La projection — Résumé de cours

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La projection

La projection est une transformation géométrique du plan qui associe à chaque point un point d'une droite fixée. C'est un outil fondamental qui permet, entre autres, de démontrer le théorème de Thalès. Dans tout ce chapitre, le plan est muni de droites distinctes ou parallèles que l'on précise à chaque fois.

1. Définition de la projection

Définition

Soient $(D)$ et $(Δ)$ deux droites sécantes du plan. La projection sur la droite $(D)$ parallèlement à la droite $(Δ)$ est la transformation qui, à tout point $M$ du plan, associe le point $M^{'}$ défini ainsi :

$M^{'}$ est le point d'intersection de la droite $(D)$ avec la droite passant par $M$ et parallèle à $(Δ)$ .

Le point $M^{'}$ s'appelle le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ . La droite $(D)$ est l'axe de la projection et $(Δ)$ en donne la direction.

Cas particuliers utiles

Si $M$ appartient déjà à $(D)$ , alors son projeté est lui-même : $M^{'} = M$ .
La droite passant par $M$ et parallèle à $(Δ)$ coupe toujours $(D)$ en un seul point, car $(D)$ et $(Δ)$ sont sécantes : le projeté existe et est unique.
Lorsque $(Δ)$ est perpendiculaire à $(D)$ , on parle de projection orthogonale sur $(D)$ .

2. Conservation de l'alignement

Propriété

La projection conserve l'alignement : si trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, alors leurs projetés respectifs $A^{'}$ , $B^{'}$ et $C^{'}$ sont aussi alignés (ils appartiennent à $(D)$ ).

Conséquence : l'image d'une droite par une projection est une droite (ou un point si la droite est parallèle à la direction $(Δ)$ , auquel cas tous ses points ont le même projeté).

3. Conservation du milieu

Propriété

La projection conserve le milieu : si $I$ est le milieu du segment $[A B]$ , alors son projeté $I^{'}$ est le milieu du segment $[A^{'} B^{'}]$ .

En particulier, le projeté du milieu est le milieu des projetés. Cette propriété se généralise : la projection conserve aussi le centre de gravité et, plus largement, les rapports de division d'un segment.

4. Conservation des rapports (mesures algébriques)

C'est la propriété centrale de la projection, celle qui donne naissance au théorème de Thalès.

Propriété (conservation du coefficient)

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points alignés sur une même droite (avec $A \neq = B$ ), et $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ leurs projetés. Alors la projection conserve le rapport des mesures algébriques :

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B}

Autrement dit, si un point $C$ partage le segment selon un certain coefficient $k$ tel que $\overline{A C} = k \times \overline{A B}$ , alors son projeté vérifie $\overline{A^{'} C^{'}} = k \times \overline{A^{'} B^{'}}$ : le coefficient $k$ est conservé.

5. Théorème de Thalès (conséquence de la projection)

Théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en un point $O$ . Deux droites parallèles $(d_{1}) ∥ (d_{2})$ coupent la première en $A$ et $B$ , et la seconde en $A^{'}$ et $B^{'}$ . Alors :

\frac{O A}{O B} = \frac{O A ^{'}}{O B ^{'}} = \frac{A A ^{'}}{B B ^{'}}

Ce résultat est une conséquence directe de la projection sur la droite $(O B^{'})$ parallèlement à $(d_{1})$ : comme cette projection conserve les rapports de mesures algébriques, l'égalité des quotients en découle immédiatement.

6. Projection et vecteurs

Propriété

La projection conserve les relations vectorielles de colinéarité. Si $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ont pour projetés $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ et si $A B = k C D$ , alors $A^{'} B^{'} = k C^{'} D^{'}$ .

En particulier, le projeté d'une translation reste cohérent : si $A B = C D$ (parallélogramme), alors $A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'}$ .

Ainsi, la projection transforme un vecteur de la droite $(A B)$ en un vecteur colinéaire de l'axe $(D)$ , en conservant le coefficient de colinéarité $k$ .

7. Exemples résolus

Exemple 1 — Conservation du rapport

Sur une droite, on place $A$ , $B$ et $C$ tels que $\overline{A C} = \frac{2}{3} \overline{A B}$ . On projette ces points sur une droite $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ , obtenant $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ . Sachant que $\overline{A^{'} B^{'}} = 6$ cm, calculer $\overline{A^{'} C^{'}}$ .

