OMM 2024 — Problème 1 : Divisibilité et restes

Soit n un entier naturel tel que :

$$n^2+3n+5\equiv 0(\mathrm{mod}7)$$

1. Déterminer tous les résidus possibles de n modulo 7.
2. Trouver le plus petit entier naturel n ≥ 100 vérifiant cette condition.
3. Montrer que pour tout tel n, on a 7 ∤ (n + 1).