Puissances — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Pour a ∈ ℝ et n ∈ ℕ* : aⁿ = a × a × ... × a (n fois).
a⁰ = 1 (pour a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (pour a ≠ 0)

Propriétés des puissances

aⁿ × a^m = a^n+m
aⁿ / a^m = a^n−m (a ≠ 0)
(aⁿ)^m = a^n×m
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)

Notation scientifique

Un nombre en notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ ℤ.

Exemples : 3 500 = 3,5 × 10³ ; 0,0042 = 4,2 × 10⁻³

🔑 Formules clés à retenir

aⁿ × a^m = a^n+m
(aⁿ)^m = a^n×m
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
a⁰ = 1

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

aⁿ × a^m ≠ a^n×m — On additionne les exposants, on ne les multiplie pas.
2³ × 2⁴ = 2⁷ (et non 2¹²).

❌

(aⁿ)^m ≠ aⁿ + a^m — Ici on multiplie les exposants : (2³)⁴ = 2¹².

❌

a⁻ⁿ n'est pas négatif ! — 2⁻³ = 1/8, c'est un nombre positif.

🟢 Astuces de pros

✅

Notation scientifique : compter le nombre de décalages de virgule. 0,0042 → virgule bouge de 3 rangs à droite → 4,2 × 10⁻³.

💡

Pour comparer des puissances, ramener à la même base ou au même exposant.

Puissances — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 16 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Calculs avec les puissances

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier :

2³ × 2⁴
5⁶ / 5²
(3²)³
10⁻³

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Correction détaillée

2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
5⁶ / 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625
(3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶ = 729
10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001

Règles des puissances — niveau 1

🟢 Facile

Énoncé

Calculer sans calculatrice :

3⁴
2⁰ + 5⁰ + 7⁰
(-2)³
(-3)² et -3²
4² × 4³ / 4⁴

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Correction détaillée

3⁴ = 81
2⁰ + 5⁰ + 7⁰ = 1 + 1 + 1 = 3
(-2)³ = -8
(-3)² = 9 et -3² = -9 (attention : -3² = -(3²) = -9)
4² × 4³ / 4⁴ = 4²⁺³⁻⁴ = 4¹ = 4

Puissances négatives et fractions

🟢 Facile

Énoncé

Écrire sous forme d'une fraction sans exposant négatif :

5⁻²
3⁻¹
(1/2)⁻³
2⁻³ × 2⁵
6⁻¹ + 6⁻¹

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Correction détaillée

5⁻² = 1/5² = 1/25
3⁻¹ = 1/3
(1/2)⁻³ = (2/1)³ = 2³ = 8
2⁻³ × 2⁵ = 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4
6⁻¹ + 6⁻¹ = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Puissances et divisions répétées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer sans calculatrice en simplifiant étape par étape :

(2⁵ × 3²) ÷ (2³ × 3)
(10⁶ × 5²) ÷ (10⁴ × 25)
(a⁴ × b²) ÷ (a² × b⁴) pour a = 3 et b = 2

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Correction détaillée

2^(5-3) × 3^(2-1) = 2² × 3 = 12
10^(6-4) × 5^(2-2) = 10² × 1 = 100 (car 25 = 5²)
a^(4-2) × b^(2-4) = a² × b^(-2) = 3²/2² = 9/4 = 2,25

Comparaisons et ordres de grandeur

🟢 Facile

Énoncé

1) Comparer sans calculatrice : 2¹⁰ et 10³.

2) Écrire en notation scientifique et comparer : 3,7 × 10⁵ et 0,00048 × 10⁹.

3) La population mondiale est d'environ 8 × 10⁹ personnes. La distance Terre-Lune est 3,84 × 10⁵ km. Si l'on mettait toutes les personnes côte à côte (en supposant 0,5 m par personne), atteindrait-on la Lune ?

