Soit A B C un triangle et I le milieu de [ B C ] . 1) Montrer que A I = 2 1 ( A B + A C ) . 2) En déduire que A I 2 = 4 2 A B 2 + 2 A C 2 − B C 2 . 3) On donne A B = 6 , A C = 8 et B C = 10 . Calculer A I .

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Difficile

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle et $I$ le milieu de $[B C]$ .

1) Montrer que $A I = \frac{1}{2} (A B + A C)$ .

2) En déduire que $A I^{2} = \frac{2 A B ^{2} + 2 A C ^{2} - B C ^{2}}{4}$ .

3) On donne $A B = 6$ , $A C = 8$ et $B C = 10$ . Calculer $A I$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 2, commence par calculer le carré scalaire $\vec{AI} \cdot \vec{AI}$ en utilisant l'expression trouvée en question 1. Développe ensuite le produit $(\vec{AB}+\vec{AC}) \cdot (\vec{AB}+\vec{AC})$.

2 Indice 2

Après développement, tu obtiens $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ dans ton expression. Utilise la formule d'Al-Kashi : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$ pour remplacer ce produit scalaire.

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Pour la question 2, commence par calculer le carré scalaire $A I \cdot A I$ en utilisant l'expression trouvée en question 1. Développe ensuite le produit $(A B + A C) \cdot (A B + A C)$ .

Après développement, tu obtiens $A B \cdot A C$ dans ton expression. Utilise la formule d'Al-Kashi : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ pour remplacer ce produit scalaire.

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