Spectromètre de masse : séparation des isotopes du lithium

Un spectromètre de masse sert à séparer les deux isotopes du lithium. Des ions ${}^6{\text{Li}}^{+}$ et ${}^7{\text{Li}}^{+}$, de charge $q=+e=1,6\times 10^{-19}\text{C}$, partent sans vitesse initiale d'une plaque $P_1$ et sont accélérés dans le vide vers une plaque $P_2$ percée d'une fente, sous une tension accélératrice $U_0=1000\text{V}$. Le champ électrique de cette zone est colinéaire au déplacement des ions. Les ions pénètrent ensuite en $O$, perpendiculairement aux lignes de champ, dans une région où règne un champ magnétique uniforme d'intensité $B=0,10\text{T}$. Ils y décrivent un demi-tour avant de venir frapper une plaque détectrice placée dans le plan d'entrée. On donne l'unité de masse atomique $u=1,66\times 10^{-27}\text{kg}$, la masse d'un ion ${}^6{\text{Li}}^{+}$ étant $m_6=6u$ et celle d'un ion ${}^7{\text{Li}}^{+}$ étant $m_7=7u$. Le poids est négligé devant les forces électromagnétiques.

1) Dans la zone d'accélération, le champ électrique est colinéaire à la vitesse des ions. Quelle est alors la nature du mouvement, et pourquoi la trajectoire n'y est-elle pas parabolique ? En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, établir l'expression de la vitesse $v$ acquise à la sortie, puis calculer $v_6$ et $v_7$. 2) Montrer que, dans le champ magnétique, le mouvement de chaque ion est circulaire uniforme. 3) Établir l'expression du rayon $R$ de la trajectoire en fonction de $m$, $U_0$, $q$ et $B$, puis calculer $R_6$ et $R_7$. 4) Calculer la distance qui sépare les deux points d'impact sur la plaque détectrice. 5) Montrer que la durée du demi-tour effectué par un ion ne dépend pas de sa vitesse, puis la calculer pour chacun des deux isotopes. 6) Récapituler la nature du mouvement d'une particule chargée dans les trois situations rencontrées : champ électrique colinéaire à la vitesse, champ électrique perpendiculaire à la vitesse, champ magnétique perpendiculaire à la vitesse.