Identités remarquables — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Les trois identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Applications

Développement : transformer un produit en somme
Factorisation : transformer une somme en produit
Calcul mental : 101² = (100+1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201

Reconnaître une identité remarquable

x² + 6x + 9 = (x + 3)² car 9 = 3² et 6x = 2 × x × 3
4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x - 5)(2x + 5)
9x² - 12x + 4 = (3x - 2)² car 9x² = (3x)², 4 = 2², 12x = 2 × 3x × 2

🔑 Formules clés à retenir

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

(a + b)² ≠ a² + b² — L'erreur la plus fréquente ! Le terme 2ab est souvent oublié.
Exemple : (x + 3)² = x² + 6x + 9, pas x² + 9.

❌

Signe du terme central dans (a − b)² — Le résultat contient −2ab, pas +2ab.
(x − 5)² = x² − 10x + 25.

❌

Confondre (a + b)(a − b) et (a − b)² — Le produit (a+b)(a−b) = a² − b² (pas de terme en ab).

🟢 Astuces de pros

✅

Reconnaître a et b rapidement : dans x² + 6x + 9, identifier a = x, b = 3 car 3² = 9 et 2×x×3 = 6x.

✅

Calcul mental : 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801. Très rapide !

💡

Après avoir développé, vérifier en remplaçant x par une valeur simple (ex: x=1) pour s'assurer que les deux membres sont égaux.

Identités remarquables — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Développement avec identités

🟢 Facile

Énoncé

Développer et simplifier :

(x + 3)²
(2x - 5)²
(x + 4)(x - 4)
(3x + 1)²

Ma réponse

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Correction détaillée

(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
(2x - 5)² = (2x)² - 2(2x)(5) + 5² = 4x² - 20x + 25
(x + 4)(x - 4) = x² - 4² = x² - 16
(3x + 1)² = 9x² + 6x + 1

Factorisation

🟢 Facile

Énoncé

Factoriser :

x² + 10x + 25
x² - 9
4x² - 12x + 9
16x² - 49

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Correction détaillée

x² + 10x + 25 = x² + 2(x)(5) + 5² = (x + 5)²
x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3)
4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2(2x)(3) + 3² = (2x - 3)²
16x² - 49 = (4x)² - 7² = (4x - 7)(4x + 7)

Développer des expressions

🟢 Facile

Énoncé

Développer et réduire :

(x + 7)²
(5 - x)²
(x + 2)(x - 2)
(4x - 3)²
(x + 1)(x - 1) + (x + 1)²

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Correction détaillée

(x + 7)² = x² + 14x + 49
(5 - x)² = 25 - 10x + x²
(x + 2)(x - 2) = x² - 4
(4x - 3)² = 16x² - 24x + 9
(x + 1)(x - 1) + (x + 1)² = (x² - 1) + (x² + 2x + 1) = 2x² + 2x = 2x(x + 1)

Calcul astucieux d'aire

🟢 Facile

Énoncé

Un carré a un côté de (a + b) cm. Un autre carré a un côté de (a - b) cm, avec a = 7 et b = 3.

Calculer l'aire de chaque carré en développant.
Calculer la différence des aires en utilisant une identité remarquable.

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Correction détaillée

Aire₁ = (7+3)² = 100 cm². Aire₂ = (7-3)² = 16 cm².
Aire₁ - Aire₂ = (a+b)² - (a-b)² = [(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)] = (2b)(2a) = 4ab = 4×7×3 = 84 cm². Vérification : 100 - 16 = 84 ✓

Calcul mental avec les identités remarquables

🟢 Facile

Énoncé

Utiliser les identités remarquables pour calculer rapidement :

101² − 99²
203 × 197

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Correction détaillée

101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 × 200 = 400
On utilise la différence de deux carrés : a² − b² = (a−b)(a+b)
203 × 197 = (200 + 3)(200 − 3) = 200² − 3² = 40 000 − 9 = 39 991
On utilise (a+b)(a−b) = a² − b² avec a = 200 et b = 3

