Équations du premier degré — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Équation du premier degré à une inconnue

Forme : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
Solution : x = -b/a

Méthode de résolution

Développer et réduire chaque membre
Regrouper les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre
Diviser par le coefficient de x

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Forme : ax + by = c et dx + ey = f

Méthodes :

Substitution : exprimer une variable en fonction de l'autre
Addition : combiner les équations pour éliminer une variable

Mise en équation de problèmes

Étapes : choix de l'inconnue → mise en équation → résolution → vérification

🔑 Formules clés à retenir

ax + b = 0 ⇒ x = -b/a
Substitution ou addition pour les systèmes

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Diviser par zéro — Si le coefficient de x est 0, l'équation n'est plus du premier degré. Vérifier a ≠ 0 avant de diviser.

❌

Oublier de changer les signes en passant un terme de l'autre côté — 2x + 5 = 0 → 2x = −5, pas +5.

❌

Multiplier des deux côtés par une expression qui peut être nulle — Toujours vérifier que le dénominateur ≠ 0.

🟢 Astuces de pros

✅

Vérifier la solution — Remplacer x dans l'équation initiale pour s'assurer que les deux membres sont égaux.

💡

Pour les équations avec fractions, multiplier tous les termes par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions d'un coup.

Équations du premier degré — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 16 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Équations simples

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre :

3x - 7 = 2x + 5
4(x - 2) = 3(x + 1)
x/2 + 3 = x/3 + 5

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) 3x - 7 = 2x + 5

3x - 2x = 5 + 7 ⇒ x = 12

2) 4(x - 2) = 3(x + 1)

4x - 8 = 3x + 3 ⇒ x = 11

3) x/2 + 3 = x/3 + 5

Multiplions par 6 : 3x + 18 = 2x + 30 ⇒ x = 12

Résolution d'équations avec développement

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre les équations suivantes :

5x + 3 = 3x + 11
2(x + 4) = x + 12
7 - 2x = 3 + x
3(2x - 1) = 5(x + 2)

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 5x + 3 = 3x + 11

5x - 3x = 11 - 3 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

2) 2(x + 4) = x + 12

2x + 8 = x + 12 ⇒ x = 4

3) 7 - 2x = 3 + x

7 - 3 = x + 2x ⇒ 4 = 3x ⇒ x = 4/3

4) 3(2x - 1) = 5(x + 2)

6x - 3 = 5x + 10 ⇒ x = 13

Équations avec fractions

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre :

x/3 = 4
x/4 + 2 = 5
(2x + 1)/3 = (x - 1)/2
x/5 - x/2 = 3

Ma réponse

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Correction détaillée

1) x/3 = 4

x = 4 × 3 = 12

2) x/4 + 2 = 5

x/4 = 3 ⇒ x = 12

3) (2x + 1)/3 = (x - 1)/2

Multiplier par 6 : 2(2x + 1) = 3(x - 1)

4x + 2 = 3x - 3 ⇒ x = -5

4) x/5 - x/2 = 3

LCD = 10 : 2x/10 - 5x/10 = 3

-3x/10 = 3 ⇒ x = -10

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Systèmes d'équations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre le système :

2x + 3y = 13
x - y = 1

Puis vérifier la solution.

Ma réponse

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Correction détaillée

De la 2ème équation : x = y + 1

Substitution dans la 1ère : 2(y + 1) + 3y = 13

2y + 2 + 3y = 13 ⇒ 5y = 11 ⇒ y = 11/5

x = 11/5 + 1 = 16/5

Vérification :

2(16/5) + 3(11/5) = 32/5 + 33/5 = 65/5 = 13 ✓
16/5 - 11/5 = 5/5 = 1 ✓

S = {(16/5, 11/5)}

Systèmes et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Résoudre le système :

x + 2y = 7
3x - y = 4

2) Déterminer deux nombres dont la somme est 25 et la différence est 7.

