Racines carrées — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré est a : (√a)² = a.

Propriétés

√(a × b) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
√(a²) = |a|
(√a)² = a

Simplification

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine :

√12 = √(4 × 3) = 2√3
√75 = √(25 × 3) = 5√3
√48 = √(16 × 3) = 4√3

Rationalisation du dénominateur

a/√b = a√b/b ; a/(√b + √c) = a(√b - √c)/(b - c)

🔑 Formules clés à retenir

√(a×b) = √a × √b
√(a²) = |a|
Pour rationaliser : multiplier par le conjugué

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

√(a + b) ≠ √a + √b — L'erreur la plus répandue en racines !
√(9 + 16) = √25 = 5, et non √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

❌

√(a²) = |a|, pas a — Si a est négatif, √(a²) = −a (positif).
√((-3)²) = √9 = 3 = |−3|.

❌

La racine n'est définie que pour les positifs — √(−4) n'existe pas dans ℝ.

🟢 Astuces de pros

✅

Rationaliser le dénominateur : multiplier par le conjugué.
1/(√3 − 1) × (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2.

💡

Simplifier les radicaux en cherchant des carrés parfaits : √48 = √(16 × 3) = 4√3.

Racines carrées — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

20 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 20 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Simplification de racines

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier :

√50
√72
√200
3√8 + 2√18

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

√50 = √(25 × 2) = 5√2
√72 = √(36 × 2) = 6√2
√200 = √(100 × 2) = 10√2
3√8 + 2√18 = 3 × 2√2 + 2 × 3√2 = 6√2 + 6√2 = 12√2

Applications et calculs

🟢 Facile

Énoncé

1) Calculer la racine : √(4 × 9), √(16/25), √0,01

2) Écrire sous forme a√b où b est entier et sans facteur carré :

√18
√45
√200

3) Développer et simplifier : (√5 + 2)² et (3 - √2)²

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Calculs

√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6

√(16/25) = √16 / √25 = 4/5

√0,01 = 0,1

2) Écriture sous forme a√b

√18 = √(9 × 2) = 3√2

√45 = √(9 × 5) = 3√5

√200 = √(100 × 2) = 10√2

3) Développement

(√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5

(3 - √2)² = 9 - 6√2 + 2 = 11 - 6√2

Additions et soustractions de racines

🟢 Facile

Énoncé

Réduire en simplifiant les racines :

√12 + √27
√50 - √18 + √8
2√75 - 3√48
√(9/4)
√(1/3) × √3

Ma réponse

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Correction détaillée

√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
√50 - √18 + √8 = 5√2 - 3√2 + 2√2 = 4√2
2√75 - 3√48 = 2 × 5√3 - 3 × 4√3 = 10√3 - 12√3 = -2√3
√(9/4) = √9/√4 = 3/2
√(1/3) × √3 = √(1/3 × 3) = √1 = 1

Simplification et mise sous forme canonique

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier sous la forme a√b (b sans facteur carré) :

√72
√(98/2)
3√8 - √18 + 2√2

Ma réponse

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Correction détaillée

√72 = √(36×2) = 6√2
√(98/2) = √49 = 7
3√8 = 6√2 ; √18 = 3√2 ; 2√2 = 2√2. Total = (6-3+2)√2 = 5√2

Simplification de √(a²b)

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier en sortant les facteurs parfaits de sous la racine :

√(12a²) (a > 0)
√(75x⁴)
√(50a²b) (a > 0, b > 0)
√(a⁴b²c) (tous positifs)

Ma réponse

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Correction détaillée

√(12a²) = √(4 × 3 × a²) = 2a√3 (car a > 0, donc √(a²) = a). Réponse : 2a√3
√(75x⁴) = √(25 × 3 × x⁴) = 5x²√3 (car √(x⁴) = x² ≥ 0). Réponse : 5x²√3
√(50a²b) = √(25 × 2 × a² × b) = 5a√(2b). Réponse : 5a√(2b)
√(a⁴b²c) = √(a⁴) × √(b²) × √c = a²b√c. Réponse : a²b√c