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Calcul astucieux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer sans calculatrice en utilisant les identités remarquables :

101²
99²
52 × 48
203²

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Correction détaillée

101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10 201
99² = (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9 801
52 × 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 50² - 2² = 2500 - 4 = 2 496
203² = (200 + 3)² = 40000 + 1200 + 9 = 41 209

Factoriser des trinômes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

x² + 8x + 16
9x² - 1
x² - 14x + 49
25x² - 20x + 4
4x² - 9

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Correction détaillée

x² + 8x + 16 = x² + 2(x)(4) + 4² = (x + 4)²
9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x - 1)(3x + 1)
x² - 14x + 49 = x² - 2(x)(7) + 7² = (x - 7)²
25x² - 20x + 4 = (5x)² - 2(5x)(2) + 2² = (5x - 2)²
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)

Simplification de fractions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et le dénominateur :

$\dfrac{x^2 - 25}{x + 5}$
$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$
$\dfrac{4x^2 - 1}{2x - 1}$
$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$

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Correction détaillée

1) (x² - 25) / (x + 5)

x² - 25 = (x - 5)(x + 5)

= (x - 5)(x + 5) / (x + 5) = x - 5 (x ≠ -5)

2) (x² - 6x + 9) / (x - 3)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

= (x - 3)² / (x - 3) = x - 3 (x ≠ 3)

3) (4x² - 1) / (2x - 1)

4x² - 1 = (2x - 1)(2x + 1)

= (2x - 1)(2x + 1) / (2x - 1) = 2x + 1 (x ≠ 1/2)

4) (x² - 4) / (x² + 4x + 4)

Numérateur : x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Dénominateur : x² + 4x + 4 = (x + 2)²

= (x - 2)(x + 2) / (x + 2)² = (x - 2) / (x + 2) (x ≠ -2)

Factorisation complète de polynômes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser complètement :

2x² - 8
3x² - 12x + 12
x³ - x

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Correction détaillée

2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x - 2)(x + 2)
3x² - 12x + 12 = 3(x² - 4x + 4) = 3(x - 2)²
x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Factorisation — différence de carrés et carré parfait

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

9x² − 25
4a² − 12ab + 9b²
x⁴ − 16

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Correction détaillée

9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5) [différence de deux carrés]
4a² − 12ab + 9b² = (2a)² − 2×2a×3b + (3b)² = (2a − 3b)² [carré parfait]
x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4) [deux fois la différence de carrés]

Développer et réduire une différence de carrés

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer et réduire l'expression suivante :

(2x + 3y)² − (2x − 3y)²

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Correction détaillée

On développe chaque carré séparément :

(2x + 3y)² = (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

(2x − 3y)² = (2x)² − 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² − 12xy + 9y²

Différence : (4x² + 12xy + 9y²) − (4x² − 12xy + 9y²) = 12xy + 12xy = 24xy

Méthode rapide : On utilise (A+B)² − (A−B)² = 4AB avec A = 2x et B = 3y : 4 × 2x × 3y = 24xy ✓

Résoudre par factorisation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre les équations suivantes en factorisant :

x² − 5x + 6 = 0
4x² − 9 = 0

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Correction détaillée

x² − 5x + 6 = 0. On cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5 : 2 et 3.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ou x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
S = {2 ; 3}
4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3) = 0
2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2 ou 2x + 3 = 0 ⇒ x = −3/2.
S = {−3/2 ; 3/2}

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Factorisation avancée

🔴 Difficile

Énoncé

Factoriser complètement :

(x + 1)² - (2x - 3)²
x⁴ - 1
(2x + 3)² - (x + 5)²

Ma réponse

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Correction détaillée

1) (x+1)² - (2x-3)²

C'est a² - b² avec a = x+1 et b = 2x-3

= [(x+1) - (2x-3)][(x+1) + (2x-3)]

= (-x + 4)(3x - 2)

= -(x - 4)(3x - 2)

