Théorème de Pythagore — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC²

Réciproque

Si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Contraposée

Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Applications

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Démontrer qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle
Distance entre deux points dans un repère : d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

🔑 Formules clés à retenir

BC² = AB² + AC² (rectangle en A)
d(A,B) = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Se tromper sur l'hypoténuse — L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit, c'est le plus grand côté. Ce n'est pas forcément BC !

❌

Oublier la racine carrée — BC² = 25 ⇒ BC = 5, pas 25.

❌

Utiliser Pythagore sans angle droit — Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Toujours justifier l'angle droit.

🟢 Astuces de pros

✅

Triplets pythagoriciens à connaître par cœur : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (6, 8, 10). Reconnaître ces triplets fait gagner beaucoup de temps.

💡

Pour la réciproque : si c² = a² + b², le triangle est rectangle en C. Calculer les trois carrés séparément avant de comparer.

Théorème de Pythagore — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

20 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de l'hypoténuse

🟢 Facile

Énoncé

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.

Calculer BC.

Ma réponse

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Correction détaillée

D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5 cm

Triangle rectangle — calculs directs

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque triangle rectangle, calculer la longueur manquante :

Hypoténuse : c = ? ; jambes : a = 6, b = 8
Jambe : b = ? ; hypoténuse c = 10, jambe a = 6
Hypoténuse : c = ? ; jambes : a = 5, b = 12
Jambe : a = ? ; hypoténuse c = 17, jambe b = 15

Ma réponse

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Correction détaillée

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⇒ c = 10
b² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ⇒ b = 8
c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⇒ c = 13
a² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64 ⇒ a = 8

Ces triplets (6,8,10), (6,8,10), (5,12,13), (8,15,17) sont des triplets pythagoriciens.

Reconnaître un triangle rectangle

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque triangle, déterminer s'il est rectangle. Si oui, indiquer le sommet de l'angle droit.

AB = 9, BC = 40, AC = 41
AB = 6, BC = 7, AC = 10
AB = 8, BC = 15, AC = 17
AB = 4, BC = 4, AC = 4√2

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Correction détaillée

1) AB=9, BC=40, AC=41

Plus grand côté : AC = 41. AC² = 1681 et AB² + BC² = 81 + 1600 = 1681 ✓

Triangle rectangle en B.

2) AB=6, BC=7, AC=10

AC² = 100 et AB² + BC² = 36 + 49 = 85 ≠ 100

Pas rectangle.

3) AB=8, BC=15, AC=17

AC² = 289 et AB² + BC² = 64 + 225 = 289 ✓

Triangle rectangle en B.

4) AB=4, BC=4, AC=4√2

AC² = (4√2)² = 32 et AB² + BC² = 16 + 16 = 32 ✓

Triangle isocèle rectangle en B.

Triplets pythagoriciens

🟢 Facile

Énoncé

Vérifier que (3, 4, 5), (5, 12, 13) et (8, 15, 17) sont des triplets pythagoriciens.
Un triangle a des côtés proportionnels à 3, 4, 5 et son plus grand côté mesure 20 cm. Calculer les autres côtés.

Ma réponse

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Correction détaillée

3²+4² = 9+16 = 25 = 5² ✓. 5²+12² = 25+144 = 169 = 13² ✓. 8²+15² = 64+225 = 289 = 17² ✓
Coefficient : 20/5 = 4. Côtés : 3×4 = 12 cm et 4×4 = 16 cm. Vérif : 12²+16² = 144+256 = 400 = 20² ✓

Triangle 9-40-41 — est-il rectangle ?

🟢 Facile

Énoncé

On considère un triangle de côtés 9 cm, 40 cm et 41 cm.

Quel côté devrait être l'hypoténuse si le triangle est rectangle ?
Vérifier si ce triangle est rectangle par le théorème de Pythagore.

Ma réponse

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Correction détaillée

L'hypoténuse est le côté le plus long : 41 cm.
On vérifie si 41² = 9² + 40² :
41² = 1 681
9² + 40² = 81 + 1 600 = 1 681
1 681 = 1 681 ✓
Conclusion : par la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est bien rectangle en le sommet opposé au côté 41 cm.

Problème : échelle appuyée contre un mur

🟢 Facile

Énoncé

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Sa base se trouve à 1,5 m du pied du mur.

