Ordre et opérations — Résumé de cours

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Ordre et opérations

Dans ce chapitre, on apprend à comparer des nombres rationnels et à savoir ce qui arrive aux inégalités quand on ajoute, multiplie ou applique d'autres opérations. On découvre aussi l'encadrement et la valeur absolue.

1. Comparaison de deux nombres rationnels

Définition

Comparer deux nombres $a$ et $b$ de $Q$ , c'est dire si $a < b$ , $a = b$ ou $a > b$ . On dit que $a < b$ (lire « $a$ est strictement inférieur à $b$ ») lorsque $b - a$ est un nombre strictement positif.

Règle

Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence :

a - b > 0 ⟺ a > b a - b < 0 ⟺ a < b

Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur (positif), puis on compare les numérateurs.

Exemple résolu 1

Comparons $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{7}$ .

Même dénominateur $28$ : $\frac{3}{4} = \frac{21}{28}$ et $\frac{5}{7} = \frac{20}{28}$ .

Comme $21 > 20$ , on a $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$ .

2. Ordre et addition

Règle

On peut ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d'une inégalité : le sens de l'inégalité ne change pas.

Si a < b, alors a + c < b + c (pour tout nombre c)

Exemple : $2 < 5$ , donc en ajoutant $3$ : $5 < 8$ . Le sens reste le même.

3. Ordre et multiplication

Règle (nombre positif)

Quand on multiplie les deux membres par un même nombre strictement positif, le sens de l'inégalité est conservé.

Si a < b et c > 0, alors a \times c < b \times c

Règle (nombre négatif)

Quand on multiplie les deux membres par un même nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité est inversé.

Si a < b et c < 0, alors a \times c > b \times c

Exemple résolu 2

On part de $- 3 < 4$ .

Multiplions par $2$ (positif) : $- 6 < 8$ . Le sens est conservé.
Multiplions par $- 2$ (négatif) : $6 > - 8$ . Le sens est inversé.

4. Ordre et nombres opposés / inverses

Règle (opposés)

Deux nombres opposés sont rangés dans l'ordre inverse : prendre l'opposé inverse le sens.

Si a < b, alors - a > - b

Exemple : $2 < 5$ donne $- 2 > - 5$ .

Règle (inverses)

Pour deux nombres de même signe, passer à l'inverse inverse le sens de l'inégalité.

Si 0 < a < b, alors \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0

Exemple : $2 < 5$ , donc $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$ .

5. Encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit

Définition

Encadrer un nombre $x$ , c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$ .

Règle (somme)

On additionne les inégalités membre à membre (toujours possible) :

Si a < x < b et c < y < d, alors a + c < x + y < b + d

Règle (différence)

Pour soustraire, on encadre d'abord $- y$ (en inversant), puis on additionne :

Si a < x < b et c < y < d, alors a - d < x - y < b - c

Exemple : si $3 < x < 5$ et $1 < y < 2$ , alors $4 < x + y < 7$ et $1 < x - y < 4$ .

Pour un produit de nombres positifs : si $a < x < b$ et $c < y < d$ avec tous positifs, alors $a \times c < x \times y < b \times d$ .

6. Valeur absolue et distance

Définition

La valeur absolue d'un nombre $x$ , notée $∣ x ∣$ , est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.

∣ x ∣ = x si x \geq 0 ∣ x ∣ = - x si x < 0

Exemples : $∣5∣ = 5$ , $∣ - 7∣ = 7$ , $∣0∣ = 0$ .

Règle (distance)

La distance entre deux nombres $a$ et $b$ sur la droite est $∣ a - b ∣$ (ou $∣ b - a ∣$ , c'est pareil).

Exemple : la distance entre $- 3$ et $4$ est $∣4 - (- 3) ∣ = ∣7∣ = 7$ .

7. Ordre et puissances

Règle

Pour des nombres positifs, élever à une même puissance entière (positive) conserve l'ordre.

Si 0 \leq a < b, alors a^{n} < b^{n} (n \geq 1)

Exemple : $2 < 3$ , donc $2^{2} < 3^{2}$ , c'est-à-dire $4 < 9$ .

Attention avec les nombres entre $0$ et $1$ : $0 < a < 1$ donne $a^{2} < a$ . Par exemple $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ .

🔑 Formules clés à retenir

$a < b ⟺ a - b < 0$ — comparer par le signe de la différence
$a < b \Rightarrow a + c < b + c$ — ajouter un même nombre conserve le sens
$a < b et c > 0 \Rightarrow a \times c < b \times c$ — multiplier par un positif conserve le sens
$a < b et c < 0 \Rightarrow a \times c > b \times c$ — multiplier par un négatif inverse le sens
$a < b \Rightarrow - a > - b$ — les opposés sont dans l'ordre inverse
$0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ — les inverses (même signe) inversent le sens
$a < x < b et c < y < d \Rightarrow a + c < x + y < b + d$ — encadrement d'une somme
$a < x < b et c < y < d \Rightarrow a - d < x - y < b - c$ — encadrement d'une différence
$∣ x ∣ = x$ si $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = - x$ si $x < 0$ — définition de la valeur absolue
$d (a; b) = ∣ a - b ∣$ — distance entre deux nombres
$0 \leq a < b \Rightarrow a^{n} < b^{n}$ (avec $n \geq 1$ ) — l'ordre est conservé par les puissances de positifs

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : oublier d'inverser le sens en multipliant par un nombre négatif. De $- 3 < 4$ , écrire $6 < - 8$ est faux : il faut $6 > - 8$ .

❌

Erreur : croire que $∣ x ∣ = - x$ tout le temps. La valeur absolue est toujours positive : $∣ - 7∣ = 7$ , jamais $- 7$ .

❌

Erreur : soustraire les inégalités « tout droit ». De $3 < x < 5$ et $1 < y < 2$ , on n'écrit pas $3 - 1 < x - y < 5 - 2$ . Il faut $3 - 2 < x - y < 5 - 1$ , donc $1 < x - y < 4$ .

✅

Pour comparer deux fractions rapidement, mets-les au même dénominateur positif puis compare seulement les numérateurs.

✅

Pour soustraire un encadrement, encadre d'abord l'opposé $- y$ (en inversant les bornes), puis additionne. Tu éviteras l'erreur de la différence.

💡

Astuce mémoire : « positif = on garde le sens, négatif = on retourne le sens ». Vérifie toujours avec un petit exemple chiffré comme $- 3 < 4$ .

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Comparer des fractions

Comparer les nombres $a$ et $b$ dans chacun des cas suivants, en justifiant la réponse :

$a = \frac{4}{7}$ et $b = \frac{- 5}{6}$
$a = \frac{3}{2}$ et $b = \frac{4}{5}$
$a = \frac{- 2}{5}$ et $b = \frac{- 3}{4}$

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