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Correction détaillée

2¹⁰ = 1 024 et 10³ = 1 000. Donc 2¹⁰ > 10³.
0,00048 × 10⁹ = 4,8 × 10⁻⁴ × 10⁹ = 4,8 × 10⁵. Donc 4,8 × 10⁵ > 3,7 × 10⁵. 0,00048 × 10⁹ > 3,7 × 10⁵.
Distance totale = 8 × 10⁹ × 0,5 m = 4 × 10⁹ m = 4 × 10⁶ km. Distance Terre-Lune ≈ 3,84 × 10⁵ km. Comme 4 × 10⁶ > 3,84 × 10⁵, oui, on dépasserait largement la Lune (environ 10 fois la distance).

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Notation scientifique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire en notation scientifique :

45 000
0,00032
7 250 000
0,0000061

Puis calculer : (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷)

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Correction détaillée

45 000 = 4,5 × 10⁴
0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴
7 250 000 = 7,25 × 10⁶
0,0000061 = 6,1 × 10⁻⁶

(3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷) = 6 × 10⁴⁺⁽⁻⁷⁾ = 6 × 10⁻³ = 0,006

Opérations et comparaisons

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Simplifier : (2² × 3³) / 6

2) Calculer sans calculatrice : 10⁻² + 2 × 10⁻¹

3) Comparer : 2³⁰ et 3²⁰

4) Écrire sous forme 10ⁿ : 0,001 × 10⁵

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Correction détaillée

1) (2² × 3³) / 6

= (4 × 27) / 6 = 108 / 6 = 18 = 2 × 3² = 2 × 9

2) 10⁻² + 2 × 10⁻¹

= 0,01 + 0,2 = 0,21

3) Comparer 2³⁰ et 3²⁰

2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰

3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰

Puisque 8 < 9, on a 8¹⁰ < 9¹⁰

Donc 2³⁰ < 3²⁰

4) 0,001 × 10⁵

= 10⁻³ × 10⁵ = 10⁻³⁺⁵ = 10² = 100

Ordres de grandeur et comparaisons

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire en notation scientifique : 0,000 005 4 et 89 000 000.
Effectuer : (4,2 × 10⁵) ÷ (2,1 × 10²).
Comparer sans calculatrice : 2¹⁰ et 10³.
La Terre est à environ 1,5 × 10⁸ km du Soleil, Mars à 2,3 × 10⁸ km. Quelle est la différence ?

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Correction détaillée

1) Notation scientifique

0,000 005 4 = 5,4 × 10⁻⁶

89 000 000 = 8,9 × 10⁷

2) Division

(4,2 × 10⁵) ÷ (2,1 × 10²) = (4,2/2,1) × 10⁵⁻² = 2 × 10³

3) Comparer 2¹⁰ et 10³

2¹⁰ = 1024 et 10³ = 1000

Donc 2¹⁰ > 10³

4) Distance Terre-Mars

2,3 × 10⁸ - 1,5 × 10⁸ = (2,3 - 1,5) × 10⁸ = 0,8 × 10⁸ = 8 × 10⁷ km

Croissance et doublement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une colonie de bactéries double toutes les 3 heures. Elle commence avec 500 bactéries.

Donner une formule pour le nombre N(t) après t heures (t multiple de 3).
Calculer N(12) et N(24).
Après combien d'heures dépasse-t-elle 16 000 bactéries ?

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Correction détaillée

Chaque 3h multiplie par 2 : N(t) = 500 × 2^(t/3).
N(12) = 500 × 2^4 = 500 × 16 = 8 000. N(24) = 500 × 2^8 = 500 × 256 = 128 000.
500 × 2^(t/3) > 16 000 ⇒ 2^(t/3) > 32 = 2^5 ⇒ t/3 > 5 ⇒ t > 15 h. Après 18 heures (prochain multiple de 3).

