Soient $\vec{i}(1,0)$ et $\vec{j}(0,1)$ les vecteurs de base. Exprimer $\vec{w}(5,-3)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}(2,1)$ et $\vec{v}(1,-2)$.

c'est-à-dire trouver a et b tels que $\vec{w}=a\cdot \vec{u}+b\cdot \vec{v}$.

Soient A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3). Vérifier par les vecteurs que ABCD est un rectangle.

Soient $A(1,3)$, $B(5,7)$ et $C(3,-1)$. Soit $M$ le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[BC]$. Montrer que $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Soient A, B, C, D quatre points tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Soit P le milieu de [AC] et Q le milieu de [BD].

1. Exprimer $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{BQ}$ en termes de vecteurs.
2. Montrer que $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ en utilisant la relation de Chasles.
3. Conclure sur la nature de $\overrightarrow{PQ}$ sachant que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Soit M un point quelconque du plan et O l'origine. Montrer que pour tout triangle ABC, le point G tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ est le milieu de [MC] où M est le milieu de [AB]. (G s'appelle le centre de gravité.)

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$.

1. Construire $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AB}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}$.
3. Montrer que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $AB=3\text{cm}$ et $\widehat{BAC}=40^{\circ }$. Soit $T$ la translation qui transforme $B$ en $C$.

1. a) Tracer le point $E$, image de $A$ par $T$. b) En déduire la nature du quadrilatère $AECB$.
2. a) Tracer le point $F$, image de $C$ par $T$. b) Montrer que $C$ est le milieu de $[BF]$.
3. Montrer que $(AB)\parallel (CE)$.
4. Calculer la longueur $EF$.
5. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{CEF}$.

Soient les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ = (2, 3) et $\overrightarrow{CD}$ = (2, 3). Démontrer que ces vecteurs sont égaux en utilisant la définition d'égalité des vecteurs.

Les points A(2, 2), B(4, 5) et C(6, 8) sont donnés. Calculez les vecteurs et montrez que ACsup $\to$ = ABsup $\to$ + BCsup $\to$.

Un marchand de fruits se déplace de la position A(1, 1) à la position B(4, 5). Si son assistant part de C(2, 2), quelle est la nouvelle position de l'assistant après translation par le vecteur ABsup $\to$?

Montrez que pour tous points A, B et C, on a ABsup $\to$/sup + BCsup $\to$/sup = ACsup $\to$/sup.

Soit les points A, B et C dans le plan. Montrez que AB + BC = AC en utilisant une représentation vectorielle.

Montrez que les vecteurs u = (2, 4) et v = (1, 2) sont colinéaires.

Dans une ville marocaine, un commerçant se déplace de A(1, 1) à B(4, 5) et ensuite à C(7, 2). Calculez le vecteur AC et vérifiez si AC = AB + BC.

Un bateau part de Casablanca (C) à Rabat (R) puis de Rabat à Tanger. Si le vecteur CR $\to$ = (100, 50) et le vecteur RT $\to$ = (80, -20), trouvez le vecteur CT $\to$.

Un camion part de Marrakech vers Agadir, représentant le vecteur MA $\to$ = (200, 0). Il fait ensuite un détour vers Essaouira avec le vecteur AE $\to$ = (50, 30). Calculez le vecteur final ME $\to$.

Dans un triangle ABC avec A(2, 1), B(5, 4) et C(3, 5), démontrez que les vecteurs ABsup $\to$/sup et ACsup $\to$/sup ne sont pas égaux.

Soit les points A(1, 2), B(4, 6) et C(7, 8). Vérifiez la règle de Chasles pour ces points.

En se promenant à Marrakech, Youssef part du point $O(0,0)$ et se rend au point $A(3,4)$. Ensuite, il se dirige vers le point $B(6,8)$.

1. Décrivez le vecteur $\overrightarrow{OA}$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$. Calculez leurs coordonnées.

2. Vérifiez si les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. Justifiez votre réponse par des calculs.

3. Si Youssef décide de revenir au point $O$ directement depuis $B$, quel est le vecteur $\overrightarrow{OB}$ ? Calculez sa norme.

Dans une ville marocaine, deux amis, Ahmed et Fatima, décident de déménager. Ahmed part du point $A(2,3)$ et se rend au point $B(5,7)$. Pendant ce temps, Fatima part du point $C(1,1)$ et se rend au point $D(4,5)$.

1. Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

2. Montrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux ou non. Justifiez votre réponse.

3. Si Ahmed souhaite se rendre directement du point $A$ au point $D$, quel est le vecteur $\overrightarrow{AD}$? Calculez sa norme.