2) x⁴ - 1

= (x²)² - 1² = (x² - 1)(x² + 1)

= (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

3) (2x+3)² - (x+5)²

= [(2x+3) - (x+5)][(2x+3) + (x+5)]

= (x - 2)(3x + 8)

Prouver des égalités

🔴 Difficile

Énoncé

Prouver les égalités suivantes :

Pour tout réel x : (x + 3)² - (x - 3)² = 12x
Pour tout réel a : (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1
Aide : écrire (a+1)³ = (a+1)(a+1)²
Montrer que n² - n est toujours pair pour tout entier n.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) (x + 3)² - (x - 3)² = 12x

Développons le membre gauche :

(x + 3)² = x² + 6x + 9

(x - 3)² = x² - 6x + 9

Différence = (x² + 6x + 9) - (x² - 6x + 9) = 12x ✓

2) (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1

(a + 1)³ = (a + 1)(a + 1)²

= (a + 1)(a² + 2a + 1)

= a³ + 2a² + a + a² + 2a + 1

= a³ + 3a² + 3a + 1 ✓

3) n² - n est toujours pair

n² - n = n(n - 1)

C'est un produit de deux entiers consécutifs.

Parmi deux entiers consécutifs n et n-1, l'un est pair.

Donc le produit n(n-1) est pair. ✓

Applications avancées

🔴 Difficile

Énoncé

Si a + b = 5 et ab = 3, calculer a² + b² et (a - b)².
Factoriser complètement : 2x³ - 8x.
Résoudre : x² - 6x + 9 = 0 en utilisant les identités remarquables.
Calculer 49² - 48² sans calculatrice.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) a + b = 5, ab = 3

a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 6 = 19

(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 25 - 12 = 13

2) Factoriser 2x³ - 8x

= 2x(x² - 4)

= 2x(x - 2)(x + 2)

3) x² - 6x + 9 = 0

x² - 6x + 9 = (x - 3)² = 0

Donc x - 3 = 0 ⇒ x = 3 (solution double)

4) 49² - 48²

= (49 - 48)(49 + 48) = 1 × 97 = 97

Identités et paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Développer (x + k)² - (x - k)². Simplifier. Que remarques-tu ?
Montrer que (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²).
Pour a = 5 et b = 4, calculer (a + b)² + (a - b)² des deux façons et vérifier.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

(x+k)² - (x-k)² = x²+2kx+k² - (x²-2kx+k²) = 4kx. Le résultat est 4kx — linéaire en x et k.
(a+b)² + (a-b)² = a²+2ab+b² + a²-2ab+b² = 2a²+2b² = 2(a²+b²) ✓
(5+4)² + (5-4)² = 81 + 1 = 82. 2(25+16) = 2×41 = 82 ✓

Identités remarquables

Identités remarquables — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Les trois identités remarquables

Applications

Reconnaître une identité remarquable

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Identités remarquables — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Développement avec identités

Factorisation

Développer des expressions

Calcul astucieux d'aire

Calcul mental avec les identités remarquables

🟡 Exercices Intermédiaires

Calcul astucieux

Factoriser des trinômes

Simplification de fractions

1) (x² - 25) / (x + 5)

2) (x² - 6x + 9) / (x - 3)

3) (4x² - 1) / (2x - 1)

4) (x² - 4) / (x² + 4x + 4)

Factorisation complète de polynômes

Factorisation — différence de carrés et carré parfait

Développer et réduire une différence de carrés

Résoudre par factorisation

🔴 Exercices Difficiles

Factorisation avancée

1) (x+1)² - (2x-3)²

2) x⁴ - 1

3) (2x+3)² - (x+5)²

Prouver des égalités

1) (x + 3)² - (x - 3)² = 12x

2) (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1

3) n² - n est toujours pair

Applications avancées

1) a + b = 5, ab = 3

2) Factoriser 2x³ - 8x

3) x² - 6x + 9 = 0

4) 49² - 48²

Identités et paramètre

Quiz — Identités remarquables