J)$ , tout point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $(x; y)$ :

$x$ est l'abscisse de $M$ (lecture sur l'axe horizontal) ;
$y$ est l'ordonnée de $M$ (lecture sur l'axe vertical).

On écrit $M (x; y)$ .

L'origine a pour coordonnées $O (0; 0)$ .

Exemple de lecture

Pour lire les coordonnées d'un point $A$ : on projette $A$ sur l'axe des abscisses (on trouve $x_{A}$ ), puis sur l'axe des ordonnées (on trouve $y_{A}$ ). Si $A$ est à $3$ vers la droite et $2$ vers le haut, alors $A (3; 2)$ .

4. Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété

Soient $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ deux points du plan. Les coordonnées du milieu $M$ du segment $[A B]$ sont :

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

Autrement dit, on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.

Exemple résolu 1

Soient $A (2; 5)$ et $B (8; 1)$ . Calculons les coordonnées du milieu $M$ de $[A B]$ .

Abscisse de $M$ : $\frac{x _{A} + x _{B}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Ordonnée de $M$ : $\frac{y _{A} + y _{B}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .

Donc $M (5; 3)$ .

5. Distance entre deux points

Propriété

Dans un repère orthonormé, la distance entre les points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Cette formule vient du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les écarts horizontaux et verticaux.

Exemple résolu 2

Soient $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ dans un repère orthonormé. Calculons la distance $A B$ .

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2}$

$A B = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Donc $A B = 5$ .

6. Coordonnées d'un vecteur

Définition

Soient $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ deux points. Les coordonnées du vecteur $A B$ s'obtiennent en faisant « arrivée moins départ » :

A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

Exemple

Si $A (2; 3)$ et $B (7; 1)$ , alors $A B (7 - 2; 1 - 3)$ , c'est-à-dire $A B (5; - 2)$ .

7. Égalité de deux vecteurs

Propriété

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. Si $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , alors :

u = v ⟺ {x = x^{'} y = y^{'}

Exemple

Soient $A B (5; - 2)$ et $C D (5; - 2)$ . Ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $A B = C D$ . Cela signifie aussi que $A B D C$ est un parallélogramme.

📈 Figure clé

Coordonnées dans un repère

🔑 Formules clés à retenir

$M (x; y)$ — coordonnées d'un point : $x$ abscisse, $y$ ordonnée
$O (0; 0)$ — coordonnées de l'origine du repère
$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ — milieu du segment $[A B]$
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ — distance entre deux points (repère orthonormé)
$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ — coordonnées du vecteur $A B$ (arrivée moins départ)
$u = v ⟺ x = x^{'} et y = y^{'}$ — égalité de deux vecteurs par les coordonnées

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : confondre abscisse et ordonnée. Dans $M (x; y)$ , l'abscisse $x$ se lit toujours en premier (horizontal), l'ordonnée $y$ en second (vertical).

❌

Erreur : pour le vecteur $A B$ , calculer « départ moins arrivée ». La bonne règle est toujours arrivée moins départ : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

❌

Erreur : oublier les carrés ou la racine dans la distance. On écrit $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , jamais $A B = (x_{B} - x_{A}) + (y_{B} - y_{A})$ .

✅

Pour le milieu, pense « moyenne » : tu additionnes les deux abscisses et tu divises par $2$ , puis pareil pour les ordonnées.

✅

Vérifie ton calcul de distance : si tu retombes sur un triangle $3$ - $4$ - $5$ ou des carrés parfaits sous la racine, c'est bon signe. La distance est toujours un nombre positif.

💡

La formule de distance n'est valable que dans un repère orthonormé. Vérifie toujours que l'énoncé le précise avant d'appliquer la racine carrée.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Repère dans le plan

Type 1 : Lire les coordonnées d'un point

Quand ? Un point est placé dans un repère et on veut écrire ses coordonnées.

Tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point pour lire l'abscisse $x$ sur l'axe horizontal.
Tracer la parallèle à l'axe des abscisses pour lire l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical.
Écrire les coordonnées sous la forme $A (x; y)$ .

