Une tige, un palet, et la conservation du moment cinétique

Une tige homogène de masse $M=2$ kg et de longueur $L$, mobile sans frottement autour d'un axe fixe vertical passant par l'une de ses extrémités, tourne initialement à la vitesse angulaire ${\omega }_0=10$ rad/s. Le moment d'inertie de la tige par rapport à cet axe vaut $J_{tige}=\frac{1}{3}M{L}^2$.

Une petite bille de masse $m=0,5$ kg, initialement immobile par rapport à la tige tout près de l'axe, est libérée et glisse sans frottement le long d'une rainure de la tige, de l'axe ($r=0$) jusqu'à l'extrémité libre ($r=L$).

1) Justifier que le moment cinétique total du système {tige + bille} par rapport à l'axe se conserve au cours du mouvement.

2) Exprimer puis calculer la vitesse angulaire finale ${\omega }_f$ du système lorsque la bille atteint l'extrémité de la tige, en fonction de $M$, $m$ et ${\omega }_0$.

3) Le système tourne-t-il plus vite ou moins vite qu'au départ ? Commenter.