كم تمرينًا مصحّحًا في درس «مرجح نقطتين أو ثلاث نقط في المستوى» ؟

يتوفّر 50 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «مرجح نقطتين أو ثلاث نقط في المستوى» في 1ère Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «مرجح نقطتين أو ثلاث نقط في المستوى» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ1ère Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Barycentre dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. المركز الثقلي لنقطتين موزونتين

تعريف

لتكن $A$ و $B$ نقطتين في المستوى، $α$ و $β$ عددين حقيقيين بحيث $α + β \neq = 0$ . المركز الثقلي للجملة الموزونة ${(A, α); (B, β)}$ هو النقطة الوحيدة $G$ التي تحقق:

$α G A + β GB = 0$

صيغة عملية

لكل نقطة $M$ في المستوى: $M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$ .

بشكل خاص (مع $M = O$ نقطة الأصل):

$G = \frac{α A + β B}{α + β}$

حالة خاصة: المنتصف

إذا كان $α = β = 1$ ، فإن $G$ هو منتصف $[A B]$ .

II. خصائص المركز الثقلي

التجانس: ضرب جميع الأوزان في نفس العدد الحقيقي $k \neq = 0$ لا يغير المركز الثقلي.
المركز الثقلي ينتمي إلى المستقيم $(A B)$ .
موضع المركز الثقلي:
- إذا كان $α$ و $β$ من نفس الإشارة: $G \in [A B]$
- إذا كان $α$ و $β$ من إشارتين متعاكستين: $G$ خارج القطعة $[A B]$

III. المركز الثقلي لثلاث نقط موزونة

تعريف

لتكن $A, B, C$ ثلاث نقط و $α, β, γ$ ثلاثة أعداد حقيقية بحيث $α + β + γ \neq = 0$ . المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ هو النقطة الوحيدة $G$ بحيث:

$α G A + β GB + γ GC = 0$

صيغة عملية

$M G = \frac{α M A + β M B + γ M C}{α + β + γ}$

حالة خاصة: مركز الثقل

إذا كان $α = β = γ = 1$ (أو جميعها متساوية)، فإن $G$ هو مركز ثقل المثلث $A B C$ ، عند تقاطع المتوسطات.

IV. تجميعية المركز الثقلي

مبرهنة (التجميعية)

ليكن $G$ المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β); (C, γ)}$ مع $α + β \neq = 0$ . إذا كان $H$ المركز الثقلي لـ ${(A, α); (B, β)}$ ، فإن:

$G هو المركز الثقلي لـ {(H, α + β); (C, γ)}$

مفيد جداً لتبسيط الحسابات و تحديد موقع المركز الثقلي.

V. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطى: ليكن $A B C$ مثلثاً. $G$ هو المركز الثقلي لـ ${(A, 2); (B, 1); (C, - 1)}$ . إنشاء $G$ .

الحل (التجميعية):

ليكن $H$ المركز الثقلي لـ ${(B, 1); (C, - 1)}$ . بما أن $1 + (- 1) = 0$ ، فهذا المركز الثقلي غير موجود... نجمع بطريقة مختلفة.

ليكن $H$ المركز الثقلي لـ ${(A, 2); (B, 1)}$ . $H = \frac{2 A + B}{3}$ ، إذن $H$ على $[A B]$ على بعد $1/3$ من $B$ .
إذن $G$ هو المركز الثقلي لـ ${(H, 3); (C, - 1)}$ . و $G = \frac{3 H - C}{2}$ . إذن $G$ على المستقيم $(H C)$ ، خارج $[H C]$ ، من جهة $H$ .

VI. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

القسمة على 0. تحقق دائماً من أن مجموع الأوزان $\neq = 0$ .
وضع أوزان سالبة دون تفكير. الإشارة تؤثر على موضع $G$ .
تطبيق التجميعية بشكل خاطئ. تحقق من أن المجموع الجزئي $\neq = 0$ قبل التجميع.
الخلط بين $G A$ و $A G$ . اتجاهان متعاكسان. التعريف يستخدم $G A$ .

