Étude des fonctions numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. خطة دراسة دالة (طريقة في 7 خطوات)

مجموعة التعريف $D_{f}$
الزوجية، الدورية (إن وجدت) لتبسيط الدراسة
النهايات عند حدود المجموعة
القابلية للاشتقاق وحساب $f^{'} (x)$
إشارة $f^{'}$ وجدول التغيرات
المقاربات (رأسية، أفقية، مائلة)
رسم المنحنى $C_{f}$

II. المقارب المائل

تعريف

إذا كان $x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0$ ، فإن المستقيم $y = a x + b$ هو مقارب مائل لـ $C_{f}$ عند $+ \infty$ .

كيف نجد $a$ و $b$ ؟

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$

إذا كانت النهايتان موجودتين ومنتهيتين، فإن $C_{f}$ يقبل المقارب المائل $y = a x + b$ .

III. الوضع النسبي منحنى / مقارب

دراسة إشارة $f (x) - (a x + b)$ :

$> 0$ : $C_{f}$ فوق المقارب
$< 0$ : $C_{f}$ تحت المقارب
$= 0$ : تقاطع (نادر)

IV. مركز التماثل / محور التماثل

محور التماثل

يقبل $C_{f}$ المستقيم $x = a$ كمحور تماثل إذا وفقط إذا $\forall h$ بحيث $a + h, a - h \in D_{f}$ :

$f (a + h) = f (a - h)$

مركز التماثل

يقبل $C_{f}$ النقطة $Ω (a, b)$ كمركز تماثل إذا وفقط إذا :

$f (a + h) + f (a - h) = 2 b$

V. الفروع اللانهائية

عندما $x \to \infty lim f (x) = \infty$ ، ندرس :

إذا كان $lim \frac{f ( x )}{x} = \infty$ : فرع قطع مكافئ باتجاه $(O y)$
إذا كان $lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ : فرع قطع مكافئ باتجاه $(O x)$
إذا كان $lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ و $lim (f (x) - a x) = b$ : مقارب مائل $y = a x + b$
إذا كان $lim \frac{f ( x )}{x} = a$ و $lim (f (x) - a x) = \infty$ : اتجاه مقارب $y = a x$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى : دراسة الدالة $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ .

الحل :

$D_{f} = R^{*}$ . فردية لأن $f (- x) = - f (x)$ . ندرس على $] 0, + \infty [$ .

$x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ → مقارب رأسي $x = 0$ .

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ ، $\frac{f ( x )}{x} = 1 + \frac{1}{x ^{2}} \to 1$ ، $f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ .
إذن مقارب مائل $y = x$ عند $+ \infty$ .

$f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x - ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ . إشارة $f^{'}$ : $f^{'} (x) > 0$ على $] 1, + \infty [$ ، $f^{'} (x) < 0$ على $] 0, 1 [$ .
حد أدنى محلي عند $x = 1$ : $f (1) = 2$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

حساب النهاية قبل التبسيط. دائماً بسّط أولاً.
الخلط بين الاتجاه المقارب والمقارب المائل. الاتجاه = الميل فقط. المقارب = الميل + الإحداثية الأصلية.
نسيان الوضع النسبي منحنى/مقارب في الاستنتاج البياني.
رسم المنحنى بدون جدول التغيرات.
عدم التحقق من أن $f$ متصلة / قابلة للاشتقاق قبل استخدام هذه الخصائص.

📈 Figure clé

Étude d'une fonction cubique

🔑 Formules clés à retenir

خطة الدراسة :

1. المجموعة

2. الزوجية/الدورية

3. النهايات عند الحدود

4. المشتقة

5. جدول التغيرات

6. المقاربات

7. الرسم

المقارب المائل $y = a x + b$ :

$a = lim f (x) / x$
$b = lim (f (x) - a x)$

محور التماثل $x = a$ : $f (a + h) = f (a - h)$

مركز التماثل $Ω (a, b)$ : $f (a + h) + f (a - h) = 2 b$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 ابدأ دائماً بـ $D_{f}$ وانتهِ بالرسم. طريقة منهجية.
🎯 بالنسبة للدوال الكسرية، يُوجد المقارب المائل بالقسمة الإقليدية (أسرع من النهايات).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — دراسة الدوال العددية

النوع 1: تحديد مجموعة التعريف

متى؟ الخطوة الأولى من أي دراسة: إيجاد $D_{f}$ .

حدد القيود: يجب أن يكون المقام $\neq = 0$ ، الجذر التربيعي يتطلب أن يكون ما تحت الجذر $\geq 0$ .
ضع وحل الشروط المقابلة (معادلات أو متراجحات).
عبّر عن $D_{f}$ كاتحاد فترات.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ، نفرض $x - 2 \neq = 0$ ، إذن $D_{f} = R ∖ {2}$ .

النوع 2: دراسة الزوجية (تماثلات المنحنى)

متى؟ $D_{f}$ متماثلة بالنسبة لـ $0$ ونريد تقليص مجال الدراسة.

تحقق من أن $D_{f}$ متماثلة: $x \in D_{f} \Rightarrow - x \in D_{f}$ .
احسب $f (- x)$ وبسّط.
إذا كان $f (- x) = f (x)$ : زوجية (محور الأراتيب). إذا كان $f (- x) = - f (x)$ : فردية (الأصل، مركز تماثل).

مثال سريع: $f (x) = x^{2} + 1$ : $f (- x) = x^{2} + 1 = f (x)$ ، إذن $f$ زوجية.

النوع 3: حساب النهايات عند حدود المجال

متى؟ نبحث عن سلوك $f$ عند حدود $D_{f}$ (اللانهاية، القيم المستثناة).