À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (Donner une valeur exacte et une valeur approchée.)
Si l'on veut que l'échelle atteigne une hauteur de 4,8 m, à quelle distance du mur doit se trouver sa base ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse.
h² = 5² − 1,5² = 25 − 2,25 = 22,75
h = √22,75 = √(91/4) = √91 / 2 ≈ 4,77 m
d² = 5² − 4,8² = 25 − 23,04 = 1,96
d = √1,96 = 1,4 m

🟡 Exercices Intermédiaires

8 exercices

Vérifier si un triangle est rectangle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle a pour côtés a = 5, b = 12, c = 13.

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Même question avec a = 7, b = 8, c = 11.

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Correction détaillée

1) a=5, b=12, c=13

Le plus grand côté est c = 13.

c² = 169 et a² + b² = 25 + 144 = 169

c² = a² + b² : le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté c.

2) a=7, b=8, c=11

Le plus grand côté est c = 11.

c² = 121 et a² + b² = 49 + 64 = 113

c² ≠ a² + b² (121 ≠ 113) : le triangle n'est pas rectangle.

(De plus 121 > 113, donc le triangle est obtusangle.)

Application concrète — Problèmes de la vie courante

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Problème 1 : Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 2 m du mur. À quelle hauteur du sol atteint-elle le mur ?

Problème 2 : Un terrain rectangulaire mesure 24 m × 10 m. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

Problème 3 : Un triangle isocèle ABC a sa base BC = 10 cm et sa hauteur AH = 12 cm (H milieu de BC). Calculer AB.

Ma réponse

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Correction détaillée

Problème 1 — Échelle

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.

Échelle = hypoténuse = 5 m, pied = 2 m

h² + 2² = 5² ⇒ h² = 25 - 4 = 21 ⇒ h = √21 ≈ 4,58 m

Problème 2 — Terrain

d² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676

d = √676 = 26 m

Problème 3 — Triangle isocèle

H est le milieu de BC, donc BH = 5 cm. Le triangle ABH est rectangle en H.

AB² = AH² + BH² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

AB = 13 cm

Pythagore dans le repère

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(0, 0), B(6, 0), C(6, 8) et D(0, 8).

Montrer que ABCD est un rectangle.
Calculer les diagonales AC et BD.
Soit M le milieu de [AB] et N le milieu de [CD]. Calculer MN.
Le point P(3, 4) est-il à égale distance de A et C ?

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Correction détaillée

1) ABCD est un rectangle

AB est horizontal (de A(0,0) à B(6,0)), longueur = 6

BC est vertical (de B(6,0) à C(6,8)), longueur = 8

CD est horizontal, DA est vertical → ABCD est bien un rectangle.

2) Diagonales

AC = √[(6-0)² + (8-0)²] = √[36 + 64] = √100 = 10

BD = √[(0-6)² + (8-0)²] = √[36 + 64] = 10

Les diagonales sont égales ✓ (propriété du rectangle)

3) Milieux M et N

M = milieu de AB = (3, 0), N = milieu de CD = (3, 8)

MN = √[(3-3)² + (8-0)²] = √64 = 8

4) P(3, 4) et égalité des distances

PA = √[(3-0)² + (4-0)²] = √[9+16] = √25 = 5

PC = √[(3-6)² + (4-8)²] = √[9+16] = √25 = 5

PA = PC = 5 ✓ → P est équidistant de A et C (c'est le centre du rectangle)

Cercle et Pythagore

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cercle de centre O et de rayon 5 cm a une corde AB.

La distance de O à AB est 3 cm. Calculer AB.
Si AB = 6 cm, calculer la distance de O à AB.
Un point M est sur le cercle. AM = 6 cm et AB = 10 cm (diamètre). Calculer BM.

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Correction détaillée

H milieu de AB. OH = 3, OA = 5. AH = √(25-9) = 4. AB = 8 cm.
AH = 3, OA = 5. OH = √(25-9) = 4 cm.
AB est un diamètre ⇒ angle AMB = 90°. BM = √(AB²-AM²) = √(100-36) = 8 cm.

Réciproque et triangle quelconque

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Déterminer si les triangles suivants sont rectangles :

Côtés 9, 40, 41.
Côtés 6, 8, 11.
Côtés 20, 21, 29.

