Équation d'une droite

Dans un repère du plan, toute droite peut être décrite par une équation. Connaître l'équation d'une droite permet de la tracer, de prévoir les points qui lui appartiennent et de comparer plusieurs droites entre elles.

1. Équation réduite d'une droite

Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation $y=ax+b$.

2. Signification de $a$ et de $b$

L'ordonnée à l'origine $b$

L'ordonnée à l'origine $b$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ce point a pour coordonnées $(0;b)$.

En effet, si $x=0$ alors $y=a\times 0+b=b$.

Le coefficient directeur $a$

Le coefficient directeur $a$ indique l'inclinaison de la droite : quand on avance de $1$ unité vers la droite (l'abscisse augmente de $1$), l'ordonnée varie de $a$.

• Si $a>0$ : la droite « monte » (fonction croissante).
• Si $a<0$ : la droite « descend » (fonction décroissante).
• Si $a=0$ : la droite est horizontale.

3. Calcul du coefficient directeur à partir de deux points

On calcule donc la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses. L'ordre des points n'a pas d'importance, à condition d'écrire les coordonnées dans le même ordre au numérateur et au dénominateur.

4. Droites particulières

5. Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Pour trouver l'équation réduite $y=ax+b$ d'une droite passant par deux points donnés, on procède en deux étapes :

1. On calcule le coefficient directeur $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
2. On trouve $b$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points dans l'équation $y=ax+b$.

6. Condition de parallélisme de deux droites

Si de plus $b=b^{\prime }$, les deux droites sont confondues (c'est la même droite). Si $a=a^{\prime }$ et $b\ne b^{\prime }$, elles sont strictement parallèles.

7. Lecture graphique

À partir du graphique d'une droite, on peut lire son équation :

• On lit $b$ : c'est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
• On lit $a$ : en partant d'un point de la droite, on avance de $1$ vers la droite et on compte de combien on monte ($a>0$) ou on descend ($a<0$).

8. Exemples résolus

Exemple 1 : lire et utiliser une équation

Soit la droite $(D)$ d'équation $y=2x-3$.

• Son coefficient directeur est $a=2$ et son ordonnée à l'origine est $b=-3$.
• Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0;-3)$.
• Le point $A(4;5)$ appartient-il à $(D)$ ? On calcule $2\times 4-3=8-3=5$. Comme on retrouve $5$, le point $A$ appartient bien à la droite.

Exemple 2 : trouver l'équation d'une droite passant par deux points

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(1;3)$ et $B(3;7)$.

Étape 1 — coefficient directeur :

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$$

L'équation est donc de la forme $y=2x+b$.

Étape 2 — ordonnée à l'origine : on remplace par les coordonnées de $A(1;3)$ :

$$3=2\times 1+b⟹3=2+b⟹b=1$$

Conclusion : l'équation de la droite est $y=2x+1$.

Vérification avec $B(3;7)$ : $2\times 3+1=6+1=7$. C'est correct.

Exemple 3 : reconnaître des droites parallèles

Les droites $y=-3x+5$ et $y=-3x-2$ ont le même coefficient directeur $a=-3$, mais des ordonnées à l'origine différentes. Elles sont donc strictement parallèles.