I. متجهات الفضاء

معلم متعامد ومتجانس مباشر

$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ حيث $\Vert \vec{i}\Vert =\Vert \vec{j}\Vert =\Vert \vec{k}\Vert =1$ والمتجهات الثلاثة متعامدة اثنين اثنين.

إحداثيات متجه

كل متجه $\vec{u}$ يُكتب بطريقة وحيدة: $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. نرمز له بـ $\vec{u}(x,y,z)$.

II. العمليات على المتجهات

ليكن $\vec{u}(x,y,z)$ و $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$، $\lambda \in \mathbb{R}$.

• الجمع: $\vec{u}+\vec{v}=(x+x^{\prime },y+y^{\prime },z+z^{\prime })$
• الضرب في عدد حقيقي: $\lambda \vec{u}=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$
• المتجه المعاكس: $-\vec{u}=(-x,-y,-z)$

III. المعيار والمسافة

• $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• المسافة بين $A(x_A,y_A,z_A)$ و $B(x_B,y_B,z_B)$:
  $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$

IV. تساوي اتجاه متجهين

معيار عملي

$\vec{u}(x,y,z)$ و $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ متساويا الاتجاه إذا وفقط إذا $\{\begin{array}{l}x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0\\ y{z}^{\prime }-z{y}^{\prime }=0\\ x{z}^{\prime }-z{x}^{\prime }=0\end{array}$

V. تساوي مستوى ثلاثة متجهات

معيار تساوي مستوى 4 نقط

4 نقط $A,B,C,D$ متساوية المستوى إذا وفقط إذا كانت المتجهات $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ متساوية المستوى.

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

نص التمرين: في معلم متعامد ومتجانس، لتكن $A(1,0,2)$، $B(2,1,0)$، $C(0,1,1)$.
1) احسب $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ و $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$.
2) هل المتجهان $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ متساويا الاتجاه؟

الحل:

1) $\overrightarrow{AB}=(1,1,-2)$، إذن $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$.
$\overrightarrow{AC}=(-1,1,-1)$، إذن $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$.

2) $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ متساويا الاتجاه إذا وفقط إذا $1\times 1-1\times (-1)=0$، أي $1+1=2\ne 0$. إذن غير متساويي الاتجاه.

VII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

1. الخلط بين إحداثيات نقطة وإحداثيات متجه. النقطة لها اسم (مثال: $A$)، والمتجه أيضاً (مثال: $\vec{u}$).
2. نسيان الجذر التربيعي في المعيار.
3. الخلط بين متساويي الاتجاه ومتساويي المستوى. متجهان يكونان متساويي الاتجاه؛ 3 متجهات تكون متساوية المستوى.
4. الاعتقاد أن 4 نقط مستقيمية متساوية المستوى. صحيح، لكن العكس خاطئ: 4 نقط متساوية المستوى ليست بالضرورة مستقيمية.