Exercice de synthèse : théorème de l'énergie cinétique puis énergie potentielle de pesanteur

Un solide ponctuel de masse $m=500$ g part sans vitesse initiale du sommet d'un plan incliné faisant un angle $\theta =20°$ avec l'horizontale, et glisse sans frottement sur une distance $d=3$ m mesurée le long du plan (on prend $g=10{\text{m/s}}^2$). PARTIE 1 — Travail et théorème de l'énergie cinétique. 1) Calculer la baisse d'altitude $h$ du solide entre le sommet et le bas du plan incliné, en fonction de $d$ et $\theta$. 2) Calculer le travail du poids $W(\vec{P})$ au cours de ce déplacement. 3) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse $v$ du solide au bas du plan incliné. PARTIE 2 — Énergie potentielle de pesanteur. 4) Calculer la variation d'énergie potentielle de pesanteur $\Delta E_p$ du solide entre le sommet et le bas du plan. 5) Vérifier que $\Delta E_p=-W(\vec{P})$, et interpréter physiquement cette relation. 6) Si l'on double la distance $d$ parcourue le long du plan (le solide partant toujours du repos, sans frottement), par quel facteur la vitesse finale est-elle multipliée ? Justifier sans reprendre tout le calcul numérique.