📈 Figure clé

Barycentre de deux points pondérés

🔑 Formules clés à retenir

المركز الثقلي لنقطتين ( $α + β \neq = 0$ ):

$α G A + β GB = 0$

$M G = \frac{α M A + β M B}{α + β}$

المنتصف: $α = β = 1$

مركز الثقل: $α = β = γ = 1$

التجميعية: يمكن تجميع نقطتين

في مركزهما الثقلي الجزئي (إذا كان المجموع $\neq = 0$ ).

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لإنشاء مركز ثقلي: استخدم التجميعية لإرجاعه إلى مركز ثقلي لنقطتين (أبسط).
🎯 ضرب جميع الأوزان في نفس العدد الحقيقي لا يغير شيئاً. يمكنك إذن التبسيط (مثال: أوزان $4, 6, - 2$ → $2, 3, - 1$ ).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المركز الثقلي في المستوى

النوع 1 : إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

متى ؟ نُعطى $A$ و $B$ ومعاملات $α$ و $β$ ، ويُطلب تحديد موضع $G = bar {(A, α), (B, β)}$ .

تحقق من أن $α + β \neq = 0$ (وإلا فالمركز الثقلي غير موجود).
استخدم العلاقة المختزلة $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
احسب المعامل $k = \frac{β}{α + β}$ لتحديد موضع $G$ على المستقيم $(A B)$ .
ضع $G$ انطلاقاً من $A$ في اتجاه $A B$ (بين $A$ و $B$ إذا كان $0 < k < 1$ ).

مثال سريع : $G = bar {(A, 1), (B, 3)}$ يعطي $A G = \frac{3}{4} A B$ : $G$ يقع عند ثلاثة أرباع $[A B]$ جهة $B$ .

النوع 2 : حساب إحداثيات مركز ثقلي

متى ؟ لدينا إحداثيات $A$ و $B$ (و $C$ ) ومعاملاتها، ونريد إحداثيات $G$ .

تحقق من أن مجموع المعاملات $s = α + β + γ$ غير معدوم.
طبّق $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B} + γ x _{C}}{s}$ .
طبّق بالمثل $y_{G} = \frac{α y _{A} + β y _{B} + γ y _{C}}{s}$ .
أعط $G$ على الشكل $G (x_{G}; y_{G})$ .

مثال سريع : مع $A (0; 0)$ و $B (3; 0)$ بمعاملات $1$ و $2$ : $x_{G} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{3} = 2$ و $y_{G} = 0$ ، إذن $G (2; 0)$ .

النوع 3 : اختزال مجموع متجهي $α M A + β M B + \dots$

متى ؟ تعبير يتعلق بنقطة متغيرة $M$ ونريد تبسيطه باستخدام مركز ثقلي.

احسب مجموع المعاملات $s$ .
إذا كان $s \neq = 0$ : أدخل $G$ المركز الثقلي، عندئذ $α M A + β M B + γ M C = s M G$ .
إذا كان $s = 0$ : المجموع متجه ثابت مستقل عن $M$ (احسبه بنقطة مناسبة).
عوّض في التعبير الأصلي.

مثال سريع : $M A + M B + M C = 3 M G$ حيث $G$ هو المركز الثقلي المتساوي (مركز الثقل).

النوع 4 : إثبات أن نقطة هي مركز ثقلي (أو تحديدها)

متى ؟ يُطلب إثبات أن $G$ المعطاة هي المركز الثقلي لجملة، أو تحديد مركز الثقل.

انطلق من التعريف $α G A + β GB + γ GC = 0$ .
عبّر عن كل متجه عبر نقطة معلومة، أو استخدم الإحداثيات.
تحقق من المساواة بـ $0$ بعد الحساب.
استنتج : $G$ هي فعلاً المركز الثقلي بهذه المعاملات (مركز الثقل = المركز الثقلي المتساوي، معاملات متساوية).

مثال سريع : مركز الثقل $G$ لمثلث يحقق $G A + GB + GC = 0$ .

النوع 5 : استخدام خاصية التجميع للمركز الثقلي

متى ؟ ثلاث نقط موزونة، ونريد إظهار نقطة وسيطة (منتصف، استقامة).

اجمع نقطتين في مركز ثقلي جزئي $H$ (بمجموع معامليهما).
عوّض هاتين النقطتين بـ $(H, المجموع)$ : يصبح $G$ مركزاً ثقلياً لـ $H$ والنقطة الثالثة.
استنتج أن $G$ ينتمي إلى المستقيم الرابط بين $H$ والنقطة الثالثة.
استنتج الاستقامة أو التقاطع المطلوب.

