OMM 2023 — Problème 1 : Entiers consécutifs

On considère cinq entiers naturels consécutifs : n, n+1, n+2, n+3, n+4.

1. Montrer que leur produit est divisible par 120.
2. Montrer que la somme de leurs carrés ne peut pas être un carré parfait.
3. Trouver tous les entiers n ≥ 1 tels que n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 120k² pour un certain entier k.