Maximisation du profit (étude guidée)

Une entreprise vend un produit. Pour une quantité $x$ exprimée en milliers d'unités, avec $x\in [0;10]$, le bénéfice (en milliers de dirhams) est modélisé par :

$$B(x)=-x^3+12x^2-36x+5$$

1. Calculer $B^{\prime }(x)$ et la factoriser sous la forme $-3(x-a)(x-b)$.
2. Étudier le signe de $B^{\prime }(x)$ sur $[0;10]$.
3. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0;10]$.
4. En déduire la quantité qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal sur $[0;10]$.