Théorème de Thalès — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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Théorème de Thalès

Si (BC) // (B'C') et si A, B, B' sont alignés et A, C, C' sont alignés, alors :
AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'

Réciproque du théorème de Thalès

Si AB/AB' = AC/AC' et si les points sont dans le même ordre, alors (BC) // (B'C').

Applications

Calculer une longueur inconnue dans une configuration de Thalès
Démontrer que deux droites sont parallèles
Agrandissement et réduction (rapport k)

Attention

Vérifier l'alignement des points et l'ordre dans lequel ils apparaissent avant d'appliquer le théorème.

🔑 Formules clés à retenir

AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C' (si (BC) // (B'C'))
Réciproque : si les rapports sont égaux, les droites sont parallèles

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Inverser l'ordre des points dans les rapports — Le ratio doit toujours être AB/AB' (pas AB'/AB). Les points doivent correspondre dans le même ordre sur chaque droite.

❌

Appliquer Thalès sans vérifier le parallélisme — Le théorème ne fonctionne que si (BC) // (B'C'). Toujours justifier cette condition.

❌

Confondre la configuration "papillon" et la configuration "classique" — Les deux existent, vérifier que les droites coupantes passent par le même point.

🟢 Astuces de pros

✅

Schéma systématique : avant tout calcul, tracer la figure et noter tous les rapports égaux. Cela évite les erreurs d'ordre des points.

💡

Pour la réciproque : calculer les deux rapports séparément et vérifier qu'ils sont strictement égaux avant de conclure.

Théorème de Thalès — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Application directe de Thalès

🟢 Facile

Énoncé

Dans la figure, (MN) // (BC) avec AM = 3, AB = 9, AN = 2 et BC = 12.

Calculer AC.
Calculer MN.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC

3/9 = 2/AC = MN/12, donc 1/3 = 2/AC = MN/12

1) AC

1/3 = 2/AC ⇒ AC = 6

2) MN

1/3 = MN/12 ⇒ MN = 4

Calcul de longueur par Thalès

🟢 Facile

Énoncé

Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N est sur [AC] avec (MN) // (BC).

On donne : AM = 5 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm.

Calculer le rapport AM/AB.
Calculer AC.
Si MN = 3 cm, calculer BC.

Ma réponse

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Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès (MN // BC) :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

1) Rapport AM/AB

AM/AB = 5/15 = 1/3

2) AC

AN/AC = 1/3 ⇒ AC = 3 × AN = 3 × 4 = 12 cm

3) BC

MN/BC = 1/3 ⇒ BC = 3 × MN = 3 × 3 = 9 cm

Longueur inconnue dans une configuration

🟢 Facile

Énoncé

Deux droites (D1) et (D2) se coupent en O. Sur (D1), on place les points A et A' avec OA = 4 et OA' = 10. Sur (D2), les points B et B' avec OB = 3. Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Calculer OB'.
Si AB = 2, calculer A'B'.

Ma réponse

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Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès : OA/OA' = OB/OB' = AB/A'B'

OA/OA' = 4/10 = 2/5

1) OB'

OB/OB' = 2/5 ⇒ OB' = OB × 5/2 = 3 × 5/2 = 7,5

2) A'B'

AB/A'B' = 2/5 ⇒ A'B' = AB × 5/2 = 2 × 5/2 = 5

Thalès et échelle de carte

🟢 Facile

Énoncé

Sur une carte à l'échelle 1/25 000, une route mesure 8 cm. Sur une autre carte à l'échelle 1/50 000, quelle est la longueur de cette même route ? Calculer aussi la distance réelle.

Ma réponse

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Correction détaillée

Distance réelle = 8 × 25 000 = 200 000 cm = 2 km.

Sur la 2ème carte : 2 000 000 cm ÷ 50 000 = 4 cm.

Thalès justifie : longueur carte/distance réelle = 1/échelle (rapport constant).

Longueur manquante dans deux triangles semblables

🟢 Facile

Énoncé

Dans la figure, les droites (DE) et (BC) sont parallèles. On connaît : AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 3 cm et BC = 7,5 cm.

Calculer EC.
Calculer DE.

Ma réponse

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Correction détaillée

Par Thalès : AD/AB = AE/AC.
AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm.
4/10 = 3/AC ⇒ AC = 3 × 10/4 = 7,5 cm.
EC = AC − AE = 7,5 − 3 = 4,5 cm.
AD/AB = DE/BC ⇒ 4/10 = DE/7,5 ⇒ DE = 7,5 × 4/10 = 3 cm.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Réciproque de Thalès

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC, on a M ∈ [AB] et N ∈ [AC] tels que AM = 4, MB = 6, AN = 3 et NC = 4,5.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Calculons les rapports :

AM/AB = 4/(4+6) = 4/10 = 2/5

AN/AC = 3/(3+4,5) = 3/7,5 = 2/5

AM/AB = AN/AC = 2/5

De plus, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], les points sont dans le même ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès : (MN) // (BC)

Agrandissement et réduction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle ABC a une aire de 20 cm². On considère un triangle A'B'C' agrandissement de ABC avec un rapport de 2,5.