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Correction détaillée

1) Côtés 9, 40, 41

Plus grand côté : 41. 41² = 1681. 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. 1681 = 1681 ✓

Triangle rectangle (angle droit opposé à l'hypoténuse 41).

2) Côtés 6, 8, 11

Plus grand côté : 11. 11² = 121. 6² + 8² = 36 + 64 = 100. 121 ≠ 100.

Pas rectangle (obtusangle car 121 > 100).

3) Côtés 20, 21, 29

Plus grand côté : 29. 29² = 841. 20² + 21² = 400 + 441 = 841. 841 = 841 ✓

Triangle rectangle.

Triangle isocèle : hauteur et aire

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle isocèle ABC a AB = AC = 13 cm et BC = 10 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.

Montrer que H est le milieu de BC.
Calculer AH.
Calculer l'aire du triangle.

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Correction détaillée

1) H milieu de BC

Dans un triangle isocèle AB = AC, la hauteur issue de A est aussi la médiatrice de BC. Donc H est le milieu de BC. ∎

2) AH

BH = 5 cm. Triangle ABH rectangle en H : AH² = AB² − BH² = 169 − 25 = 144. AH = 12 cm.

3) Aire

Aire = (BC × AH)/2 = (10 × 12)/2 = 60 cm².

Côté d'un losange à partir de ses diagonales

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un losange a des diagonales de longueur 16 cm et 12 cm. Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Calculer la longueur d'un côté du losange.
Calculer le périmètre du losange.

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Correction détaillée

Les demi-diagonales mesurent 16/2 = 8 cm et 12/2 = 6 cm. Elles forment un triangle rectangle. Par Pythagore, le côté c du losange vérifie :
c² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
c = 10 cm
Périmètre = 4 × 10 = 40 cm.

Hauteur d'un triangle équilatéral

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit un triangle équilatéral de côté a. La hauteur issue d'un sommet tombe au milieu du côté opposé.

Exprimer la hauteur h du triangle en fonction de a par Pythagore.
Application : calculer h pour a = 6 cm.

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Correction détaillée

La hauteur h coupe le côté en deux moitiés de longueur a/2. On a un triangle rectangle de côtés h, a/2 et hypoténuse a.
a² = h² + (a/2)² ⇒ h² = a² − a²/4 = 3a²/4 ⇒ h = (a√3)/2
Pour a = 6 cm : h = (6√3)/2 = 3√3 ≈ 5,20 cm.

🔴 Exercices Difficiles

6 exercices

Problème dans un repère

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1, 2), B(4, 6) et C(7, 2).

Calculer les distances AB, BC et AC.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Calculer l'aire du triangle ABC.

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Correction détaillée

1) Distances

AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

BC = √[(7-4)² + (2-6)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

AC = √[(7-1)² + (2-2)²] = √[36 + 0] = 6

2) Triangle rectangle ?

Le plus grand côté est AC = 6.

AC² = 36 et AB² + BC² = 25 + 25 = 50

36 ≠ 50, donc ABC n'est pas rectangle.

Vérifions AB² + AC² = 25 + 36 = 61 ≠ 25 = BC²

BC² + AC² = 25 + 36 = 61 ≠ 25 = AB²

Le triangle ABC n'est pas rectangle (c'est un triangle isocèle en B avec AB = BC = 5).

3) Aire

AC est horizontal (même ordonnée y = 2), donc base = AC = 6.

La hauteur depuis B est |yB - 2| = |6 - 2| = 4.

Aire = (1/2) × base × hauteur = (1/2) × 6 × 4 = 12

Problèmes et figures complexes

🔴 Difficile

Énoncé

1) Un écran de télévision a une largeur de 60 cm et une hauteur de 45 cm. Calculer la diagonale en cm et donner le résultat arrondi.

2) Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 m et un côté de 5 m. Calculer l'autre côté.

3) Dans un carré ABCD de côté a, calculer la diagonale AC en fonction de a.

4) Un triangle a pour côtés 7 cm, 8 cm et 5 cm. Déterminer s'il est rectangle et calculer son aire.

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Correction détaillée

1) Diagonale de l'écran

D² = 60² + 45² = 3600 + 2025 = 5625

D = √5625 = 75 cm

2) Autre côté du triangle rectangle

c² + 5² = 13²

c² + 25 = 169

c² = 144

c = 12 m

3) Diagonale du carré

AC² = a² + a² = 2a²

AC = a√2

4) Triangle de côtés 7, 8, 5

Vérifions si c'est un triangle rectangle : 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 64 = 8²

Le triangle n'est pas rectangle.