Solution. La projection conserve les rapports de mesures algébriques, donc :

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B} = \frac{2}{3}

D'où $\overline{A^{'} C^{'}} = \frac{2}{3} \times \overline{A^{'} B^{'}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4$ cm.

Exemple 2 — Application du théorème de Thalès

Deux droites se coupent en $O$ . Une parallèle coupe la première en $A$ avec $O A = 4$ et la seconde en $A^{'}$ avec $O A^{'} = 5$ . Une autre parallèle (à la première) coupe la première en $B$ avec $O B = 10$ . Calculer $O B^{'}$ .

Solution. D'après le théorème de Thalès (les mesures étant ici de même sens) :

\frac{O A}{O B} = \frac{O A ^{'}}{O B ^{'}} ⟹ \frac{4}{10} = \frac{5}{O B ^{'}}

Par produit en croix : $O B^{'} = \frac{5 \times 10}{4} = \frac{50}{4} = 12, 5$ .

Exemple 3 — Conservation du milieu

Soit $I$ le milieu de $[A B]$ . On projette sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ . Montrer que $I^{'}$ est le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ .

Solution. Comme $I$ est le milieu de $[A B]$ , on a $\overline{A I} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ . La projection conserve le rapport, donc $\overline{A^{'} I^{'}} = \frac{1}{2} \overline{A^{'} B^{'}}$ , ce qui signifie exactement que $I^{'}$ est le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ .

🔑 Formules clés à retenir

$M ⟼ M^{'}$ — projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(Δ)$ : $M^{'}$ est l'intersection de $(D)$ et de la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ .
$M \in (D) \Rightarrow M^{'} = M$ — un point de l'axe est son propre projeté.
$A, B, C$ alignés $\Rightarrow A^{'}, B^{'}, C^{'}$ alignés — conservation de l'alignement.
$I$ milieu de $[A B] \Rightarrow I^{'}$ milieu de $[A^{'} B^{'}]$ — conservation du milieu.
$\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B}$ — conservation des rapports de mesures algébriques.
$\overline{A C} = k \overline{A B} \Rightarrow \overline{A^{'} C^{'}} = k \overline{A^{'} B^{'}}$ — conservation du coefficient $k$ .
$\frac{O A}{O B} = \frac{O A ^{'}}{O B ^{'}} = \frac{A A ^{'}}{B B ^{'}}$ — théorème de Thalès.
$A B = k C D \Rightarrow A^{'} B^{'} = k C^{'} D^{'}$ — conservation de la colinéarité et du coefficient.
$A B = C D \Rightarrow A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'}$ — conservation de l'égalité vectorielle.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : croire que la projection conserve les longueurs. Elle conserve les rapports de mesures algébriques, pas les distances elles-mêmes : en général $\overline{A^{'} B^{'}} \neq = \overline{A B}$ .

❌

Erreur : oublier la condition « $(D)$ et $(Δ)$ sécantes ». Si $(D) ∥ (Δ)$ , la projection n'est pas définie car la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ ne couperait jamais $(D)$ .

❌

Erreur : confondre mesure algébrique et longueur dans Thalès. Avec les mesures algébriques $\overline{A B}$ , le signe compte ; un rapport peut être négatif si les vecteurs sont de sens contraires.

✅

Pour projeter un point $M$ : trace la parallèle à $(Δ)$ passant par $M$ , puis marque son intersection avec $(D)$ . C'est tout : un seul trait, un seul point.

✅

Pour appliquer Thalès, repère d'abord le point d'intersection $O$ et vérifie le parallélisme des deux droites coupées. Place toujours $O$ au numérateur des deux fractions pour ne pas te tromper.

💡

Retiens l'idée maîtresse : la projection « écrase » la figure dans la direction $(Δ)$ mais préserve l'alignement, le milieu et les rapports. C'est exactement ce trio qui fait fonctionner le théorème de Thalès.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — La projection

Type 1 : Construire le projeté d'un point sur une droite selon une direction

Quand ? On donne une droite $(D)$ , une direction $(Δ)$ et un point $M$ , et on cherche son projeté $M^{'}$ .

