Démonstration d'une propriété de la sphère

Difficile
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Énoncé

Montre que le volume d'une sphère de rayon est égal à en utilisant l'intégration (concept théorique).

Indices

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1 Indice 1
Pense à la méthode des disques : le volume s'obtient en intégrant l'aire d'une section circulaire $A(y)$ le long de l'axe, entre $-r$ et $r$.
2 Indice 2
L'aire d'un disque à la hauteur $y$ est $A(y) = \pi(r^2 - y^2)$ (théorème de Pythagore dans la sphère). Il reste à calculer $\int_{-r}^{r} \pi(r^2-y^2)\,dy$.
3 Indice 3
Calcule la primitive $\pi\left[r^2 y - \dfrac{y^3}{3}\right]$ puis évalue-la entre $-r$ et $r$.

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La méthode — par où commencer

Pense à la méthode des disques : le volume s'obtient en intégrant l'aire d'une section circulaire le long de l'axe, entre et .

L'aire d'un disque à la hauteur est (théorème de Pythagore dans la sphère). Il reste à calculer .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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