Puissances négatives et fractions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier et écrire sans puissances négatives :

(2/3)⁻² × (3/4)¹
5⁻¹ + 2⁻¹
(a²b⁻³)⁻¹ × (a⁻¹b²)²
[(2x⁻²) / (3x)]⁻²

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Correction détaillée

(2/3)⁻² × (3/4) = (3/2)² × (3/4) = (9/4) × (3/4) = 27/16
5⁻¹ + 2⁻¹ = 1/5 + 1/2 = 2/10 + 5/10 = 7/10
(a²b⁻³)⁻¹ × (a⁻¹b²)² = a⁻²b³ × a⁻²b⁴ = a⁻⁴b⁷ = b⁷/a⁴
[(2x⁻²)/(3x)]⁻² = [(2/(3x³)]⁻² = (3x³/2)² = 9x⁶/4

Équations avec puissances

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre les équations suivantes :

2^x = 32
3^(2x−1) = 27
4^x = 8 (exprimer 4 et 8 comme puissances de 2)
10^x = 0,001

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Correction détaillée

2^x = 32 = 2⁵, donc x = 5.
3^(2x−1) = 27 = 3³, donc 2x−1 = 3, soit x = 2.
4^x = 8 → (2²)^x = 2³ → 2^(2x) = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2.
10^x = 0,001 = 10⁻³, donc x = −3.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Expressions complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier et donner le résultat sous forme d'une puissance :

(2³ × 4²) / 8
(9³ × 27) / 81²
(5ⁿ⁺¹ × 25) / 5ⁿ⁻¹

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Correction détaillée

1) (2³ × 4²) / 8

= (2³ × (2²)²) / 2³ = (2³ × 2⁴) / 2³ = 2⁷ / 2³ = 2⁴ = 16

2) (9³ × 27) / 81²

Tout en base 3 : = ((3²)³ × 3³) / (3⁴)² = (3⁶ × 3³) / 3⁸ = 3⁹ / 3⁸ = 3¹ = 3

3) (5ⁿ⁺¹ × 25) / 5ⁿ⁻¹

= (5ⁿ⁺¹ × 5²) / 5ⁿ⁻¹ = 5ⁿ⁺¹⁺² / 5ⁿ⁻¹ = 5ⁿ⁺³ / 5ⁿ⁻¹ = 5⁽ⁿ⁺³⁾⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ = 5⁴ = 625

Équations avec puissances

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre les équations suivantes (trouver n) :

2ⁿ = 32
3ⁿ⁺¹ = 81
5²ⁿ⁻¹ = 25
4ⁿ = 8² (indice : écrire en base 2)

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Correction détaillée

1) 2ⁿ = 32

32 = 2⁵, donc 2ⁿ = 2⁵ ⇒ n = 5

2) 3ⁿ⁺¹ = 81

81 = 3⁴, donc 3ⁿ⁺¹ = 3⁴ ⇒ n + 1 = 4 ⇒ n = 3

3) 5²ⁿ⁻¹ = 25

25 = 5², donc 5²ⁿ⁻¹ = 5² ⇒ 2n - 1 = 2 ⇒ 2n = 3 ⇒ n = 3/2

4) 4ⁿ = 8²

4 = 2² et 8 = 2³, donc (2²)ⁿ = (2³)² ⇒ 2²ⁿ = 2⁶ ⇒ 2n = 6 ⇒ n = 3

Simplifications complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (résultat sous forme d'une puissance) :

(6³ × 4²) / (2⁴ × 3³)
(2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹) / 2ⁿ
(a⁵ × b³) / (a² × b⁵) avec a ≠ 0 et b ≠ 0
Montrer que 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 5 × 4ⁿ

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Correction détaillée

1) (6³ × 4²) / (2⁴ × 3³)

= ((2×3)³ × (2²)²) / (2⁴ × 3³)

= (2³ × 3³ × 2⁴) / (2⁴ × 3³)

= 2³⁺⁴⁻⁴ × 3³⁻³ = 2³ × 3⁰ = 8 × 1 = 8

2) (2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹) / 2ⁿ

= (2ⁿ × 2³ - 2ⁿ × 2¹) / 2ⁿ

= 2ⁿ(8 - 2) / 2ⁿ = 6

3) (a⁵ × b³) / (a² × b⁵)

= a⁵⁻² × b³⁻⁵ = a³ × b⁻² = a³/b²

4) 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 5 × 4ⁿ

Membre gauche : 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 4ⁿ × 4¹ + 4ⁿ × 1 = 4ⁿ(4 + 1) = 5 × 4ⁿ ✓

Problème de placement financier

🔴 Difficile

Énoncé

Un capital de 10 000 DH est placé avec un taux d'intérêt de 5% par an (composé).