Quel est le rapport entre les périmètres ?
Quelle est l'aire de A'B'C' ?
Si AB = 5 cm, que vaut A'B' ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Rapport des périmètres

Le rapport des périmètres est égal au rapport de similitude : 2,5

2) Aire de A'B'C'

L'aire est multipliée par le carré du rapport de similitude :

Aire(A'B'C') = Aire(ABC) × (2,5)² = 20 × 6,25 = 125 cm²

3) Longueur A'B'

Les longueurs sont multipliées par le rapport de similitude :

A'B' = AB × 2,5 = 5 × 2,5 = 12,5 cm

Utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC].

Cas 1 : AM = 6, AB = 10, AN = 9, AC = 15. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Cas 2 : AM = 4, MB = 6, AN = 6, NC = 9. Même question.

Cas 3 : AM = 3, AB = 8, AN = 4,5, NC = 7,5. Même question.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Cas 1

AM/AB = 6/10 = 3/5

AN/AC = 9/15 = 3/5

Les rapports sont égaux ⇒ (MN) // (BC) (réciproque de Thalès)

Cas 2

AB = AM + MB = 10 ; AC = AN + NC = 15

AM/AB = 4/10 = 2/5

AN/AC = 6/15 = 2/5

Les rapports sont égaux ⇒ (MN) // (BC)

Cas 3

AC = AN + NC = 4,5 + 7,5 = 12

AM/AB = 3/8

AN/AC = 4,5/12 = 3/8

Les rapports sont égaux ⇒ (MN) // (BC)

Mesure indirecte par Thalès

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Pour mesurer la largeur AB d'un étang, on place un point S sur la rive. On place M sur [SA] à 15 m de S, et N sur [SB] à 10 m de S, tels que (MN) ∥ (AB). On mesure MN = 6 m.

Calculer SA et SB si SM/SA = 15/SA et on sait que SN/SB = SM/SA.
Calculer AB.

Ma réponse

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Correction détaillée

SM/SA = SN/SB. On donne SM = 15, SN = 10 et SM/SA = SN/SB. On ne connaît pas SA, mais le rapport SM/SN = 15/10 = 3/2 = SA/SB (par Thalès). Sans plus d'info, on utilise MN/AB = SM/SA. On pose SM/SA = k. Si on donne SA = 25 : k = 15/25 = 3/5.
MN/AB = SM/SA ⇒ 6/AB = 3/5 ⇒ AB = 10 m.

Réciproque de Thalès — droites parallèles

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle OAB, M est un point de [OA] et N un point de [OB] avec OM = 3 cm, OA = 9 cm, ON = 2 cm, OB = 6 cm.

Calculer les rapports OM/OA et ON/OB.
Que peut-on conclure pour les droites (MN) et (AB) ? Justifier.

Ma réponse

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Correction détaillée

OM/OA = 3/9 = 1/3. ON/OB = 2/6 = 1/3.
Les rapports OM/OA et ON/OB sont égaux (= 1/3). Par la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles.

Mesure indirecte — hauteur d'un arbre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Par une journée ensoleillée, un arbre de hauteur inconnue projette une ombre de 6 m. Au même moment, un poteau de 1,5 m de hauteur projette une ombre de 2 m.

Expliquer pourquoi les triangles formés sont semblables.
Calculer la hauteur de l'arbre.

Ma réponse

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Correction détaillée

Les rayons du soleil sont parallèles. Les triangles formés par le soleil, le sommet de chaque objet et l'extrémité de son ombre sont donc semblables (mêmes angles).
Par Thalès (ou proportionnalité) : hauteur_arbre / ombre_arbre = hauteur_poteau / ombre_poteau.
h / 6 = 1,5 / 2 ⇒ h = 6 × 1,5/2 = 4,5 m.

Agrandissement/réduction — plan à l'échelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un plan architectural est dessiné à l'échelle 1/200 (1 cm sur le plan représente 200 cm dans la réalité).

Sur le plan, une pièce mesure 3,5 cm × 2 cm. Quelles sont ses dimensions réelles (en mètres) ?
Une porte réelle fait 2,1 m de largeur. Combien de cm mesure-t-elle sur le plan ?
L'aire de la pièce sur le plan est 7 cm². Quelle est l'aire réelle en m² ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Dimensions réelles : 3,5 × 200 = 700 cm = 7 m et 2 × 200 = 400 cm = 4 m.
2,1 m = 210 cm. Sur le plan : 210 / 200 = 1,05 cm.
L'échelle linéaire est 1/200, donc l'échelle des aires est 1/200² = 1/40 000.
Aire réelle = 7 × 40 000 = 280 000 cm² = 28 m². (Ou directement : 7 × 4 = 28 m².)

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Problème complet

🔴 Difficile

Énoncé

Deux droites (d₁) et (d₂) se coupent en A. On place B et C sur (d₁), D et E sur (d₂) tels que (BD) // (CE).

AB = 3, BC = 2, AD = 4.

