Inégalité AM-GM généralisée

Soient $a_1,a_2,\dots ,a_n$ des réels strictement positifs.

1. Démontrer l'inégalité AM-GM : $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$.
2. Montrer que pour $a,b,c>0$ : $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$.
3. Appliquer AM-GM pour montrer que parmi tous les rectangles de périmètre fixé $P$, le carré a l'aire maximale.