3) Un café vend du café à 15 dh/kg et du thé à 25 dh/kg. Pour 10 kg d'un mélange, il demande 170 dh. Quelles quantités de café et de thé sont dans le mélange ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Système

Méthode d'addition :

(1) × 3 : 3x + 6y = 21

(2) : 3x - y = 4

Soustraction : 7y = 17 ⇒ y = 17/7

De (1) : x = 7 - 2(17/7) = (49 - 34)/7 = 15/7

Solution : x = 15/7, y = 17/7

2) Deux nombres

Soit x et y les deux nombres.

x + y = 25 et x - y = 7

Addition : 2x = 32 ⇒ x = 16

D'où y = 9

Les deux nombres sont 16 et 9.

3) Mélange de café et thé

Soit c kg de café et t kg de thé.

c + t = 10 (masse totale)

15c + 25t = 170 (prix total)

De (1) : c = 10 - t

15(10 - t) + 25t = 170

150 - 15t + 25t = 170 ⇒ 10t = 20 ⇒ t = 2

Donc c = 8

Le mélange contient 8 kg de café et 2 kg de thé.

Problèmes concrets

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Problème 1 : Karim a 3 fois l'âge de sa sœur. Dans 8 ans, il aura 2 fois son âge. Quel est l'âge actuel de chacun ?

Problème 2 : Un sac de pommes coûte 12 dh de plus qu'un sac d'oranges. Si on achète 3 sacs de pommes et 5 sacs d'oranges pour 150 dh, quel est le prix de chaque sac ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Problème 1 — Ages

Soit x l'âge de la sœur. Karim a 3x ans.

Dans 8 ans : 3x + 8 = 2(x + 8)

3x + 8 = 2x + 16 ⇒ x = 8

La sœur a 8 ans et Karim a 24 ans.

Vérification : dans 8 ans, sœur = 16, Karim = 32 = 2 × 16 ✓

Problème 2 — Fruits

Soit p le prix d'oranges. Le prix de pommes = p + 12.

3(p + 12) + 5p = 150

3p + 36 + 5p = 150

8p = 114 ⇒ p = 14,25 dh

Pommes = 26,25 dh

Vérification : 3 × 26,25 + 5 × 14,25 = 78,75 + 71,25 = 150 ✓

Problème de mélange

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un commerçant mélange deux types de thé :

Thé A à 120 DH/kg
Thé B à 80 DH/kg

Il veut obtenir 20 kg d'un mélange à 95 DH/kg.

Poser le système d'équations (x = quantité de A, y = quantité de B).
Résoudre et interpréter.

Ma réponse

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Correction détaillée

{ x + y = 20 et 120x + 80y = 95 × 20 = 1 900
De la 1ère : y = 20 - x. Dans la 2ème : 120x + 80(20-x) = 1900 ⇒ 40x = 1900 - 1600 = 300 ⇒ x = 7,5 kg de thé A et y = 12,5 kg de thé B.

Équation avec fractions — deux termes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre l'équation :

(2x − 1)/3 + (x + 4)/5 = 2

Ma réponse

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Correction détaillée

On multiplie tous les membres par le PPCM de 3 et 5, qui est 15 :

15 × (2x−1)/3 + 15 × (x+4)/5 = 15 × 2

5(2x−1) + 3(x+4) = 30

10x − 5 + 3x + 12 = 30

13x + 7 = 30

13x = 23

x = 23/13

Vérification : (2×23/13 − 1)/3 + (23/13 + 4)/5 = (46/13 − 13/13)/3 + (23/13 + 52/13)/5 = (33/13)/3 + (75/13)/5 = 11/13 + 15/13 = 26/13 = 2 ✓

Problème d'âge — père et fils

🟡 Intermédiaire

Énoncé

L'âge du père est le triple de l'âge du fils. Dans 15 ans, l'âge du père sera le double de l'âge du fils.

Poser les inconnues et traduire la situation par une équation.
Résoudre et en déduire les âges actuels.