🟡 Exercices Intermédiaires

8 exercices

Rationalisation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Rationaliser le dénominateur :

5/√3
2/(√5 - √3)
(1 + √2)/(1 - √2)

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Correction détaillée

1) 5/√3

= 5√3 / (√3 × √3) = 5√3/3

2) 2/(√5 - √3)

= 2(√5 + √3) / [(√5 - √3)(√5 + √3)] = 2(√5 + √3) / (5 - 3) = 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3

3) (1 + √2)/(1 - √2)

= (1+√2)(1+√2) / [(1-√2)(1+√2)] = (1+√2)² / (1-2) = (3 + 2√2) / (-1) = -3 - 2√2

Calculs avec racines et fractions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer et simplifier :

√2 × √8
(√3 + 1)(√3 - 1)
(2 + √5)²
$\dfrac{6}{ √2}$
$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$

Ma réponse

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Correction détaillée

√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4
(√3 + 1)(√3 - 1) = (√3)² - 1² = 3 - 1 = 2
(2 + √5)² = 4 + 4√5 + 5 = 9 + 4√5
6/√2 = 6√2/2 = 3√2
√15/√3 = √(15/3) = √5

Encadrement et approximation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Encadrer √10 entre deux entiers consécutifs.
Encadrer √50 entre deux entiers consécutifs.
Sans calculatrice, dire si √2 + √3 est supérieur ou inférieur à √5.
Simplifier l'expression : A = (√6 + √2)(√6 - √2)

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Encadrement de √10

3² = 9 < 10 < 16 = 4², donc 3 < √10 < 4

2) Encadrement de √50

7² = 49 < 50 < 64 = 8², donc 7 < √50 < 8

3) √2 + √3 et √5

Comparons (√2 + √3)² et (√5)²

(√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 > 5 = (√5)²

Donc √2 + √3 > √5

4) A = (√6 + √2)(√6 - √2)

= (√6)² - (√2)² = 6 - 2 = 4

Équation avec radical

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre (avec x ≥ 0 ou conditions appropriées) :

√(3x + 1) = 4
√x + 1 = √(2x - 3)
2√x - √(x + 1) = 1 (vérifier la solution)

Ma réponse

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Correction détaillée

3x + 1 = 16 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. Vérif : √16 = 4 ✓
Mettre au carré : x + 2√x + 1 = 2x - 3 ⇒ 2√x = x - 4 ⇒ 4x = x² - 8x + 16 ⇒ x² - 12x + 16 = 0. Δ = 144 - 64 = 80. x = (12 ± 4√5)/2 = 6 ± 2√5. Garder x ≥ 0 : x = 6 + 2√5 (≈ 10,47).
Isoler : 2√x - 1 = √(x+1). Carré : 4x - 4√x + 1 = x + 1 ⇒ 3x = 4√x ⇒ √x = 4/3 (si x≠0) ⇒ x = 16/9. Vérif : 2×4/3 - √(16/9+1) = 8/3 - √(25/9) = 8/3 - 5/3 = 1 ✓

Résolution d'équations avec racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

√x = 5
√(x − 3) = 4
√(2x + 1) = √(x + 4)
x = √(x + 6) (avec vérification obligatoire)

Ma réponse

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Correction détaillée

√x = 5 ⟺ x = 25 (et x ≥ 0 ✓). S = {25}
√(x−3) = 4 ⟺ x−3 = 16 (et x−3 ≥ 0 ✓). S = {19}
√(2x+1) = √(x+4). Conditions : 2x+1 ≥ 0 et x+4 ≥ 0. En élevant au carré : 2x+1 = x+4 ⟹ x = 3. Vérification : √7 = √7 ✓. S = {3}
x = √(x+6). Condition : x ≥ 0. On élève au carré : x² = x+6 ⟹ x²−x−6 = 0 ⟹ (x−3)(x+2) = 0 ⟹ x = 3 ou x = −2. Comme x ≥ 0 : on rejette x = −2. Vérification x = 3 : 3 = √9 = 3 ✓. S = {3}

Encadrement et approximations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Encadrer √11 entre deux entiers consécutifs.

