Ombre et pénombre créées par une lampe à filament étendu

Difficile
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Énoncé

Une lampe possède un filament assimilable à une source lumineuse étendue de largeur . Elle éclaire un petit disque opaque de diamètre , centré sur l'axe optique, placé à de la lampe. Un écran est placé à derrière le disque, perpendiculairement à l'axe.
Source étendue éclairant un disque opaque : ombre et pénombre sur un écranSchéma d'une source lumineuse étendue éclairant un disque opaque, avec un écran placé derrière. La source, à gauche, n'est pas ponctuelle : elle est figurée par un segment vertical orange dont les deux extrémités sont marquées, car ce sont elles qui produisent la pénombre. Le disque opaque, au centre, est un rectangle gris. L'écran, à droite, est une barre verticale hachurée. Quatre rayons sont tracés : depuis chacune des deux extrémités de la source, un rayon passe par chacun des deux bords du disque. C'est le croisement de ces quatre rayons sur l'écran qui délimite la zone d'ombre totale et les deux zones de pénombre. Aucune de ces zones n'est cotée : les calculer est le travail demandé.Source étendue, disque opaque : ombre et pénombreChaque extrémité de la source projette sa propre ombre du disqueS₁S₂disque opaqueécrand₁ = 40 cmDonnéesS = 2 cm (largeur du filament)d₍obj₎ = 6 cm (diamètre)d₁ = 40 cm ; d₂ = 160 cmombre et pénombre : à calculer
Une source étendue ne donne plus une ombre nette : chaque point de la source projette sa propre ombre, et leur recouvrement partiel crée la pénombre.
1) En assimilant la lampe à une source ponctuelle placée au centre du filament, calculer le diamètre de l'ombre portée obtenue sur l'écran. 2) Justifier que chaque bord du disque engendre sur l'écran une bande de pénombre de largeur , puis calculer sa valeur numérique. 3) En déduire le diamètre de la zone d'ombre pure (commune à tous les points de la source) et le diamètre total de la zone affectée (ombre + pénombre) sur l'écran.

Indices

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1 Indice 1
Traite d'abord la source comme ponctuelle : deux triangles semblables et Thalès donnent le diamètre de l'ombre, avec la distance totale $d_1 + d_2$ au sommet.
2 Indice 2
Pour la pénombre, considère les deux bords de la source séparément : chacun projette une ombre décalée, et l'écart entre les deux est la largeur cherchée.

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La méthode — par où commencer

Traite d'abord la source comme ponctuelle : deux triangles semblables et Thalès donnent le diamètre de l'ombre, avec la distance totale au sommet.

Pour la pénombre, considère les deux bords de la source séparément : chacun projette une ombre décalée, et l'écart entre les deux est la largeur cherchée.

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