Chute d'une tige pivotée à une extrémité

Difficile
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Énoncé

Une tige homogène AB de masse M = 1,2 kg et de longueur L = 0,8 m est articulée sans frottement en A à un axe horizontal fixe (Δ). Elle est maintenue horizontale, puis lâchée sans vitesse initiale et bascule librement sous l'effet de son poids jusqu'à la position verticale. On prend g = 9,8 m.s⁻². 1) Calculer le moment d'inertie J_Δ de la tige par rapport à l'axe (Δ) passant par A, d'abord directement, puis en le retrouvant par le théorème de Huygens à partir du moment d'inertie par rapport au centre d'inertie G. 2) Calculer le moment du poids par rapport à (Δ) dans la position horizontale initiale, et en déduire l'accélération angulaire initiale de la tige. 3) À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse angulaire ω de la tige lorsqu'elle passe par la position verticale.

Indices

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1 Indice 1
Le moment d'inertie d'une tige autour d'une extrémité vaut $\dfrac{ML^{2}}{3}$ ; Huygens permet de le retrouver depuis $\dfrac{ML^{2}}{12}$ en ajoutant $M\left(\dfrac{L}{2}\right)^{2}$.
2 Indice 2
À l'horizontale, le bras de levier du poids est $\dfrac{L}{2}$. Pour la vitesse angulaire, le théorème de l'énergie cinétique égale le travail du poids à $\tfrac{1}{2}J_{\Delta}\,\omega^{2}$.

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La méthode — par où commencer

Le moment d'inertie d'une tige autour d'une extrémité vaut ; Huygens permet de le retrouver depuis en ajoutant .

À l'horizontale, le bras de levier du poids est . Pour la vitesse angulaire, le théorème de l'énergie cinétique égale le travail du poids à .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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