Système poulie-masse : couplage rotation-translation

Une poulie, assimilée à un disque homogène de rayon $r=10\text{ cm}$ et de moment d'inertie $J_{\Delta }=0,050\text{ kg}\cdot {\text{m}}^2$ par rapport à son axe (fixe, horizontal, sans frottement), peut tourner librement. Un fil inextensible, de masse négligeable, est enroulé sur la poulie sans glisser, et porte à son extrémité libre une masse $m=0,40\text{ kg}$ qui tombe verticalement sous l'effet de son poids. On prend $g=9,8\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$.

1. En notant $T$ la tension du fil et $a$ l'accélération linéaire (verticale) de la masse $m$, écrire la relation issue de la deuxième loi de Newton appliquée à la masse $m$.

2. En notant $\ddot{\theta }$ l'accélération angulaire de la poulie, écrire la relation fondamentale de la dynamique en rotation appliquée à la poulie (seul le moment de la tension du fil intervient, à la distance $r$ de l'axe).

3. Le fil ne glissant pas sur la poulie, écrire la relation cinématique liant $a$ et $\ddot{\theta }$.

4. En combinant les trois relations précédentes, déterminer l'expression littérale de $a$, puis sa valeur numérique.