Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. المفردات الأساسية

تعريف — دالة عددية

الدالة العددية $f$ لمتغير حقيقي هي علاقة تربط كل عدد حقيقي $x$ من جزء $D \subset R$ ، بعدد حقيقي واحد على الأكثر $f (x)$ . نكتب:

$f : D \to R, x \mapsto f (x)$

$D$ تسمى مجموعة التعريف للدالة $f$ ، ويرمز لها بـ $D_{f}$
$f (x)$ هي صورة $x$ بالدالة $f$
إذا كان $y = f (x)$ ، فإن $x$ هو سابقة لـ $y$ بالدالة $f$

مجموعة التعريف — القواعد الثلاث الواجب معرفتها

لإيجاد $D_{f}$ ، نبحث عن قيم $x$ التي من أجلها يكون $f (x)$ موجوداً:

القسمة: $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ تتطلب $v (x) \neq = 0$
الجذر التربيعي: $u (x)$ يتطلب $u (x) \geq 0$
اللوغاريتم (سيُدرس لاحقاً): $ln (u (x))$ يتطلب $u (x) > 0$

مثال محلول: تحديد $D_{f}$ للدالة $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ .
- الجذر: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$
- المقام غير منعدم: $x - 3 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 3$
إذن $D_{f} = [1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

II. التمثيل البياني

المنحنى (أو المنحنى التمثيلي) للدالة $f$ هو المجموعة:

$C_{f} = {M (x, f (x)); x \in D_{f}}$

في معلم متعامد ومتجانس $(O; i, j)$ .

III. تكافؤ الدالة

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على $D_{f}$ متناظرة بالنسبة لـ $0$ (أي: $x \in D_{f} \Rightarrow - x \in D_{f}$ ).

$f$ زوجية إذا كان: $\forall x \in D_{f}, f (- x) = f (x)$
$f$ فردية إذا كان: $\forall x \in D_{f}, f (- x) = - f (x)$

النتائج البيانية

إذا كانت $f$ زوجية ← $C_{f}$ متناظر بالنسبة للمحور $(O y)$
إذا كانت $f$ فردية ← $C_{f}$ متناظر بالنسبة لنقطة الأصل $O$

مثال:
$f (x) = x^{2}$ زوجية لأن $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ .
$g (x) = x^{3}$ فردية لأن $g (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - g (x)$ .
$h (x) = x^{2} + x$ ليست زوجية ولا فردية لأن $h (- x) = x^{2} - x \neq = h (x)$ و $\neq = - h (x)$ .

طريقة الباكالوريا لدراسة التكافؤ

التحقق من أن $D_{f}$ متناظرة بالنسبة لـ $0$ . وإلا، فإن $f$ ليست زوجية ولا فردية.
حساب $f (- x)$ .
المقارنة مع $f (x)$ و $- f (x)$ .

IV. الدورية

تعريف

$f$ دورية بدورة $T > 0$ إذا كان:

$x \in D_{f} \Rightarrow x + T \in D_{f}$ و $x - T \in D_{f}$
$\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$

أصغر دورة موجبة تماماً (إن وُجدت) تسمى الدورة الأساسية.

أمثلة أساسية

$sin$ و $cos$ دوريتان بدورة $2 π$
$tan$ دورية بدورة $π$
$x \mapsto sin (2 x)$ دورية بدورة $π$ (الدورة مقسومة على 2)

V. اتجاه التغير

تعريف

لتكن $f$ معرفة على مجال $I$ . نقول إن:

$f$ متزايدة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
$f$ متزايدة تماماً على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
$f$ متناقصة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$
$f$ ثابتة على $I$ إذا كان: $\forall x_{1}, x_{2} \in I, f (x_{1}) = f (x_{2})$

الدالة الرتيبة هي متزايدة أو متناقصة (اتجاه واحد).

طريقة دراسة اتجاه التغير (بدون مشتقة)

نستخدم معدل التزايد:

$T (x_{1}, x_{2}) = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

إذا كان $T (x_{1}, x_{2}) > 0$ لكل $x_{1} \neq = x_{2}$ في $I$ ← $f$ متزايدة تماماً
إذا كان $T (x_{1}, x_{2}) < 0$ لكل $x_{1} \neq = x_{2}$ في $I$ ← $f$ متناقصة تماماً

مثال: دراسة تغيرات $f (x) = x^{2}$ على $[0, + \infty [$ .
ليكن $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . إذن $T = \frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( x _{2} + x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = x_{1} + x_{2} > 0$ .
إذن $f$ متزايدة تماماً على $[0, + \infty [$ .

