كم تمرينًا مصحّحًا في درس «حساب المثلثات 2» ؟

يتوفّر 50 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «حساب المثلثات 2» في 1ère Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «حساب المثلثات 2» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ1ère Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Trigonométrie 2 — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكيرات أساسية

القيم المميزة (يجب حفظها عن ظهر قلب)

$x$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$
$sin x$	$0$	$1/2$	$2 /2$	$3 /2$	$1$
$cos x$	$1$	$3 /2$	$2 /2$	$1/2$	$0$
$tan x$	$0$	$3 /3$	$1$	$3$	—

العلاقات الأساسية

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ (إذا كان $cos x \neq = 0$ )
$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

II. صيغ الجمع

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$
$sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
$sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$

III. صيغ المضاعفة

$cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin (2 a) = 2 sin a cos a$
$tan (2 a) = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$

IV. المعادلات المثلثية الأساسية

المعادلة $cos x = a$

إذا كان $∣ a ∣ > 1$ : لا يوجد حل.

إذا كان $∣ a ∣ \leq 1$ : يوجد $α$ بحيث $cos α = a$ . الحلول:

$x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π, k \in Z$

المعادلة $sin x = a$

إذا كان $∣ a ∣ \leq 1$ : يوجد $α$ بحيث $sin α = a$ . الحلول:

$x = α + 2 k π ou x = π - α + 2 k π, k \in Z$

المعادلة $tan x = a$

الحلول: $x = α + k π$ ، $k \in Z$ (حيث $α$ يحقق $tan α = a$ ).

V. المتراجحات المثلثية

الطريقة: استخدام الدائرة المثلثية لتصور الأقواس الحلول.

مثال: حل $cos x \geq 1/2$ على $[0, 2 π]$ .
$cos x = 1/2 \Leftrightarrow x = π /3$ أو $x = - π /3 + 2 π = 5 π /3$ .
على الدائرة، $cos x \geq 1/2$ يقابل القوس على يمين المحور العمودي عند ارتفاع $1/2$ .
الحلول على $[0, 2 π]$ : $x \in [0, π /3] \cup [5 π /3, 2 π]$ .

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: حل في $R$ المعادلة $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ .

الحل: نضع $X = cos x$ . تصبح المعادلة $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ .
$Δ = 9 - 8 = 1$ . $X = \frac{3 \pm 1}{4}$ ، إذن $X = 1$ أو $X = 1/2$ .

الحالة $cos x = 1$ : $x = 2 k π$ ، $k \in Z$ .

الحالة $cos x = 1/2$ : $x = π /3 + 2 k π$ أو $x = - π /3 + 2 k π$ .

VII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

نسيان "+2k $π$ " في المعادلات $cos x = a$ أو $sin x = a$ .
الخلط بين $sin (2 a)$ و $2 sin a$ .
نسيان الشرط $∣ a ∣ \leq 1$ قبل حل $cos x = a$ .
القسمة على $cos x$ دون التحقق من أنه ليس صفراً (فقدان حلول).

📈 Figure clé

Cercle trigonométrique

🔑 Formules clés à retenir

المتطابقات الأساسية :

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = sin x / cos x$

الجمع :

$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$

المضاعفة :

$cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin 2 a = 2 sin a cos a$

المعادلات :

$cos x = a$ : $x = \pm α + 2 k π$
$sin x = a$ : $x = α + 2 k π$ أو $π - α + 2 k π$
$tan x = a$ : $x = α + k π$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 احفظ القيم المميزة sin/cos/tan لـ $0, π /6, π /4, π /3, π /2$ عن ظهر قلب. ضروري جداً.
🎯 للمعادلات من نوع $a cos^{2} x + b cos x + c = 0$ : ضع $X = cos x$ وحل المعادلة من الدرجة الثانية في $X$ .
🎯 الدائرة المثلثية: أفضل صديق لك لتصور المتراجحات وعد الحلول على فترة معينة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — حساب المثلثات 2

النوع 1: التطوير باستخدام صيغ الجمع

متى؟ عندما يُطلب حساب $cos (\frac{7 π}{12})$ أو تحويل $cos (a + b)$ ، $sin (a - b)$ .

حلل الزاوية إلى مجموع/فرق زوايا شهيرة (مثال: $\frac{7 π}{12} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$ ).
طبق الصيغة المناسبة: $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ ، $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
عوض بالقيم الدقيقة المعروفة للزوايا الشهيرة.
بسّط واكتب تحت كسر واحد.

مثال سريع: $cos (\frac{7 π}{12}) = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} - sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4} = \frac{2 - 6}{4}$ .

النوع 2: استخدام صيغ المضاعفة

متى؟ عندما يظهر $cos 2 x$ ، $sin 2 x$ ، أو يلزم تخطيط $cos^{2} x$ ، $sin^{2} x$ .

حدد الشكل: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ و $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ .
لخفض مربع، استخدم $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ و $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ .
عوّض ثم بسّط.
تحقق من التوافق مع المتطابقة $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .

مثال سريع: $2 cos^{2} x - 1 = cos 2 x$ ، إذن $2 cos^{2} \frac{π}{8} - 1 = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ .

النوع 3: حل $cos x = cos a$ (و $sin$ ، $tan$ )

متى؟ معادلة مُرجَعة إلى مساواة جيب تمام أو جيب أو ظل.

ضع المعادلة في الشكل القياسي $cos x = cos a$ .
اكتب الحلول: $x = a + 2 k π$ أو $x = - a + 2 k π$ ، حيث $k \in Z$ .
بالنسبة لـ $sin x = sin a$ : $x = a + 2 k π$ أو $x = π - a + 2 k π$ ؛ لـ $tan x = tan a$ : $x = a + k π$ .
إذا كان هناك مجال محدد، اختر قيم $k$ التي تضع $x$ فيه.

