Aire sous $-x^2+4x$, repère 1cm×2cm

Intermédiaire
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Énoncé

Le plan est rapporté à un repère orthogonal d'unités sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.

Soit définie sur . Sa courbe est notée .

  1. Vérifier que sur .
  2. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre , l'axe des abscisses et les droites et .
  3. En déduire cette aire en .

Indices

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1 Indice 1
Pour vérifier que $f(x) \geq 0$ sur $[0; 4]$, factorise d'abord l'expression $f(x) = -x^2 + 4x$ en mettant $x$ en facteur. Ensuite, étudie le signe de chaque facteur sur l'intervalle.
2 Indice 2
Pour calculer l'aire en unités d'aire, utilise l'intégrale $\mathcal{A} = \int_{0}^{4} f(x)\,dx$. Trouve d'abord une primitive de $-x^2 + 4x$, puis applique la formule avec les bornes. Pense ensuite à la conversion : combien de $\text{cm}^2$ vaut une unité d'aire ?

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La méthode — par où commencer

Pour vérifier que sur , factorise d'abord l'expression en mettant en facteur. Ensuite, étudie le signe de chaque facteur sur l'intervalle.

Pour calculer l'aire en unités d'aire, utilise l'intégrale . Trouve d'abord une primitive de , puis applique la formule avec les bornes. Pense ensuite à la conversion : combien de vaut une unité d'aire ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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