Pour l'aire, utilisons la formule de Héron : s = (5+7+8)/2 = 10

Aire = √[10(10-5)(10-7)(10-8)] = √[10 × 5 × 3 × 2] = √300 = 10√3 ≈ 17,32 cm²

Problème géométrique complexe

🔴 Difficile

Énoncé

Un triangle ABC est rectangle en B. On sait que BC = 7 cm et AC = 25 cm.

Calculer AB.
D est le pied de la hauteur issue de B vers [AC]. Calculer BD, AD et DC.
Aide : utiliser les formules BD = AB×BC/AC, AD = AB²/AC, DC = BC²/AC
Vérifier que AD × AC = AB².
Calculer l'aire du triangle ABC de deux façons différentes.

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Correction détaillée

1) AB

AB² = AC² - BC² = 625 - 49 = 576 ⇒ AB = 24 cm

2) BD, AD, DC

BD = AB × BC / AC = 24 × 7 / 25 = 168/25 = 6,72 cm

AD = AB² / AC = 576 / 25 = 23,04 cm

DC = BC² / AC = 49 / 25 = 1,96 cm

Vérification : AD + DC = 23,04 + 1,96 = 25 = AC ✓

3) Vérification AD × AC = AB²

AD × AC = (576/25) × 25 = 576 = AB² ✓

4) Aire du triangle ABC

Méthode 1 (base × hauteur / 2 avec base BC et hauteur AB) :

Aire = (1/2) × BC × AB = (1/2) × 7 × 24 = 84 cm²

Méthode 2 (base × hauteur / 2 avec base AC et hauteur BD) :

Aire = (1/2) × AC × BD = (1/2) × 25 × (168/25) = (1/2) × 168 = 84 cm² ✓

Problème 3D — boîte et diagonale

🔴 Difficile

Énoncé

Une boîte parallélépipède rectangle a pour dimensions : longueur 12 cm, largeur 5 cm, hauteur 0 cm.

En fait les dimensions sont : L = 12 cm, l = 5 cm, h = 4 cm.

Calculer la diagonale de la base.
Calculer la grande diagonale de la boîte.
Une fourmi part d'un coin A et veut rejoindre le coin B opposé en marchant sur les faces. Quel est le chemin le plus court ?

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Correction détaillée

Diagonale base = √(12²+5²) = √(144+25) = √169 = 13 cm.
Grande diagonale = √(12²+5²+4²) = √(144+25+16) = √185 ≈ 13,6 cm.
En "dépliant" une face, chemins possibles : √((12+4)²+5²) = √(256+25) = √281 ≈ 16,76 cm, ou √((12+5)²+4²) = √(289+16) = √305 ≈ 17,46 cm, ou √((5+4)²+12²) = √(81+144) = √225 = 15 cm. Le plus court : 15 cm.

Losange et Pythagore

🔴 Difficile

Énoncé

Un losange ABCD a ses diagonales AC = 16 cm et BD = 12 cm. Les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu O.

Calculer OA et OB.
Calculer le côté AB.
Calculer le périmètre du losange.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Demi-diagonales

OA = AC/2 = 8 cm et OB = BD/2 = 6 cm.

2) Côté AB

Triangle AOB rectangle en O : AB² = OA² + OB² = 64 + 36 = 100.

AB = 10 cm.

3) Périmètre

4 × AB = 40 cm.

Application 3D : diagonale d'un prisme

🔴 Difficile

Énoncé

Un prisme à base rectangulaire a une base de 6 cm × 8 cm et une hauteur de 15 cm.

Calculer la diagonale d de la base rectangulaire.
Calculer la grande diagonale D du prisme.
Un câble doit relier deux coins opposés du prisme. Quelle est sa longueur minimale ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Diagonale de la base

d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. d = 10 cm.

2) Grande diagonale

D² = d² + h² = 100 + 15² = 100 + 225 = 325. D = √325 = 5√13 ≈ 18,03 cm.

3) Longueur du câble

Le câble le plus court entre deux coins opposés est la grande diagonale D = 5√13 ≈ 18 cm.

Théorème de Pythagore

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