Ma réponse

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Correction détaillée

Soit x l'âge actuel du fils. L'âge du père est 3x.
Dans 15 ans : fils aura x+15, père aura 3x+15.
Condition : 3x + 15 = 2(x + 15)
3x + 15 = 2x + 30
3x − 2x = 30 − 15
x = 15 (âge du fils)
Âge du père = 3 × 15 = 45 ans
Vérification dans 15 ans : fils 30 ans, père 60 ans. 60 = 2 × 30 ✓

Inéquation du premier degré

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre l'inéquation suivante et représenter la solution sur une droite graduée :

3x − 7 > 2x + 5

Ma réponse

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Correction détaillée

On procède comme pour une équation :

3x − 7 > 2x + 5

3x − 2x > 5 + 7

x > 12

Ensemble solution : S = ]12 ; +∞[

Représentation sur la droite graduée : crochet ouvert en 12 (la valeur 12 est exclue car l'inégalité est stricte), flèche vers la droite.

────────────●══════════════▶
12

🔴 Exercices Difficiles

6 exercices

Problème de mise en équation

🔴 Difficile

Énoncé

Un père a 42 ans et son fils a 12 ans.

Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de l'âge du fils ?
Il y a combien d'années l'âge du père était-il le quintuple de celui du fils ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Triple

Soit x le nombre d'années cherché.

Âge du père : 42 + x, âge du fils : 12 + x

42 + x = 3(12 + x) ⇒ 42 + x = 36 + 3x ⇒ 6 = 2x ⇒ x = 3

Vérification : dans 3 ans, père = 45, fils = 15, et 45 = 3 × 15 ✓

Dans 3 ans.

2) Quintuple

Soit y le nombre d'années (y > 0).

42 - y = 5(12 - y) ⇒ 42 - y = 60 - 5y ⇒ 4y = 18 ⇒ y = 4,5

Vérification : il y a 4,5 ans, père = 37,5, fils = 7,5, et 37,5 = 5 × 7,5 ✓

Il y a 4 ans et demi.

Système par addition et substitution

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants par la méthode indiquée :

a) Par substitution :

3x - 2y = 8
y = x - 1

b) Par addition :

4x + 3y = 18
2x - 3y = 0

c) Résoudre par la méthode de votre choix :

5x + 2y = 23
3x - y = 9

Ma réponse

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Correction détaillée

a) Par substitution

y = x - 1 → substituer dans 3x - 2y = 8 :

3x - 2(x - 1) = 8 ⇒ 3x - 2x + 2 = 8 ⇒ x = 6

y = 6 - 1 = 5 — S = (6, 5)

b) Par addition

(4x + 3y) + (2x - 3y) = 18 + 0

6x = 18 ⇒ x = 3

2(3) - 3y = 0 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2 — S = (3, 2)

c) Méthode mixte

De la 2ème : y = 3x - 9

5x + 2(3x - 9) = 23 ⇒ 5x + 6x - 18 = 23 ⇒ 11x = 41 ⇒ x = 41/11

y = 3(41/11) - 9 = 123/11 - 99/11 = 24/11 — S = (41/11, 24/11)

Problème avancé — inéquation et optimisation

🔴 Difficile

Énoncé

Partie A : Résoudre l'inéquation 3x - 5 > x + 7 et représenter les solutions sur une droite graduée.

Partie B : Une piscine rectangulaire a un périmètre de 60 m. Sa longueur est le double de sa largeur augmentée de 3 m. Trouver les dimensions et l'aire de la piscine.

Partie C : Pour quelle(s) valeur(s) de x, les expressions 2x + 3 et 5x - 6 sont-elles égales ? Supérieure ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Partie A — Inéquation

3x - 5 > x + 7 ⇒ 2x > 12 ⇒ x > 6

Ensemble solution : ]6 ; +∞[ (sur la droite : flèche vers la droite depuis 6, cercle ouvert)

Partie B — Piscine

Soit L la largeur. Longueur = 2L + 3

Périmètre : 2(L + 2L + 3) = 60

2(3L + 3) = 60 ⇒ 3L + 3 = 30 ⇒ L = 9 m

Longueur = 2(9) + 3 = 21 m

Aire = 9 × 21 = 189 m²

Partie C

2x + 3 = 5x - 6 ⇒ 9 = 3x ⇒ x = 3

2x + 3 > 5x - 6 ⇒ 9 > 3x ⇒ x < 3 : pour x < 3, 2x+3 est supérieure

Équation avec valeur absolue

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|x - 5| = 3
|2x + 1| = x + 4
|x + 2| + |x - 3| = 7

