Pour mesurer la largeur $AB$ d'un étang, on place un point $S$ sur la rive. On place $M$ sur $[SA]$ à $15$ m de $S$, et $N$ sur $[SB]$ à $10$ m de $S$, tels que $(MN)\parallel (AB)$. On mesure $MN=6$ m.

1. Calculer $SA$ et $SB$ si $\frac{SM}{SA}=\frac{15}{SA}$ et on sait que $\frac{SN}{SB}=\frac{SM}{SA}$.
2. Calculer $AB$.

Dans un triangle OAB, M est un point de [OA] et N un point de [OB] avec OM = 3 cm, OA = 9 cm, ON = 2 cm, OB = 6 cm.

1. Calculer les rapports OM/OA et ON/OB.
2. Que peut-on conclure pour les droites (MN) et (AB) ? Justifier.

Par une journée ensoleillée, un arbre de hauteur inconnue projette une ombre de 6 m. Au même moment, un poteau de 1,5 m de hauteur projette une ombre de 2 m.

1. Expliquer pourquoi les triangles formés sont semblables.
2. Calculer la hauteur de l'arbre.

Un plan architectural est dessiné à l'échelle $\frac{1}{200}$ (1 cm sur le plan représente 200 cm dans la réalité).

1. Sur le plan, une pièce mesure $3,5\times 2$ cm. Quelles sont ses dimensions réelles (en mètres) ?
2. Une porte réelle fait 2,1 m de largeur. Combien de cm mesure-t-elle sur le plan ?
3. L'aire de la pièce sur le plan est $7{\text{ cm}}^2$. Quelle est l'aire réelle en $m^2$ ?

Dans un triangle ABC, on a M $\in$ [AB] et N $\in$ [AC] tels que AM $=4$, MB $=6$, AN $=3$ et NC $=4,5$.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Un triangle ABC a une aire de 20 $c{m}^2$. On considère un triangle A'B'C' agrandissement de ABC avec un rapport de 2,5.

1. Quel est le rapport entre les périmètres ?
2. Quelle est l'aire de A'B'C' ?
3. Si AB = 5 cm, que vaut A'B' ?

Dans un triangle ABC, M $\in$ [AB] et N $\in$ [AC].

Cas 1 : $AM=6$, $AB=10$, $AN=9$, $AC=15$. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Cas 2 : $AM=4$, $MB=6$, $AN=6$, $NC=9$. Même question.

Cas 3 : $AM=3$, $AB=8$, $AN=4,5$, $NC=7,5$. Même question.

$D$ est un point du segment $[AE]$ et $B$ est un point du segment $[AC]$. Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés et les points $A$, $D$, $E$ sont alignés.

On donne :

$AB=6,3\text{cm};BC=4,9\text{cm};AE=16\text{cm};DE=7\text{cm}$

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AC=5$ et $BC=4$. La médiatrice de $[AB]$ coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$.

1. Montre que $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$.
2. Calcule la valeur de $MN$.
3. Soient $E$ un point de $[AC]$ tel que $CE=2$ et $F$ un point de $[BC]$ tel que $CF=1,6$. Montre que $(EF)//(BA)$.

$ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=8$ et $AD=4,5$. Soit $E$ un point de la demi-droite $[CB)$ tel que $BE=1,5$ (avec $B$ entre $C$ et $E$). Soit $N$ un point de $[CD]$ tel que $CN=6$.

1. Montre que la droite $(BN)$ est parallèle à la droite $(DE)$.

Soit un triangle $SEF$. Le point $G$ appartient au segment $[SE]$ (avec $S$, $G$, $E$ alignés dans cet ordre) et le point $H$ appartient au segment $[SF]$ (avec $S$, $H$, $F$ alignés dans cet ordre).

On donne : $SG=3cm$, $SE=8cm$, $SH=5cm$ et $SF=12cm$.

Les droites $(GH)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Les droites $(AM)$ et $(BN)$ se coupent en un point $O$, tel que $O$ appartient au segment $[AM]$ (avec $A$, $O$, $M$ alignés dans cet ordre) et $O$ appartient au segment $[BN]$ (avec $B$, $O$, $N$ alignés dans cet ordre). Les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles.

On donne : $OA=3cm$, $OM=7,5cm$, $OB=4cm$ et $AB=5cm$.

1) Calculer la longueur $ON$.
2) Calculer la longueur $MN$.

Soit un triangle $SCD$. Le point $P$ appartient au segment $[SC]$ (avec $S$, $P$, $C$ alignés dans cet ordre) et le point $Q$ appartient au segment $[SD]$ (avec $S$, $Q$, $D$ alignés dans cet ordre).

On donne : $SP=4cm$, $SC=6cm$, $SQ=5cm$ et $SD=7,5cm$.

Démontrer que les droites $(PQ)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Un artiste souhaite agrandir une peinture. La dimension originale de la toile est de $40$ cm de large et $60$ cm de haut. Si l'artiste veut que la nouvelle toile fasse $80$ cm de large, quelle sera la nouvelle hauteur pour garder les mêmes proportions ?

Dans un parc, deux chemins sont parallèles. Un piéton part de $A$ et arrive à $C$ en passant par $B$. Si $AB=10$ m, $AC=15$ m et $BC=5$ m, quelle est la longueur de $B^{\prime }{C}^{\prime }$ si $A{B}^{\prime }=5$ m?

On a $AB=12$ cm, $AC=8$ cm et $A{B}^{\prime }=6$ cm. Montrez que les droites $(BC)$ et $(B^{\prime }{C}^{\prime })$ sont parallèles si $A{C}^{\prime }=4$ cm.

Dans le triangle $ABC$, on sait que $AB=9$ cm, $AC=12$ cm, et que $(BC)$ est parallèle à $(B^{\prime }{C}^{\prime })$. Si $A{B}^{\prime }=3$ cm, calculez $A{C}^{\prime }$.

Les points A, B, C sont alignés et les points D, E, F sont alignés. On sait que AB = 5 cm, AC = 10 cm, AD = 2.5 cm et AE = 5 cm. Démontrer que (BC) // (DE).

Un artiste a une toile dont les dimensions sont $AB=2$ m et $AC=3$ m. Il souhaite agrandir la toile en gardant le rapport. Si la longueur de $AB$ agrandie est de $6$ m, quelle sera la nouvelle longueur de $AC$ ?

Dans une ville, deux routes parallèles (AB) et (CD) sont séparées par une distance de 50 m. Si un point E est à 30 m de A sur la route (AB), combien mesure la distance entre E et la route (CD) si l'on sait que BC = 40 m ?

Dans un triangle ABC, les points D et E sont sur les côtés AB et AC respectivement, avec (DE) // (BC). On sait que AD = 4 cm, DB = 6 cm et EC = 5 cm. Calculez la longueur AE.

Un agrandissement est appliqué à un carré dont chaque côté mesure 4 cm. Si le rapport d'agrandissement est 2, quelle sera la longueur d'un côté du carré agrandi ?