Trace par $M$ la parallèle à la direction $(Δ)$ .
Le projeté $M^{'}$ est le point d'intersection de cette parallèle avec la droite $(D)$ .
Cas particulier : si $(Δ) ⊥ (D)$ , c'est la projection orthogonale et $(M M^{'}) ⊥ (D)$ .

Exemple éclair : projeter $M$ sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées donne $M^{'} (x_{M}; 0)$ .

Type 2 : Reconnaître que la projection conserve l'alignement

Quand ? On projette plusieurs points alignés et on s'interroge sur leurs images.

Rappelle la propriété : la projection transforme une droite en une droite (ou un point).
Donc si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, leurs projetés $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ sont alignés (sur $(D)$ ).
Utilise ce fait pour démontrer un alignement d'images sans calcul.

Exemple éclair : trois points d'une même droite se projettent en trois points de $(D)$ , donc alignés.

Type 3 : Utiliser la conservation du milieu et du barycentre

Quand ? $I$ est le milieu de $[A B]$ et on s'intéresse au projeté de $I$ .

Rappelle la propriété : la projection conserve le milieu d'un segment.
Donc si $I$ est le milieu de $[A B]$ , alors $I^{'}$ est le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ .
Plus généralement, la projection conserve les barycentres et les rapports de mesures algébriques sur une droite.

Exemple éclair : si $I$ est le milieu de $[A B]$ , son projeté $I^{'}$ est le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ .

Type 4 : Utiliser la conservation du parallélisme et des rapports

Quand ? On veut comparer des longueurs ou exploiter Thalès via une projection.

Rappelle : la projection conserve le parallélisme et le rapport des mesures algébriques de vecteurs colinéaires.
Si $A B = k C D$ avec ces vecteurs portés par des droites projetées, alors $A^{'} B^{'} = k C^{'} D^{'}$ .
Attention : la projection ne conserve PAS les longueurs ni les angles en général.

Exemple éclair : si $B$ est le milieu de $[A C]$ , alors $\overline{A^{'} B^{'}} = \overline{B^{'} C^{'}}$ sur la droite $(D)$ .

Type 5 : Projeter un vecteur (décomposition)

Quand ? On veut écrire le projeté d'un vecteur $A B$ sur une droite selon une direction.

Projette $A$ en $A^{'}$ et $B$ en $B^{'}$ sur la droite $(D)$ selon la direction donnée.
Le projeté du vecteur $A B$ est le vecteur $A^{'} B^{'}$ , porté par $(D)$ .
La projection est linéaire : le projeté de $A B + C D$ est la somme des projetés.

Exemple éclair : le projeté de $A B (3; 5)$ sur l'axe des abscisses (direction verticale) est $A^{'} B^{'} (3; 0)$ .

Type 6 : Appliquer la projection orthogonale et le produit scalaire

Quand ? On calcule un produit scalaire $A B \cdot A C$ en utilisant un projeté orthogonal.

Projette orthogonalement $C$ sur la droite $(A B)$ en $H$ .
Applique la formule : $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ .
Calcule alors le produit de mesures algébriques : $\overline{A B} \times \overline{A H}$ , positif si $H$ est du côté de $B$ , négatif sinon.

Exemple éclair : si $H$ est le projeté de $C$ sur $(A B)$ avec $A B = 4$ et $A H = 2$ (même sens), alors $A B \cdot A C = 4 \times 2 = 8$ .

Type 7 : Démontrer une propriété géométrique à l'aide d'une projection

Quand ? On veut prouver un alignement, un milieu ou un rapport en passant par les projetés.

Choisis une droite $(D)$ et une direction de projection adaptées au problème.
Projette les points utiles et applique les propriétés conservées : alignement, milieu, rapport, parallélisme.
Reviens à la figure de départ pour conclure sur la propriété demandée.

Exemple éclair : pour montrer que trois points sont alignés, on peut montrer que leurs projetés coïncident avec ceux d'une droite connue.

La projection — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Projection des sommets d'un parallélogramme

Facile

Énoncé

$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O$ .