Donner la formule du capital C(n) après n années.
Calculer C(1), C(2) et C(10). (1,05^10 ≈ 1,629)
Après combien d'années le capital dépasse-t-il 20 000 DH ? (1,05^14 ≈ 1,979 ; 1,05^15 ≈ 2,079)

Ma réponse

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Correction détaillée

C(n) = 10 000 × 1,05^n
C(1) = 10 500 DH. C(2) = 10 000 × 1,1025 = 11 025 DH. C(10) = 10 000 × 1,629 = 16 290 DH.
1,05^n > 2 ⇒ 1,05^14 ≈ 1,979 < 2 et 1,05^15 ≈ 2,079 > 2 ⇒ après 15 ans.

Simplification de fractions avec puissances

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier au maximum :

(6^n × 4^(n+1)) / (8^n × 3^n)
(2^(n+1) + 2^n) / (2^(n+2) − 2^(n+1))
Montrer que pour tout entier n : 3^(2n+2) − 3^(2n) est divisible par 8.

Ma réponse

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Correction détaillée

(6^n × 4^(n+1)) / (8^n × 3^n) = [(2×3)^n × 4×4^n] / [(2³)^n × 3^n] = [2^n × 3^n × 4 × 2^(2n)] / [2^(3n) × 3^n] = [4 × 2^(3n) × 3^n] / [2^(3n) × 3^n] = 4.
On factorise : (2^(n+1) + 2^n) = 2^n(2+1) = 3 × 2^n. Et 2^(n+2) − 2^(n+1) = 2^(n+1)(2−1) = 2^(n+1). Donc le quotient = 3 × 2^n / 2^(n+1) = 3/2.
3^(2n+2) − 3^(2n) = 3^(2n)(3² − 1) = 9^n × 8. Comme 8 est un facteur, l'expression est divisible par 8. ∎

Puissances

Puissances — Résumé de cours

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📚 Contenu du cours

Définition

Propriétés des puissances

Notation scientifique

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Puissances — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calculs avec les puissances

Règles des puissances — niveau 1

Puissances négatives et fractions

Puissances et divisions répétées

Comparaisons et ordres de grandeur

🟡 Exercices Intermédiaires

Notation scientifique

Opérations et comparaisons

1) (2² × 3³) / 6

2) 10⁻² + 2 × 10⁻¹

3) Comparer 2³⁰ et 3²⁰

4) 0,001 × 10⁵

Ordres de grandeur et comparaisons

1) Notation scientifique

2) Division

3) Comparer 2¹⁰ et 10³

4) Distance Terre-Mars

Croissance et doublement

Puissances négatives et fractions

Équations avec puissances

🔴 Exercices Difficiles

Expressions complexes

1) (2³ × 4²) / 8

2) (9³ × 27) / 81²

3) (5ⁿ⁺¹ × 25) / 5ⁿ⁻¹

Équations avec puissances

1) 2ⁿ = 32

2) 3ⁿ⁺¹ = 81

3) 5²ⁿ⁻¹ = 25

4) 4ⁿ = 8²

Simplifications complexes

1) (6³ × 4²) / (2⁴ × 3³)

2) (2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹) / 2ⁿ

3) (a⁵ × b³) / (a² × b⁵)

4) 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 5 × 4ⁿ

Problème de placement financier

Simplification de fractions avec puissances

Quiz — Puissances