Calculer AE.
On donne BD = 5. Calculer CE.
Soit F le milieu de [CE]. Montrer que (BF) n'est pas parallèle à (d₂).

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Calcul de AE

AC = AB + BC = 5

(BD) // (CE), d'après Thalès : AB/AC = AD/AE

3/5 = 4/AE ⇒ AE = 20/3

2) Calcul de CE

AB/AC = BD/CE ⇒ 3/5 = 5/CE ⇒ CE = 25/3

3) F milieu de [CE]

AF = AD + DE/2... Non, calculons autrement.

DE = AE - AD = 20/3 - 4 = 8/3

F milieu de [CE] : AF = AD + DF. Mais F est sur le segment [CE], pas sur (d₂).

En fait, F est le milieu de [CE], donc on ne peut pas dire que F est sur (d₂).

Si (BF) // (d₂), alors par Thalès avec le point A et les droites (d₁), (d₂) :

AB/AC₁ = AD/AF₁ pour un point F₁ sur (d₂). Mais F n'est pas forcément sur (d₂), donc l'hypothèse n'a pas de sens direct.

Reformulons : F milieu de [CE] signifie CF = CE/2 = 25/6.

Pour que (BF) soit parallèle à (AD), il faudrait AB/AC = quelque chose de cohérent, mais F n'est pas sur la droite (AE), donc (BF) ne peut pas être parallèle à (d₂) = (ADE) de manière triviale par Thalès.

Configuration croisée et problème de hauteur

🔴 Difficile

Énoncé

Un arbre et un poteau sont côte à côte. À partir d'un point P au sol distant de 12 m du pied de l'arbre, l'ombre de l'arbre et celle du poteau se superposent exactement. Le poteau mesure 2 m de haut et est planté à 4 m de P. Calculer la hauteur de l'arbre en utilisant le théorème de Thalès.

Ma réponse

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Correction détaillée

Notons H la hauteur de l'arbre et plaçons le repère :

P est le point de départ, pied de l'arbre à distance 12, pied du poteau à distance 4.

Le soleil crée des ombres parallèles. On utilise deux triangles semblables :

Triangle avec le poteau : base = 4 m (de P au pied du poteau), hauteur = 2 m

Triangle avec l'arbre : base = 12 m (de P au pied de l'arbre), hauteur = H

D'après Thalès (ou triangles semblables) :

H / 12 = 2 / 4

H = 12 × 2/4 = 12 × 0,5 = 6 m

L'arbre mesure 6 mètres.

Démonstration et calcul combiné

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le triangle ABC, D est un point de [AB] et E est un point de [AC] tels que DE // BC.

On sait que AD = 3x − 1, DB = x + 1, AE = 2x + 1, EC = x − 1.

Utiliser le théorème de Thalès pour écrire une équation vérifiée par x.
Résoudre cette équation et justifier le choix de la solution.
Calculer les longueurs AD, DB, AE, EC.
Calculer le rapport DE/BC.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Écriture de l'équation

D'après le théorème de Thalès (DE // BC) :

AD/DB = AE/EC

(3x − 1)/(x + 1) = (2x + 1)/(x − 1)

2) Résolution

Produit en croix :

(3x − 1)(x − 1) = (2x + 1)(x + 1)

3x² − 3x − x + 1 = 2x² + 2x + x + 1

3x² − 4x + 1 = 2x² + 3x + 1

x² − 7x = 0

x(x − 7) = 0

Donc x = 0 ou x = 7.

Discussion : si x = 0, alors EC = 0 − 1 = −1 < 0, ce qui est impossible (une longueur est positive).

On retient donc x = 7.

3) Calcul des longueurs

AD = 3(7) − 1 = 20 cm

DB = 7 + 1 = 8 cm

AE = 2(7) + 1 = 15 cm

EC = 7 − 1 = 6 cm

Vérification : AD/DB = 20/8 = 5/2 et AE/EC = 15/6 = 5/2 ✓

4) Rapport DE/BC

D'après Thalès : DE/BC = AD/AB = AD/(AD + DB) = 20/(20 + 8) = 20/28 = 5/7

Thalès + Pythagore combinés

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un triangle SAB rectangle en A, SB = 10 cm et AB = 6 cm. M est un point de [SA] avec SM = 2 cm, SA = 4 cm, et N ∈ [SB] tel que (MN) ∥ (AB).

Calculer SA par Pythagore. (Correction : AB est une cathète)
Appliquer Thalès pour trouver SN et MN.
Calculer l'aire du triangle SMN.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

SA = √(SB² - AB²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm.
SM/SA = SN/SB ⇒ 2/8 = SN/10 ⇒ SN = 2,5 cm. MN/AB = SM/SA = 1/4 ⇒ MN = 1,5 cm.
Aire SMN = (1/2) × MN × SM (hauteur depuis S sur MN) mais plus simple : Aire = (SM/SA)² × Aire SAB = (1/4)² × (1/2 × 6 × 8) = (1/16) × 24 = 1,5 cm².

Théorème de Thalès

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