اسرد جميع حدود $D_{f}$ (بما في ذلك $\pm \infty$ والقيم الممنوعة).
احسب النهاية عند كل حد (التعويض، رفع حالة اللاتعيين، الإشارة من اليسار/اليمين).
رتب هذه النهايات: ستُستخدم للمقاربات وأطراف جدول التغيرات.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ : $x \to 2^{+} lim f = + \infty$ ، $x \to + \infty lim f = 0$ .

النوع 4: الاشتقاق وإنشاء جدول التغيرات

متى؟ هذا قلب الدراسة: الحصول على اتجاه التغير والقيم الحدية.

احسب $f^{'} (x)$ وحل $f^{'} (x) = 0$ .
ادرس إشارة $f^{'} (x)$ على $D_{f}$ .
أنشئ الجدول: سطر إشارة $f^{'}$ ، سطر تغيرات $f$ (أسهم)، مع النهايات والقيم الحدية.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ، $f^{'} (x) = 2 x - 4$ : متناقصة على $] - \infty, 2]$ ، متزايدة على $[2, + \infty [$ ، أدنى قيمة $f (2) = - 3$ .

النوع 5: تحديد المقاربات

متى؟ نستغل النهايات لوصف السلوك المقارب للمنحنى.

رأسية $x = a$ : إذا كان $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
أفقية $y = ℓ$ : إذا كان $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ منته.
مائلة $y = a x + b$ : احسب $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ ثم $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ .

مثال سريع: $f (x) = x + \frac{1}{x}$ : $x \to + \infty lim [f (x) - x] = 0$ ، إذن $y = x$ مقارب مائل.

النوع 6: تحديد موضع المنحنى بالنسبة لمقارب

متى؟ نريد معرفة ما إذا كان المنحنى فوق أو تحت مقارب (غالباً مائل).

احسب الفرق $d (x) = f (x) - (a x + b)$ .
ادرس إشارة $d (x)$ على $D_{f}$ .
إذا كان $d (x) > 0$ : المنحنى فوق؛ إذا كان $d (x) < 0$ : المنحنى تحت؛ $d (x) = 0$ : نقطة تقاطع.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = x + \frac{1}{x}$ و $y = x$ : $d (x) = \frac{1}{x} > 0$ إذا كان $x > 0$ (المنحنى فوق).

النوع 7: رسم المنحنى الممثل

متى؟ الخطوة الأخيرة: تمثيل $C_{f}$ في معلم.

ارسم المقاربات (خطوط متقطعة) وضع بعض النقط الأساسية (القيم الحدية، التقاطعات مع المحاور).
استخدم الزوجية المحتملة للإكمال بالتماثل.
ارسم المنحنى مع احترام جدول التغيرات والموضع بالنسبة للمقاربات.

مثال سريع: بالنسبة لدالة زوجية، نرسم على $[0, + \infty [$ ثم نكمل بالتماثل المحوري بالنسبة للمحور $(O y)$ .

النوع 8: مناقشة عدد حلول $f (x) = m$

متى؟ يُطلب عدد حلول معادلة حسب وسيط، أو تقاطع المنحنى/مستقيم أفقي.

فسّر: عدد حلول $f (x) = m$ هو عدد تقاطعات $C_{f}$ مع المستقيم $y = m$ .
اقرأ جدول التغيرات: قارن $m$ بالقيم الحدية والنهايات.
استنتج حسب قيم $m$ (0، 1، 2... حل).

مثال سريع: إذا كان لـ $f$ أدنى قيمة $- 3$ وتؤول إلى $+ \infty$ عند الحدود، فإن $f (x) = m$ له حلان إذا كان $m > - 3$ ، حل واحد إذا كان $m = - 3$ ، لا حل إذا كان $m < - 3$ .

Étude des fonctions numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Asymptote horizontale

Facile

Énoncé

لتكن

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. حدد المقارب الأفقي لـ

C_{f}

(إن وجد).

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Étude des fonctions numériques

Étude des fonctions numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. خطة دراسة دالة (طريقة في 7 خطوات)

II. المقارب المائل

تعريف

كيف نجد a و b ؟

III. الوضع النسبي منحنى / مقارب

IV. مركز التماثل / محور التماثل

محور التماثل

مركز التماثل

V. الفروع اللانهائية

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — دراسة الدوال العددية

النوع 1: تحديد مجموعة التعريف

النوع 2: دراسة الزوجية (تماثلات المنحنى)

النوع 3: حساب النهايات عند حدود المجال

النوع 4: الاشتقاق وإنشاء جدول التغيرات

النوع 5: تحديد المقاربات

النوع 6: تحديد موضع المنحنى بالنسبة لمقارب

النوع 7: رسم المنحنى الممثل

النوع 8: مناقشة عدد حلول f(x)=m

Étude des fonctions numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale

Position relative courbe-droite

Étude polynôme degré 2

Maximum/minimum sur intervalle

Variations via la dérivée

Tangente horizontale

Tableau de variation simple

Exercices Intermédiaires

Étude complète d'une fraction

Résolution graphique d'une équation

Position relative droite/courbe

Étude d'une fraction rationnelle

Asymptote oblique

Encadrement de $f$

Branche infinie

Exercices Difficiles

Étude paramétrée et discussion

Étude complète avec asymptote oblique

Étude complète d'une fonction

Étude avec paramètre

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Étude des fonctions numériques

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

كيف نجد $a$ و $b$ ؟

النوع 8: مناقشة عدد حلول $f (x) = m$