2) Trouver une approximation de √11 à 0,1 près.

3) Sans calculatrice, comparer : √5 + √7 et √(5+7) = √12.

4) Vérifier que √3 + 1 > √5.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Encadrement de √11

3² = 9 < 11 < 16 = 4², donc 3 < √11 < 4.

2) Approximation à 0,1 près

3,3² = 10,89 < 11 < 11,56 = 3,4². Donc 3,3 < √11 < 3,4. √11 ≈ 3,3 à 0,1 près.

3) Comparer √5 + √7 et √12

Élevons au carré : (√5 + √7)² = 5 + 2√35 + 7 = 12 + 2√35.

(√12)² = 12.

Comme 2√35 > 0, on a (√5 + √7)² > (√12)² > 0, donc √5 + √7 > √12.

4) Vérifier √3 + 1 > √5

Élevons au carré : (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.

(√5)² = 5.

On compare 4 + 2√3 et 5 : 4 + 2√3 > 5 ⟺ 2√3 > 1 ⟺ √3 > 1/2. C'est vrai car √3 > 1. ∎

Simplification de sommes de radicaux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :

√200 + √50 − √18
√(3 + 2√2) (Astuce : chercher a et b tels que (a + b)² = 3 + 2√2)

Ma réponse

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Correction détaillée

On décompose chaque radical :
√200 = √(100×2) = 10√2
√50 = √(25×2) = 5√2
√18 = √(9×2) = 3√2
Somme : 10√2 + 5√2 − 3√2 = 12√2
On cherche a, b > 0 tels que (a + b)² = a² + 2ab + b² = 3 + 2√2.
Essayons a = √2 et b = 1 : (√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2 ✓
Donc √(3 + 2√2) = 1 + √2.

Rationalisation du dénominateur

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Rationaliser le dénominateur (écrire sans racine au dénominateur) :

1 / (√5 + √3)
6 / (2 − √3)

Ma réponse

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Correction détaillée

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué (√5 − √3) :
1/(√5 + √3) × (√5 − √3)/(√5 − √3) = (√5 − √3) / ((√5)² − (√3)²) = (√5 − √3) / (5 − 3)
= (√5 − √3) / 2
On multiplie par le conjugué (2 + √3) :
6/(2 − √3) × (2 + √3)/(2 + √3) = 6(2 + √3) / (4 − 3) = 6(2 + √3) / 1
= 12 + 6√3

🔴 Exercices Difficiles

7 exercices

Problème avec racines

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que (√3 + √2)² + (√3 - √2)² = 10.
Simplifier A = √(7 + 4√3) sachant que A > 0.
Comparer √7 + √2 et √3 + √5 sans calculatrice.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) Démonstration

(√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6

(√3 - √2)² = 3 - 2√6 + 2 = 5 - 2√6

Somme = 5 + 2√6 + 5 - 2√6 = 10 ✓

2) Simplification de A = √(7 + 4√3)

Cherchons a et b tels que (a + b)² = 7 + 4√3

a² + b² = 7 et 2ab = 4√3, donc ab = 2√3

Essayons a = 2 et b = √3 : a² + b² = 4 + 3 = 7 ✓ et ab = 2√3 ✓

Donc A = 2 + √3

3) Comparaison

Comparons (√7 + √2)² et (√3 + √5)²

(√7 + √2)² = 7 + 2 + 2√14 = 9 + 2√14

(√3 + √5)² = 3 + 5 + 2√15 = 8 + 2√15

Différence : (9 + 2√14) - (8 + 2√15) = 1 + 2(√14 - √15)

√14 < √15 donc √14 - √15 < 0, et 2(√14 - √15) ≈ 2(-0,13) = -0,26

1 - 0,26 = 0,74 > 0

Donc (√7 + √2)² > (√3 + √5)², et comme les deux sont positifs : √7 + √2 > √3 + √5

