Suite auxiliaire géométrique et somme

Difficile
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Énoncé

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel .

On pose .

1) Montrer que est géométrique. Préciser raison et premier terme.

2) Exprimer puis en fonction de .

3) Calculer la somme en fonction de .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, exprime $v_{n+1} = u_{n+1} - 2$ en remplaçant $u_{n+1}$ par $3u_n - 4$, puis factorise pour faire apparaître $v_n = u_n - 2$.
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise la formule du terme général d'une suite géométrique $v_n = v_0 \cdot q^n$, puis reviens à $u_n$ via $u_n = v_n + 2$.
3 Indice 3
Pour la question 3, sépare la somme $S = \sum (3^{k+1} + 2)$ en deux sommes : une somme géométrique (raison 3) et une somme constante, puis applique la formule $S_n = a\frac{1-q^{n}}{1-q}$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, exprime en remplaçant par , puis factorise pour faire apparaître .

Pour la question 2, utilise la formule du terme général d'une suite géométrique , puis reviens à via .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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