VI. القيم الحدية للدالة

تعريف

لتكن $f$ معرفة على $D$ و $x_{0} \in D$ .

$f$ تقبل قيمة عظمى في $x_{0}$ إذا كان: $\forall x \in D, f (x) \leq f (x_{0})$ . القيمة $f (x_{0})$ هي القيمة العظمى لـ $f$ .
$f$ تقبل قيمة صغرى في $x_{0}$ إذا كان: $\forall x \in D, f (x) \geq f (x_{0})$
القيمة الحدية هي إما قيمة عظمى أو قيمة صغرى.

الحصر والقيم الحدية

إذا كان $\forall x \in D, m \leq f (x) \leq M$ ، فإن:

$f$ محدودة من الأسفل بـ $m$ (لكن $m$ ليس بالضرورة محققاً)
$f$ محدودة من الأعلى بـ $M$
$f$ محدودة

VII. مقارنة الدوال والوضع النسبي

لمقارنة منحنيين $C_{f}$ و $C_{g}$ على مجال $I$ ، ندرس إشارة $f (x) - g (x)$ :

$f (x) - g (x) > 0$ على $I$ : $C_{f}$ فوق $C_{g}$ على $I$
$f (x) - g (x) < 0$ على $I$ : $C_{f}$ تحت $C_{g}$ على $I$
$f (x) - g (x) = 0$ : المنحنيان يتقاطعان عند النقطة ذات الفاصلة $x$

VIII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

تمرين كلاسيكي: لتكن $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .
1) تحديد $D_{f}$ .
2) دراسة تكافؤ $f$ .
3) مقارنة $f$ مع الدالة $g : x \mapsto 2$ .

الحل:

1) $f (x)$ موجودة إذا كان $x - 1 \neq = 0$ ، أي $x \neq = 1$ . إذن $D_{f} = R ∖ {1}$ .

2) $D_{f}$ غير متناظرة بالنسبة لـ $0$ (لأن $1 \in / D_{f}$ لكن $- 1 \in D_{f}$ ). إذن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

3) $f (x) - g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2 = \frac{2 x + 1 - 2 ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$ .
إذن:

إذا كان $x > 1$ : $\frac{3}{x - 1} > 0$ إذن $C_{f}$ فوق المستقيم $y = 2$
إذا كان $x < 1$ : $\frac{3}{x - 1} < 0$ إذن $C_{f}$ تحت المستقيم $y = 2$

IX. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

نسيان تناظر $D_{f}$ قبل دراسة التكافؤ. إذا لم تكن $D_{f}$ متناظرة، فالدالة ليست زوجية ولا فردية، نقطة على السطر.
الخلط بين "متزايدة بالمعنى الواسع" و"متزايدة تماماً". الفرق: $\leq$ مقابل $<$ . لإثبات الرتابة التامة، يجب $<$ صارم.
الخلط بين "محدودة بـ M" و"القيمة العظمى تساوي M". يمكن أن تكون $f$ محدودة بـ $M$ دون أن تبلغها أبداً (مثال: $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ على $R^{+}$ ، محدودة بـ 1 لكن لا تساوي 1 أبداً).
نسيان المجال في جدول التغيرات. ابدأ دائماً بـ $D_{f}$ .
الخلط بين $f (- x)$ و $- f (x)$ . $f (- x)$ = نعوض $x$ بـ $- x$ في الصيغة. $- f (x)$ = نأخذ مقابل النتيجة.

X. ما يجب تذكره

$D_{f}$ : 3 قواعد (القسمة، الجذر، اللوغاريتم). ابدأ دائماً بهذا.
التكافؤ: شرطان (المجال متناظر + $f (- x) = \pm f (x)$ ).
الدورية: $sin / cos$ ( $2 π$ )، $tan$ ( $π$ ).
اتجاه التغير: معدل التزايد. المشتقة (الفصل التالي) ستكون أسرع.
مقارنة المنحنيات: دراسة إشارة $f - g$ .