Exemple éclair : Un point situé à $3$ vers la droite et $2$ vers le haut a pour coordonnées $A (3; 2)$ .

Type 2 : Placer un point à partir de ses coordonnées

Quand ? On connaît les coordonnées $(x; y)$ et on doit placer le point dans le repère.

Partir de l'origine $O$ et se déplacer de $x$ sur l'axe des abscisses.
Depuis cette position, se déplacer de $y$ parallèlement à l'axe des ordonnées.
Marquer le point obtenu et le nommer.

Exemple éclair : Pour $B (- 2; 4)$ , aller à $- 2$ à gauche puis $4$ vers le haut.

Type 3 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Quand ? On connaît deux points et on cherche le milieu du segment qui les joint.

Noter les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Calculer l'abscisse du milieu : $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ .
Calculer l'ordonnée du milieu : $y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ .

Exemple éclair : Milieu de $A (2; 3)$ et $B (6; 7)$ : $I (\frac{2 + 6}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = I (4; 5)$ .

Type 4 : Calculer la distance entre deux points

Quand ? On veut la longueur du segment $[A B]$ dans un repère orthonormé.

Noter les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Appliquer la formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Effectuer les calculs et donner le résultat avec son unité.

Exemple éclair : Pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Type 5 : Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Quand ? On veut vérifier qu'un point donné $I$ est bien le milieu de $[A B]$ .

Calculer les coordonnées du milieu de $[A B]$ avec les formules du milieu.
Comparer avec les coordonnées du point $I$ donné.
Si elles sont identiques, conclure que $I$ est le milieu de $[A B]$ .

Exemple éclair : Si le milieu calculé est $(4; 5)$ et que $I (4; 5)$ , alors $I$ est bien le milieu de $[A B]$ .

Repère dans le plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

Exercices Faciles

3 exercices

Coordonnées de vecteurs

Facile

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (- 5; 2); B (- 1; - 1); C (3; 1); D (2; - 3)$

Déterminer les coordonnées des vecteurs : $A B; C D; D B; C A$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Placer des points dans un repère

Facile

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (- 2; - 3); B (- 3; 1); C (12; - 2); D (0; 2); E (- 3; 0)$

Placer les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ et $E$ dans le repère $(O, I, J)$ .

Ma réponse

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Milieu et longueur d'un segment

Facile

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (2; - 2); B (4; - 1); C (- 6; - 2)$

Déterminer les coordonnées du vecteur $A B$ .
Déterminer les coordonnées du point $M$ , milieu de $[A B]$ .
Calculer la longueur $A B$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

3 exercices

Milieux et symétrie dans un repère

Intermédiaire

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (- 4; 3); B (0; 1); C (7; 3); D (4; 5)$

Déterminer les coordonnées du point $M$ , milieu de $[A B]$ .
Déterminer les coordonnées du point $N$ , milieu de $[C D]$ .
Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $A$ soit le milieu de $[E C]$ .
Déterminer les coordonnées du point $F$ tel que $N$ soit le symétrique de $F$ par rapport à $M$ .

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Prof Hicham

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Correction détaillée

Triangle rectangle par les longueurs

Intermédiaire

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (- 1; 2); B (- 3; 6); C (- 7; - 1)$

Calculer les longueurs des côtés du triangle $A B C$ .
En déduire que $A B C$ est un triangle rectangle.

Ma réponse

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Correction détaillée

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Intermédiaire

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (4; 1); B (0; 4); C (- 3; - 2); D (1; - 5)$

Montrer que le quadrilatère $A B C D$ est un parallélogramme.

Ma réponse

Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Translation et carré dans un repère

Difficile

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ . On considère les points :

$A (1; - 2); B (3; 2); C (7; 0)$

Déterminer les coordonnées du point $D$ , image du point $A$ par la translation de vecteur $B C$ .
Déterminer la nature du triangle $A B C$ .
En déduire la nature du quadrilatère $A B C D$ .
Déterminer les coordonnées du point $N$ , centre du quadrilatère $A B C D$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Exercices supplémentaires

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