Point fixe d'une famille de barycentres

Difficile
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Énoncé

Soit un triangle. Pour tout réel tel que , on note le barycentre du système .

1) Exprimer en fonction de , et .

2) Montrer que, quel que soit (avec ), le point appartient à une droite fixe que l'on précisera.

Indices

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1 Indice 1
Utilise la formule du barycentre avec origine $A$ : $\\vec{AG_m}=\\dfrac{m\\vec{AA}+1\\vec{AB}+2\\vec{AC}}{m+1+2}$, et simplifie sachant que $\\vec{AA}=\\vec{0}$.
2 Indice 2
Une fois $\\vec{AG_m}$ ecrit comme $\\dfrac{1}{m+3}\\vec{w}$ avec $\\vec{w}$ fixe, observe que $\\vec{AG_m}$ reste toujours colineaire au meme vecteur $\\vec{w}$.
3 Indice 3
Un point dont le vecteur position depuis $A$ reste colineaire a un vecteur fixe appartient a quelle sorte de figure geometrique ?

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La méthode — par où commencer

Utilise la formule du barycentre avec origine : , et simplifie sachant que .

Une fois ecrit comme avec fixe, observe que reste toujours colineaire au meme vecteur .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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