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{2}

🔑 Formules clés à retenir

مجموعة التعريف:

القسمة: المقام $\neq = 0$
الجذر: المقدار $\geq 0$
اللوغاريتم: المقدار $> 0$

التكافؤ:

زوجية: $f (- x) = f (x)$ ، تناظر / $(O y)$
فردية: $f (- x) = - f (x)$ ، تناظر / الأصل

الدورية: $f (x + T) = f (x)$ ، دورة $T$

$sin, cos$ : دورة $2 π$
$tan$ : دورة $π$

التغير (معدل التزايد):

$T = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

مقارنة المنحنيات: دراسة إشارة $f (x) - g (x)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتكافؤ: تحقق دائماً من تناظر المجال أولاً. إذا لم تكن $D_{f}$ متناظرة بالنسبة لـ 0، لا داعي للمتابعة — $f$ ليست زوجية ولا فردية.
🎯 لاتجاه التغير: إذا أعطى التمرين تعبيراً معقداً، حاول أولاً كتابة $f (x_{2}) - f (x_{1})$ والتحليل بإخراج $(x_{2} - x_{1})$ .
🎯 للدورية: تذكر أن $sin (ω x)$ دورتها $\frac{2 π}{∣ ω ∣}$ . إذن $sin (3 x)$ دورتها $\frac{2 π}{3}$ .
🎯 لمقارنة منحنيين: حلل $f (x) - g (x)$ لإظهار الإشارة بوضوح (غالباً جداء أو قسمة).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — عموميات حول الدوال

النوع 1 : تحديد مجموعة التعريف

متى؟ يُعطى لك دالة ويُطلب منك $D_{f}$ (غالباً مع كسر، جذر أو كليهما).

حدد القيود: المقام يجب أن يكون $\neq = 0$ ؛ تحت الجذر التربيعي الكمية يجب أن تكون $\geq 0$ .
اكتب كل شرط على شكل معادلة أو متراجحة ثم حلها.
أوجد تقاطع جميع الشروط التي وجدتها.
عبّر عن النتيجة بمجالات متحدة بواسطة $\cup$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ نفرض $x - 1 \geq 0$ و $x - 3 \neq = 0$ ، ومنه $D_{f} = [1; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

النوع 2 : دراسة تناظر دالة

متى؟ يُطلب منك معرفة إذا كانت $f$ زوجية، فردية، أو لا هذه ولا تلك (مفيد لتبسيط الدراسة).

تحقق أولاً من أن $D_{f}$ متناظرة بالنسبة لـ $0$ : إذا كان $x \in D_{f}$ فإن $- x \in D_{f}$ . وإلا، استنتج مباشرة « لا زوجية ولا فردية ».
احسب $f (- x)$ وبسّط.
إذا كان $f (- x) = f (x)$ : $f$ زوجية (المنحنى متناظر بالنسبة للمحور $(O y)$ ).
إذا كان $f (- x) = - f (x)$ : $f$ فردية (المنحنى متناظر بالنسبة لنقطة الأصل $O$ ).

مثال سريع: $f (x) = x^{2} + cos x$ لها $D_{f} = R$ متناظرة و $f (- x) = x^{2} + cos x = f (x)$ : $f$ زوجية.

النوع 3 : مقارنة دالتين / تحديد موضع منحنى

متى؟ يُطلب منك مقارنة $f$ و $g$ ، أو موضع $(C_{f})$ بالنسبة لمستقيم.

شكّل الفرق $d (x) = f (x) - g (x)$ .
ادرس إشارة $d (x)$ (تحليل، جدول إشارات).
حيث $d (x) > 0$ : $f (x) > g (x)$ ، إذن $(C_{f})$ فوق $(C_{g})$ .
حيث $d (x) < 0$ : $(C_{f})$ تحت ؛ إذا كان $d (x) = 0$ المنحنيان يتقاطعان.

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x$ : $d (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ ، إذن $(C_{f})$ فوق على $] - \infty; 0 [\cup] 1; + \infty [$ .

النوع 4 : دراسة التغيرات بواسطة معدل التزايد

متى؟ يُطلب منك رتابة على مجال $I$ دون استعمال المشتقة (طريقة المنهاج).

خذ $a < b$ عددين حقيقيين أي كانا من $I$ .
احسب المعدل $T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ وبسّط قدر الإمكان.
حدد إشارة $T$ على $I$ .
إذا كان $T > 0$ : $f$ متزايدة تماماً ؛ إذا كان $T < 0$ : متناقصة تماماً.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = x^{2}$ على $[0; + \infty [$ ، $T = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = a + b > 0$ : $f$ متزايدة.