مثال سريع : $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}$ و $I$ منتصف $[A B]$ : $G = bar {(I, 2), (C, 2)}$ ، إذن $G$ هو منتصف $[I C]$ .

النوع 6 : تحديد خط مستوى (مجموعة نقط)

متى ؟ نبحث عن مجموعة النقط $M$ التي تحقق $∥ α M A + β M B ∥ = k$ أو مساواة معايير.

اختزل المجموع المتجهي إلى المركز الثقلي $G$ : $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
تصبح المساواة $∣ α + β ∣ \cdot M G = k$ ، إذن $M G = \frac{k}{∣ α + β ∣}$ : إنها دائرة مركزها $G$ .
إذا أعطى النص $∥ \dots ∥ = ∥ \dots ∥$ مع مجاميع معدومة، نحصل على مستقيم (محور تناظر أو موازٍ).
حدد المركز ونصف القطر (أو الطبيعة الدقيقة) للمجموعة.

مثال سريع : $∥ M A + M B ∥ = 4$ يعطي $2 M I = 4$ حيث $I$ منتصف $[A B]$ ، أي الدائرة ذات المركز $I$ ونصف القطر $2$ .

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Barycentre de 2 points

Facile

Énoncé

ليكن

A

B

نقطتين. أنشئ المركز الثقلي

G

للمجموعة

{(A, 3); (B, 2)}

Ma réponse

Barycentre dans le plan

Barycentre dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المركز الثقلي لنقطتين موزونتين

تعريف

صيغة عملية

حالة خاصة: المنتصف

II. خصائص المركز الثقلي

III. المركز الثقلي لثلاث نقط موزونة

تعريف

صيغة عملية

حالة خاصة: مركز الثقل

IV. تجميعية المركز الثقلي

مبرهنة (التجميعية)

V. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VI. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — المركز الثقلي في المستوى

النوع 1 : إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

النوع 2 : حساب إحداثيات مركز ثقلي

النوع 3 : اختزال مجموع متجهي αMA+βMB+…

النوع 4 : إثبات أن نقطة هي مركز ثقلي (أو تحديدها)

النوع 5 : استخدام خاصية التجميع للمركز الثقلي

النوع 6 : تحديد خط مستوى (مجموعة نقط)

Barycentre dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Barycentre de 2 points

Coefficients de somme nulle

Vérification définition

Coordonnées du centre de gravité de ABC

Barycentre de 3 points

Isobarycentre = centre de gravité

Milieu et barycentre

اختزال متجهي بسيط

إحداثيتا مرجح نقطتين

مرجح نقطتين مثقلتين

المرجّح المتساوي لثلاث نقط

إحداثيات مرجح نقطتين

من المنتصف إلى مركز الثقل

إحداثيتا مرجح ثلاث نقط

خاصية التجانس

مرجح نقطتين متساويتي المعامل

إحداثيات مرجّح

شرط وجود المرجّح

مركز ثقل مثلث

Exercices Intermédiaires

Vecteur constant si somme nulle

Barycentre et alignement

Médiane et centre de gravité

Ensemble des points M tels que 2MA + 3MB = 0

Relation vectorielle du centre de gravité

Associativité du barycentre

Réduction de MA + 2MB - MC

تجميعية المرجح

مرجّح ثلاث نقط بالإحداثيات

الاختزال المتجهي عند مركز الثقل

خط مستوى بواسطة الاختزال

اختزال مجموع متجهي

المرجح بمعاملات متعاكسة الإشارة

المجموعة الهندسية: دائرة

تجانس المرجح

تجميعية المرجح

الاستقامية بالتجميعية

التوازي باستعمال المرجح

اختزال 3MA + MB وتحديد المجموعة المرتبطة به

موضع مرجح على قطعة

Exercices Difficiles

Centre de gravité — propriété 2/3

Lieu : cercle

Associativité

Lieu des points M avec ||MA + 2MB|| = 6

المجموعة الهندسية لمرجح متغير

تقاطع مستقيمين باستعمال المرجح

مجموعة هندسية مركبة

تلاقي المتوسطات باستعمال المرجح

النوع 3 : اختزال مجموع متجهي $α M A + β M B + \dots$