On considère $P_{1}$ la projection sur la droite $(D C)$ parallèlement à $(A D)$ .
1. Déterminer $P_{1} (A)$ , $P_{1} (B)$ , $P_{1} (C)$ et $P_{1} (D)$ .
2. Construire $P_{1} (O)$ .
On considère $P_{2}$ la projection sur la droite $(B C)$ parallèlement à $(B D)$ . Déterminer $P_{2} (O)$ , $P_{2} (B)$ , $P_{2} (C)$ et $P_{2} (D)$ .

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Exercices Intermédiaires

2 exercices

Conservation du coefficient de colinéarité

Intermédiaire

Énoncé

$A B C$ est un triangle et $E$ le point tel que $A E = \frac{2}{3} A B$ .

Construire le point $E^{'}$ , projeté de $E$ sur la droite $(A C)$ parallèlement à $(B C)$ .
1. Montrer que $A E^{'} = \frac{2}{3} A C$ .
2. En déduire que les droites $(E E^{'})$ et $(B C)$ sont parallèles.

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Milieu conservé par double projection

Intermédiaire

Énoncé

$A B C$ est un triangle du plan et $A^{'}$ le milieu du segment $[B C]$ . Soit $D$ le point tel que $A D = \frac{3}{4} A A^{'}$ .

Construire $E$ , projeté de $D$ sur la droite $(B C)$ parallèlement à $(A B)$ .
Construire $F$ , projeté de $D$ sur la droite $(B C)$ parallèlement à $(A C)$ .
Montrer que $B E = \frac{3}{4} B A^{'}$ et $C F = \frac{3}{4} C A^{'}$ .
En déduire que $A^{'}$ est le milieu du segment $[E F]$ .

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Exercices Difficiles

3 exercices

Projetés orthogonaux et théorème de Thalès

Difficile

Énoncé

$A B C$ est un triangle. On définit :

$D$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(A C)$ ;
$E$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ ;
$F$ le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(A B)$ ;
$H$ le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(A C)$ .

Faire une figure.
Montrer que $A E \times A D = A C \times A F$ .
Montrer que $A E \times A D = A H \times A B$ .
En déduire que $(B C) ∥ (F H)$ .

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Parallélisme par double projection

Difficile

Énoncé

$A B C$ est un triangle et $D$ un point de la droite $(B C)$ situé à l'extérieur du segment $[B C]$ . Soit $H$ le point tel que $A H = \frac{1}{3} A D$ . On définit :

$N$ le projeté de $D$ sur la droite $(A C)$ parallèlement à $(H C)$ ;
$M$ le projeté de $D$ sur la droite $(A B)$ parallèlement à $(H B)$ .

Faire une figure.
Montrer que $A C = \frac{1}{3} A N$ et $A B = \frac{1}{3} A M$ .
En déduire que $(B C) ∥ (M N)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Projection, Thalès et alignement

Difficile

Énoncé

$A B C$ est un triangle. Soient $I$ et $I^{'}$ deux points tels que $A I = \frac{2}{3} A C$ et $A I^{'} = \frac{2}{3} A B$ .

Montrer que $I^{'}$ est le projeté de $I$ sur la droite $(A B)$ parallèlement à $(B C)$ .
Soit $M$ le milieu du segment $[B C]$ . La droite $(A M)$ coupe la droite $(I I^{'})$ en $G$ .
1. Montrer que $A G = \frac{2}{3} A M$ .
2. En déduire que $A$ , $G$ et $M$ sont alignés.

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3. Conservation du milieu

Propriété

4. Conservation des rapports (mesures algébriques)

Propriété (conservation du coefficient)

5. Théorème de Thalès (conséquence de la projection)

Théorème de Thalès

6. Projection et vecteurs

Propriété

7. Exemples résolus

Exemple 1 — Conservation du rapport

Exemple 2 — Application du théorème de Thalès

Exemple 3 — Conservation du milieu

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Type 2 : Reconnaître que la projection conserve l'alignement

Type 3 : Utiliser la conservation du milieu et du barycentre

Type 4 : Utiliser la conservation du parallélisme et des rapports

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Type 6 : Appliquer la projection orthogonale et le produit scalaire

Type 7 : Démontrer une propriété géométrique à l'aide d'une projection

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Projection des sommets d'un parallélogramme

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Milieu conservé par double projection

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Projetés orthogonaux et théorème de Thalès

Parallélisme par double projection

Projection, Thalès et alignement

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