Comparer deux expressions par étude du signe de la différence

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Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Dans chacun des cas, comparer les nombres $a$ et $b$ .

$a = \frac{x + y}{2}$ et $b = x y$
$a = 1 - \frac{x}{y}$ et $b = \frac{y}{x} - 1$
$a = \frac{1}{x ^{2} + 1 + x}$ et $b = \frac{1}{2 x}$

Indices

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1 Indice 1

Pour comparer deux nombres $a$ et $b$, calcule toujours la différence $a-b$ et étudie son signe. Si $a-b \geq 0$ alors $a \geq b$, sinon $a < b$.

2 Indice 2

Dans chaque cas, après avoir calculé $a-b$, essaie de factoriser ou reconnaître une identité remarquable. Par exemple, pense à $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$ pour le premier cas.

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Pour comparer deux nombres $a$ et $b$ , calcule toujours la différence $a - b$ et étudie son signe. Si $a - b \geq 0$ alors $a \geq b$ , sinon $a < b$ .

Dans chaque cas, après avoir calculé $a - b$ , essaie de factoriser ou reconnaître une identité remarquable. Par exemple, pense à $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 uv + v^{2}$ pour le premier cas.

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