Expressions irrationnelles complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Rationaliser : $\dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$
Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ pour tout entier n ≥ 0.
Calculer sans calculatrice : $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} + \dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}$

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Rationalisation

= 3(√5 - √2) / [(√5 + √2)(√5 - √2)] = 3(√5 - √2) / (5 - 2) = (√5 - √2)

2) Démonstration

Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué (√(n+1) - √n) :

= 1 × (√(n+1) - √n) / [(√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)]

= (√(n+1) - √n) / [(n+1) - n]

= (√(n+1) - √n) / 1 = √(n+1) - √n ✓

3) Calcul (télescopique)

En utilisant le résultat de 2) avec les conjugués :

1/(√2-1) = (√2+1)/[(√2-1)(√2+1)] = √2+1

1/(√3-√2) = √3+√2

1/(√4-√3) = √4+√3 = 2+√3

Somme = (√2+1) + (√3+√2) + (2+√3) = 3 + 2√2 + 2√3... Attendons :

En utilisant la formule prouvée (conjugués inversés) :

= (√2-1)⁻¹ = √2+1 ; (√3-√2)⁻¹ = √3+√2 ; (√4-√3)⁻¹ = 2+√3

Somme = 1 + √2 + √2 + √3 + √3 + 2 = 3 + 2√2 + 2√3

Géométrie et racines carrées

🔴 Difficile

Énoncé

1) Un carré a une diagonale de longueur 10 cm. Calculer la longueur de son côté.

2) Un rectangle a pour dimensions (√3 + 1) cm et (√3 - 1) cm. Calculer :

Son aire
Sa diagonale

3) Simplifier : $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ (chercher sous la forme a + b√2)

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Correction détaillée

1) Côté du carré

Si le côté vaut c, la diagonale vaut c√2.

c√2 = 10 ⇒ c = 10/√2 = 10√2/2 = 5√2 ≈ 7,07 cm

2) Rectangle (√3+1) × (√3-1)

Aire = (√3+1)(√3-1) = 3 - 1 = 2 cm²

Diagonale : d² = (√3+1)² + (√3-1)²

(√3+1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3

(√3-1)² = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3

d² = 4 + 2√3 + 4 - 2√3 = 8

d = √8 = 2√2 ≈ 2,83 cm

3) Simplifier √(3 + 2√2)

Cherchons a et b tels que (a + b)² = 3 + 2√2

a² + b² = 3 et 2ab = 2√2 ⇒ ab = √2

Essayons a = 1 et b = √2 : a² + b² = 1 + 2 = 3 ✓ et ab = √2 ✓

Donc √(3 + 2√2) = 1 + √2

Géométrie — diagonale et calcul exact

🔴 Difficile

Énoncé

Un carré a une diagonale de 10 cm. Calculer la longueur exacte du côté.
Dans un triangle équilatéral de côté 6 cm, calculer la hauteur et l'aire exactes.
Montrer que la diagonale d'un rectangle (5√2 × 3√2) est entière.

Ma réponse

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Correction détaillée

d = c√2 ⇒ c = d/√2 = 10/√2 = 10√2/2 = 5√2 cm
Hauteur h = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3 cm. Aire = (1/2)×6×3√3 = 9√3 cm².
Côtés = 5√2 et 3√2. Diagonale² = (5√2)² + (3√2)² = 50 + 18 = 68. Diagonale = √68 = 2√17. Ce n'est pas entière, mais (5√2)×(3√2) = 15×2 = 30 cm². Correction : diagonale = √((5√2)²+(3√2)²) = √68 = 2√17.

Expressions avec plusieurs termes irrationnels

🔴 Difficile

Énoncé

Calculer les expressions suivantes et simplifier au maximum :

(√6 − √2)(√6 + √2)
(2√3 − √5)²
(√a + √b)(√a − √b) pour a, b > 0
Montrer que (1 + √2)² = 3 + 2√2.
Déduire un encadrement de (1 + √2)² sans calculatrice.