Ma réponse

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Correction détaillée

x - 5 = 3 ⇒ x = 8, ou x - 5 = -3 ⇒ x = 2. S = {2 ; 8}
Cas x + 4 ≥ 0 (x ≥ -4) : 2x+1 = x+4 ⇒ x=3 ✓, ou 2x+1 = -(x+4) ⇒ 3x=-5 ⇒ x=-5/3 ≥ -4 ✓. S = {-5/3 ; 3}
Cas x < -2 : -(x+2) + (3-x) = 7 ⇒ -2x+1=7 ⇒ x=-3 ✓. Cas -2≤x≤3 : (x+2)+(3-x)=5 ≠ 7. Cas x > 3 : (x+2)+(x-3)=7 ⇒ 2x-1=7 ⇒ x=4 ✓. S = {-3 ; 4}

Équation à coefficients fractionnaires

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre en éliminant les dénominateurs :

(x - 1)/3 + (x + 2)/4 = (2x - 1)/6
(3x - 2)/(x + 1) = 2 (avec x ≠ -1)

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Multiplier par 12 : 4(x-1) + 3(x+2) = 2(2x-1) ⇒ 4x-4+3x+6 = 4x-2 ⇒ 7x+2 = 4x-2 ⇒ 3x = -4 ⇒ x = -4/3
3x - 2 = 2(x+1) ⇒ 3x - 2 = 2x + 2 ⇒ x = 4. Vérif : (12-2)/5 = 10/5 = 2 ✓

Problème vitesse-distance-temps — deux trains

🔴 Difficile

Énoncé

Deux trains partent en même temps de deux gares A et B distantes de 480 km et se dirigent l'un vers l'autre. Le train de A roule à 120 km/h et le train de B à 80 km/h.

Au bout de combien d'heures se croisent-ils ?
À quelle distance de A se trouvent-ils au moment du croisement ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Soit t le temps en heures jusqu'au croisement.
Distance parcourue par le train A : 120t.
Distance parcourue par le train B : 80t.
Ensemble, ils couvrent 480 km : 120t + 80t = 480 ⇒ 200t = 480 ⇒ t = 2,4 heures (soit 2 h 24 min)
Distance de A au croisement = 120 × 2,4 = 288 km. Vérification : 80 × 2,4 = 192 km. 288 + 192 = 480 ✓

Équations du premier degré

Équations du premier degré — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Équation du premier degré à une inconnue

Méthode de résolution

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Mise en équation de problèmes

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Équations du premier degré — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Équations simples

1) 3x - 7 = 2x + 5

2) 4(x - 2) = 3(x + 1)

3) x/2 + 3 = x/3 + 5

Résolution d'équations avec développement

1) 5x + 3 = 3x + 11

2) 2(x + 4) = x + 12

3) 7 - 2x = 3 + x

4) 3(2x - 1) = 5(x + 2)

Équations avec fractions

1) x/3 = 4

2) x/4 + 2 = 5

3) (2x + 1)/3 = (x - 1)/2

4) x/5 - x/2 = 3

🟡 Exercices Intermédiaires

Systèmes d'équations

Systèmes et applications

1) Système

2) Deux nombres

3) Mélange de café et thé

Problèmes concrets

Problème 1 — Ages

Problème 2 — Fruits

Problème de mélange

Équation avec fractions — deux termes

Problème d'âge — père et fils

Inéquation du premier degré

🔴 Exercices Difficiles

Problème de mise en équation

1) Triple

2) Quintuple

Système par addition et substitution

a) Par substitution

b) Par addition

c) Méthode mixte

Problème avancé — inéquation et optimisation

Partie A — Inéquation

Partie B — Piscine

Partie C

Équation avec valeur absolue

Équation à coefficients fractionnaires

Problème vitesse-distance-temps — deux trains

Quiz — Équations du premier degré