مثال سريع: $cos x = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}$ يعطي $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ أو $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ .

النوع 4: حل معادلة كثيرة حدود في $cos x$ أو $sin x$

متى؟ المعادلة تحتوي على $cos^{2} x$ ، $cos x$ ، أو خليط من $sin$ و $cos$ .

أرجع كل شيء إلى دالة واحدة عبر $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ .
ضع $X = cos x$ (أو $X = sin x$ ) للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $X$ .
حل في $X$ واحتفظ فقط بالقيم بحيث $- 1 \leq X \leq 1$ .
ارجع إلى $x$ بطريقة النوع 3.

مثال سريع: $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ مع $X = cos x$ يعطي $X = 1$ أو $X = - \frac{1}{2}$ ، ثم نحل $cos x = 1$ و $cos x = - \frac{1}{2}$ .

النوع 5: حل متراجحة مثلثية

متى؟ يُطلب قيم $x$ من مجال تحقق $cos x \geq m$ أو $sin x < m$ .

حل أولاً المعادلة المرتبطة $cos x = m$ لإيجاد الحدود.
ضع هذه الزوايا على الدائرة المثلثية وحدد القوس الذي يحقق المتراجحة.
اقرأ مجال الحلول على المجال المفروض (غالباً $[0; 2 π [$ أو $] - π; π]$ ).
أعط الإجابة في مجالات، متحدة بـ $\cup$ إذا لزم الأمر.

مثال سريع: على $[0; 2 π [$ ، $cos x \geq \frac{1}{2}$ حله $[0; \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}; 2 π [$ .

النوع 6: تحويل $a cos x + b sin x$

متى؟ نريد كتابة $a cos x + b sin x$ في الشكل $R cos (x - φ)$ (دراسة أو حل).

احسب السعة $R = a^{2} + b^{2}$ .
أخرج عاملاً: $a cos x + b sin x = R (\frac{a}{R} cos x + \frac{b}{R} sin x)$ .
حدد $φ$ بحيث $cos φ = \frac{a}{R}$ و $sin φ = \frac{b}{R}$ .
استنتج $a cos x + b sin x = R cos (x - φ)$ ، مما يرجع إلى معادلة من النوع 3.

مثال سريع: $cos x + 3 sin x = 2 cos (x - \frac{π}{3})$ لأن $R = 2$ و $φ = \frac{π}{3}$ .

Trigonométrie 2 — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Facile

Énoncé

حل في

R

المعادلة

cos x = \frac{1}{2}

Ma réponse

Trigonométrie 2

Trigonométrie 2 — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكيرات أساسية

القيم المميزة (يجب حفظها عن ظهر قلب)

العلاقات الأساسية

II. صيغ الجمع

III. صيغ المضاعفة

IV. المعادلات المثلثية الأساسية

المعادلة cosx=a

المعادلة sinx=a

المعادلة tanx=a

V. المتراجحات المثلثية

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — حساب المثلثات 2

النوع 1: التطوير باستخدام صيغ الجمع

النوع 2: استخدام صيغ المضاعفة

النوع 3: حل cosx=cosa (و sin، tan)

النوع 4: حل معادلة كثيرة حدود في cosx أو sinx

النوع 5: حل متراجحة مثلثية

النوع 6: تحويل acosx+bsinx

Trigonométrie 2 — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Valeur exacte de cos(5π/12) via π/4 + π/6

Équation cos = a

Équation sin = a

Équation $\tan(x) = a$

Valeurs exactes de cos(π/6), sin(π/4) et tan(π/3)

الدائرة المثلثية والنقطة المرتبطة بـ π/3

العلاقة الأساسية

حل معادلة مثلثية بسيطة (جيب التمام)

الأقواس المرتبطة

حل معادلة مثلثية بسيطة (الجيب)

حساب عبارة باستعمال القيم الخاصة

تحويل من الدرجات إلى الراديان

حساب A = cos(π/3) + sin(π/6) + cos(π/4)×sin(π/4)

معادلة جيب التمام أولية

القيمة المضبوطة لـ cos(75°)

تبسيط باستعمال جيب الزاوية المضاعفة

حساب جيب تمام انطلاقا من جيب

Exercices Intermédiaires

Équation $a\cos x + b\sin x = c$

Identité fondamentale

Équation produit

Identité utilisant duplication

Équation du 2nd degré en cos

Équation $\cos(2x) = ...$

Équation factorisée

تبسيط عبارة

المعادلة cos x = a

صيغ مضاعفة الزاوية: حساب cos(2a) و sin(2a)

حل المعادلة cos(2x) = 1/2

القيمة المضبوطة لـ cos(7π/12) باستعمال π/3 + π/4

العلاقات المترية: قاعدة الجيب في المثلث

صيغة التضعيف

حساب cos(π/12) و sin(π/12) باستعمال صيغ الجمع

حل المتراجحة cos(x) ≥ 1/2

القيمة المضبوطة لـ sin(15°) والتحقق

استعمال cos(2a) لإيجاد جيب تمام

تعميل ومعادلة جدائية

معادلة بالجيب على مجال

Exercices Difficiles

Système avec cos x + cos y = 1 et x + y = π

Résoudre sin x + cos x = 1 sur [0, 2π]

Calcul exact de cos(7π/12) par décomposition

Linéarisation

Inéquation trigo

حل معادلة مثلثية من الدرجة الثانية

معادلة وتعميل

صيغة الجمع مع زاوية من الربع الثاني

برهان متطابقة مثلثية

مبرهنة الجيب تمام (الكاشي) في المثلث