Une commande est traitée par l'un des trois ateliers A 1 , A 2 , A 3 qui réalisent respectivement 50% , 30% et 20% des commandes. La probabilité qu'une commande soit livrée en retard est 0 , 04 pour A 1 , 0 , 10 pour A 2 et 0 , 15 pour A 3 . On note R l'événement « la commande est en retard ». Calculer P ( R ) . Une commande est en retard. Quelle est la probabilité qu'elle ait été traitée par A 3 ? Chaque commande en retard donne lieu à une indemnité de 300 DH versée au client (sinon 0 DH). Soit Y l'indemnité versée pour une commande prise au hasard. Donner la loi de Y et calculer E ( Y ) .

Trois ateliers et indemnité de retard

Difficile

Énoncé

Une commande est traitée par l'un des trois ateliers $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ qui réalisent respectivement $50%$ , $30%$ et $20%$ des commandes. La probabilité qu'une commande soit livrée en retard est $0, 04$ pour $A_{1}$ , $0, 10$ pour $A_{2}$ et $0, 15$ pour $A_{3}$ . On note $R$ l'événement « la commande est en retard ».

Calculer $P (R)$ .
Une commande est en retard. Quelle est la probabilité qu'elle ait été traitée par $A_{3}$ ?
Chaque commande en retard donne lieu à une indemnité de $300$ DH versée au client (sinon $0$ DH). Soit $Y$ l'indemnité versée pour une commande prise au hasard. Donner la loi de $Y$ et calculer $E (Y)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, utilise la formule des probabilités totales avec la partition $\{A_1,A_2,A_3\}$ : $P(R) = \sum P(A_i)P(R|A_i)$.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique la formule de Bayes : $P(A_3|R) = \dfrac{P(A_3)P(R|A_3)}{P(R)}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, identifie les deux valeurs possibles de $Y$ (0 et 300) avec leurs probabilités, puis utilise $E(Y) = \sum y_i P(Y=y_i)$.

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Pour la question 1, utilise la formule des probabilités totales avec la partition ${A_{1}, A_{2}, A_{3}}$ : $P (R) = \sum P (A_{i}) P (R ∣ A_{i})$ .

Pour la question 2, applique la formule de Bayes : $P (A_{3} ∣ R) = \frac{P ( A _{3} ) P ( R ∣ A _{3} )}{P ( R )}$ .

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