Ma réponse

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Correction détaillée

(√6 − √2)(√6 + √2) = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4
(2√3 − √5)² = (2√3)² − 2(2√3)(√5) + (√5)² = 12 − 4√15 + 5 = 17 − 4√15
(√a + √b)(√a − √b) = (√a)² − (√b)² = a − b (identité remarquable)
(1 + √2)² = 1 + 2(1)(√2) + (√2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 ∎
√2 est entre 1,4 et 1,5, donc 2√2 est entre 2,8 et 3. Ainsi 3 + 2√2 est entre 5,8 et 6. 5,8 < (1 + √2)² < 6.

Résolution d'équation avec racine carrée

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre l'équation √(2x + 3) = x − 1 et vérifier les solutions.

Ma réponse

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Correction détaillée

Conditions d'existence : 2x + 3 ≥ 0 (sous le radical) et x − 1 ≥ 0 (la racine est positive), donc x ≥ 1.

On élève les deux membres au carré :

2x + 3 = (x − 1)² = x² − 2x + 1

x² − 2x + 1 − 2x − 3 = 0 ⇒ x² − 4x − 2 = 0

Discriminant : Δ = 16 + 8 = 24. √Δ = 2√6.

x = (4 ± 2√6) / 2 = 2 ± √6

x₁ = 2 + √6 ≈ 4,45 et x₂ = 2 − √6 ≈ −0,45

Vérification : x₂ ≈ −0,45 < 1 donc rejeté. Pour x₁ ≈ 4,45 : √(2×4,45+3) ≈ √11,9 ≈ 3,45 et x₁−1 ≈ 3,45 ✓

Solution : x = 2 + √6

Irrationalité de √2 — raisonnement par l'absurde

🔴 Difficile

Énoncé

Prouver que √2 est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme p/q où p et q sont des entiers avec q ≠ 0.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Raisonnement par l'absurde :

Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel. On peut donc écrire √2 = p/q où p et q sont des entiers, q ≠ 0, et la fraction est irréductible (p et q n'ont pas de diviseur commun autre que 1).

Alors : 2 = p²/q² ⇒ p² = 2q².

Donc p² est pair, ce qui implique que p est pair (si p était impair, p² serait impair). Posons p = 2k.

(2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k².

Donc q² est pair, ce qui implique que q est pair.

Contradiction ! p et q sont tous deux pairs, donc ils ont 2 comme diviseur commun. Cela contredit l'hypothèse que p/q est irréductible.

Conclusion : √2 est irrationnel. ∎

Racines carrées

Racines carrées — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Propriétés

Simplification

Rationalisation du dénominateur

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Racines carrées — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Simplification de racines

Applications et calculs

1) Calculs

2) Écriture sous forme a√b

3) Développement

Additions et soustractions de racines

Simplification et mise sous forme canonique

Simplification de √(a²b)

🟡 Exercices Intermédiaires

Rationalisation

1) 5/√3

2) 2/(√5 - √3)

3) (1 + √2)/(1 - √2)

Calculs avec racines et fractions

Encadrement et approximation

1) Encadrement de √10

2) Encadrement de √50

3) √2 + √3 et √5

4) A = (√6 + √2)(√6 - √2)

Équation avec radical

Résolution d'équations avec racines

Encadrement et approximations

1) Encadrement de √11

2) Approximation à 0,1 près

3) Comparer √5 + √7 et √12

4) Vérifier √3 + 1 > √5

Simplification de sommes de radicaux

Rationalisation du dénominateur

🔴 Exercices Difficiles

Problème avec racines

1) Démonstration

2) Simplification de A = √(7 + 4√3)

3) Comparaison

Expressions irrationnelles complexes

1) Rationalisation

2) Démonstration

3) Calcul (télescopique)

Géométrie et racines carrées

1) Côté du carré

2) Rectangle (√3+1) × (√3-1)

3) Simplifier √(3 + 2√2)

Géométrie — diagonale et calcul exact

Expressions avec plusieurs termes irrationnels

Résolution d'équation avec racine carrée

Irrationalité de √2 — raisonnement par l'absurde

Quiz — Racines carrées