Étude complète d'une fonction cubique

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Énoncé

On considère la fonction définie sur par .

1) Calculer et .

2) Calculer , résoudre et étudier son signe.

3) Dresser le tableau de variations de et préciser les extremums locaux.

4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .

Indices

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1 Indice 1
Pour les limites en 1), identifie le terme de plus haut degré dans $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Quand $x$ devient très grand (en valeur absolue), c'est ce terme qui impose son comportement à toute la fonction.
2 Indice 2
Pour la dérivée en 2), applique la formule de dérivation puissance : $(x^n)' = nx^{n-1}$. Une fois $f'(x)$ trouvée, factorise-la complètement pour repérer les valeurs qui annulent chaque facteur.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites en 1), identifie le terme de plus haut degré dans . Quand devient très grand (en valeur absolue), c'est ce terme qui impose son comportement à toute la fonction.

Pour la dérivée en 2), applique la formule de dérivation puissance : . Une fois trouvée, factorise-la complètement pour repérer les valeurs qui annulent chaque facteur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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