النوع 5 : تحديد قيمة حدية

متى؟ يُطلب منك القيمة العظمى أو الصغرى لـ $f$ وأين تُحقق.

أنشئ جدول تغيرات $f$ (انطلاقاً من الرتابة المدروسة).
قيمة صغرى تظهر حيث تنتقل $f$ من متناقصة إلى متزايدة ؛ قيمة عظمى حيث تنتقل من متزايدة إلى متناقصة.
اقرأ القيمة الحدية $f (x_{0})$ والفاصلة $x_{0}$ المقابلة.
لإثبات $f (x) \geq m$ ، أظهر أن $f (x) - m \geq 0$ بواسطة صيغة قانونية.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ تعطي قيمة صغرى $1$ تُحقق عند $x = 2$ .

النوع 6 : تحديد دالة مركبة ومجموعة تعريفها

متى؟ يُطلب منك $g \circ f$ (أو $f \circ g$ ) ومجموعة تعريف المركبة.

احسب $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ بتعويض متغير $g$ بـ $f (x)$ .
بالنسبة للمجموعة: يجب أن يكون $x \in D_{f}$ و $f (x) \in D_{g}$ .
ترجم هذين الشرطين إلى معادلات أو متراجحات وأوجد تقاطعهما.
بسّط التعبير المحصل عليه إن أمكن.

مثال سريع: $f (x) = x + 1$ ، $g (x) = x$ : $(g \circ f) (x) = x + 1$ مع شرط $x + 1 \geq 0$ ، أي $D = [- 1; + \infty [$ .

النوع 7 : رتابة دالة مركبة

متى؟ تعرف رتابة $u$ و $v$ وتريد رتابة $v \circ u$ .

حدد اتجاه تغير $u$ على مجال العمل.
حدد اتجاه تغير $v$ على مجال الصورة $u (I)$ .
طبّق قاعدة الإشارات: إذا كانت $u$ و $v$ تتغيران في نفس الاتجاه، $v \circ u$ متزايدة ؛ وإلا متناقصة.
استنتج مع تحديد المجال.

مثال سريع: $u (x) = - x$ (متناقصة) و $v (x) = x^{2}$ متزايدة على $[0; + \infty [$ : على $] - \infty; 0]$ ، $v \circ u$ متناقصة.

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Domaine de définition

Facile

Énoncé

حدد مجموعة تعريف الدالة

f

المعرفة بـ

f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}

Ma réponse

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المفردات الأساسية

تعريف — دالة عددية

مجموعة التعريف — القواعد الثلاث الواجب معرفتها

II. التمثيل البياني

III. تكافؤ الدالة

تعريف

النتائج البيانية

طريقة الباكالوريا لدراسة التكافؤ

IV. الدورية

تعريف

أمثلة أساسية

V. اتجاه التغير

تعريف

طريقة دراسة اتجاه التغير (بدون مشتقة)

VI. القيم الحدية للدالة

تعريف

الحصر والقيم الحدية

VII. مقارنة الدوال والوضع النسبي

VIII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

IX. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

X. ما يجب تذكره

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — عموميات حول الدوال

النوع 1 : تحديد مجموعة التعريف

النوع 2 : دراسة تناظر دالة

النوع 3 : مقارنة دالتين / تحديد موضع منحنى

النوع 4 : دراسة التغيرات بواسطة معدل التزايد

النوع 5 : تحديد قيمة حدية

النوع 6 : تحديد دالة مركبة ومجموعة تعريفها

النوع 7 : رتابة دالة مركبة

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Domaine de définition

Bijection et image

Domaine et inégalité

Étude de parité d'une somme

Composition de fonctions

Image directe d'un intervalle

Domaine avec racine et fraction

Exercices Intermédiaires

Variation par taux d'accroissement

Représentation graphique d'une transformation

Image et antécédents

Encadrement d'une fonction

Étude de la parité

Extremum d'une fonction

Fonction associée (translation)

Exercices Difficiles

Étude d'une fonction par symétrie

Fonction trigonométrique périodique

Sens de variation par taux d'accroissement

Périodicité

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Généralités sur les fonctions numériques

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone