Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف المتتالية العددية

تعريف

المتتالية العددية هي دالة $u$ معرفة من جزء من $N$ إلى $R$ . نكتب $u_{n}$ بدلاً من $u (n)$ ونرمز للمتتالية بـ $(u_{n})_{n \geq 0}$ أو ببساطة $(u_{n})$ .

$n$ يسمى المؤشر أو الرتبة
$u_{n}$ هو الحد العام أو حد الرتبة $n$

طريقتا تعريف المتتالية

صيغة صريحة: نعرف $u_{n}$ بدلالة $n$ . مثال: $u_{n} = 2 n + 1$ .
علاقة تراجعية: نعرف $u_{0}$ وصيغة $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . مثال: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .

II. المتتاليات الحسابية

تعريف

$(u_{n})$ حسابية بأساس $r$ إذا كان: $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

صيغ يجب حفظها عن ظهر قلب

الحد العام: $u_{n} = u_{0} + n r$
الصيغة العامة: $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ (ابتداءً من رتبة $p$ )
المجموع: $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

كيف نتعرف على متتالية حسابية؟

نحسب $u_{n + 1} - u_{n}$ . إذا كان ثابتاً (مستقلاً عن $n$ )، فهي متتالية حسابية بأساس هذا الثابت.

مثال: $u_{n} = 3 n - 2$ . إذن $u_{n + 1} - u_{n} = (3 (n + 1) - 2) - (3 n - 2) = 3$ . إذن $(u_{n})$ حسابية بأساس $r = 3$ .

III. المتتاليات الهندسية

تعريف

$(u_{n})$ هندسية بأساس $q$ (مع $q \neq = 0$ ) إذا كان: $\forall n \in N, u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$ .

صيغ يجب حفظها عن ظهر قلب

الحد العام: $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
الصيغة العامة: $u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$
المجموع (إذا كان $q \neq = 1$ ): $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$
المجموع (إذا كان $q = 1$ ): $S_{n} = (n + 1) u_{0}$

كيف نتعرف على متتالية هندسية؟

نحسب $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (بشرط أن $u_{n} \neq = 0$ ). إذا كان ثابتاً، فهي متتالية هندسية بأساس هذا الثابت.

مثال: $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ . إذن $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n + 1}}{5 \times 2 ^{n}} = 2$ . إذن $(u_{n})$ هندسية بأساس $q = 2$ .

IV. اتجاه تغير المتتالية

تعريف

$(u_{n})$ متزايدة إذا كان: $\forall n \in N, u_{n + 1} \geq u_{n}$
$(u_{n})$ متناقصة إذا كان: $\forall n \in N, u_{n + 1} \leq u_{n}$
$(u_{n})$ ثابتة إذا كان: $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n}$

3 طرق لدراسة اتجاه التغير

الطريقة 1: دراسة إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ . إذا كانت $> 0$ ← متزايدة. إذا كانت $< 0$ ← متناقصة.
الطريقة 2 (إذا كانت جميع $u_{n} > 0$ ): مقارنة $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ بـ 1. إذا كانت $> 1$ ← متزايدة. إذا كانت $< 1$ ← متناقصة.
الطريقة 3 (إذا كانت $u_{n} = f (n)$ صريحة): دراسة اتجاه تغير $f$ على $[0, + \infty [$ .

V. المتتاليات المحدودة من الأعلى، المحدودة من الأسفل، المحدودة

$(u_{n})$ محدودة من الأعلى بـ $M$ إذا كان: $\forall n \in N, u_{n} \leq M$
$(u_{n})$ محدودة من الأسفل بـ $m$ إذا كان: $\forall n \in N, u_{n} \geq m$
$(u_{n})$ محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأسفل معاً

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

نص كلاسيكي: لتكن $(u_{n})$ معرفة بـ $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .
1) احسب $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .
2) بين أن المتتالية $(v_{n})$ المعرفة بـ $v_{n} = u_{n} + 3$ هندسية.
3) استنتج تعبير $u_{n}$ بدلالة $n$ .

الحل:

1) $u_{1} = 2 \times 1 + 3 = 5$ ، $u_{2} = 2 \times 5 + 3 = 13$ ، $u_{3} = 2 \times 13 + 3 = 29$ .

2) $v_{n + 1} = u_{n + 1} + 3 = (2 u_{n} + 3) + 3 = 2 u_{n} + 6 = 2 (u_{n} + 3) = 2 v_{n}$ .
إذن $(v_{n})$ هندسية بأساس $q = 2$ ، و $v_{0} = u_{0} + 3 = 4$ .

3) $v_{n} = v_{0} \cdot q^{n} = 4 \cdot 2^{n} = 2^{n + 2}$ . إذن $u_{n} = v_{n} - 3 = 2^{n + 2} - 3$ .

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين المتتالية الحسابية والهندسية. الحسابية = نُضيف $r$ . الهندسية = نَضرب في $q$ .
نسيان شرط $q \neq = 0$ للمتتالية الهندسية (وإلا لن تكون متتالية هندسية بالمعنى الدقيق).
الخطأ في عد عدد الحدود في المجموع. $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ يحتوي على $n + 1$ حداً (وليس $n$ ).
نسيان التحقق من الحد الأول في برهان بالتراجع.
تطبيق صيغة $S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ مع $q = 1$ . القسمة على صفر! استخدم الحالة الخاصة $S_{n} = (n + 1) u_{0}$ .
الخلط بين $u_{n + 1}$ و $u_{n} + 1$ . الأول هو "الحد التالي"، والثاني هو "الحد الحالي زائد 1".

📈 Figure clé

Suite arithmétique

🔑 Formules clés à retenir

المتتالية الحسابية (أساس $r$ ، نُضيف):

$u_{n + 1} = u_{n} + r$
$u_{n} = u_{0} + n r$
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

المتتالية الهندسية (أساس $q$ ، نَضرب):

$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
$u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
$S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (إذا كان $q \neq = 1$ )

اتجاه التغير:

إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ ← متزايدة / متناقصة
إذا كان $u_{n} > 0$ ، نقارن $u_{n + 1} / u_{n}$ بـ 1

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 التعرف السريع: احسب $u_{1} - u_{0}$ و $u_{2} - u_{1}$ . إذا كانا متساويين ← حسابية. وإلا، جرب $u_{1} / u_{0}$ و $u_{2} / u_{1}$ . إذا كانا متساويين ← هندسية.
🎯 المتتالية المساعدة $v_{n}$ الهندسية: تقنية كلاسيكية في الباكالوريا. عندما $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ، نضع $v_{n} = u_{n} - ℓ$ حيث $ℓ$ هي النقطة الثابتة ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
🎯 احفظ صيغة مجموع المتتالية الهندسية: "1 ناقص q أس (n+1)" على "1 ناقص q". الفخ هو الأس $n + 1$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1 : حساب الحدود الأولى / توليد المتتالية

متى ؟ عندما تُعطى صيغة صريحة $u_{n} = f (n)$ أو صيغة تراجعية $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ويُطلب حساب حدود.

إذا كانت الصيغة صريحة : عوّض $n$ بالقيم المطلوبة مباشرة في $u_{n}$ .
إذا كانت تراجعية : انطلق من $u_{0}$ (أو $u_{1}$ ) المعطى واحسب تدريجياً $u_{1}$ ، $u_{2}$ ، إلخ.
كن دقيقاً بخصوص المؤشر الأول (رتبة الانطلاق).
قدّم النتائج العددية مبسّطة.

مثال سريع : $u_{0} = 2$ و $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ تعطي $u_{1} = 5$ ، $u_{2} = 14$ ، $u_{3} = 41$ .

النوع 2 : التعرف على متتالية حسابية أو هندسية

متى ؟ عندما نريد إثبات أن متتالية حسابية (أساسها $r$ ) أو هندسية (أساسها $q$ ).

بالنسبة للحسابية : احسب $u_{n + 1} - u_{n}$ وأثبت أنه ثابت $r$ .
بالنسبة للهندسية : احسب $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (حدود غير منعدمة) وأثبت أنه ثابت $q$ .
استنتج مع تحديد الأساس والحد الأول.
انتبه : فرق أو حاصل قسمة يتعلق بـ $n$ يعني أن المتتالية ليست حسابية ولا هندسية.

مثال سريع : $u_{n} = 5 \cdot 2^{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2$ ، متتالية هندسية أساسها $2$ وحدها الأول $5$ .

النوع 3 : التعبير عن الحد العام

متى ؟ عندما يُطلب $u_{n}$ بدلالة $n$ لمتتالية حسابية أو هندسية.

حدّد الحد الأول والأساس.
حسابية : $u_{n} = u_{0} + n r$ (أو $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ).
هندسية : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ (أو $u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$ ).
تحقق من صيغتك بإعادة حساب حد معروف.

مثال سريع : متتالية حسابية $u_{0} = 3$ ، $r = 2$ : $u_{n} = 3 + 2 n$ ، إذن $u_{10} = 23$ .

النوع 4 : حساب مجموع حدود متتالية

متى ؟ عندما يُطلب $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ لمتتالية حسابية أو هندسية.

احسب عدد الحدود $N$ في المجموع.
حسابية : $S = N \times \frac{( الحد الأول ) + ( الحد الأخير )}{2}$ .
هندسية (أساس $q \neq = 1$ ) : $S = (الحد الأول) \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ .
عوّض وبسّط.

مثال سريع : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

النوع 5 : دراسة رتابة متتالية

متى ؟ عندما يُطلب معرفة إذا كانت المتتالية متزايدة أو متناقصة أو ثابتة.

طريقة الفرق : ادرس إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ .
إذا كانت جميع الحدود موجبة قطعاً، يمكنك مقارنة $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ بـ $1$ .
إذا كان $u_{n} = f (n)$ ، يمكنك أيضاً دراسة اتجاه تغير $f$ على $[0; + \infty [$ .
استنتج : $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ لكل $n$ يعني متزايدة.

مثال سريع : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0$ ، متتالية متزايدة قطعاً.

النوع 6 : إثبات خاصية بالتراجع

متى ؟ عندما يُطلب إثبات أن خاصية $P (n)$ صحيحة لكل $n$ (حصر، صيغة، قابلية للقسمة).

التهيئة : تحقق من أن $P (n_{0})$ صحيحة عند الرتبة الأولى $n_{0}$ .
الانتقال : افترض أن $P (n)$ صحيحة لـ $n$ عام (فرضية التراجع).
أثبت حينئذ أن $P (n + 1)$ صحيحة باستعمال الفرضية.
الخلاصة : بالتراجع، $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$ .

مثال سريع : لإثبات $u_{n} > 0$ : إذا كان $u_{0} > 0$ و $u_{n + 1} = u_{n} + 1 > 0$ بمجرد أن $u_{n} > 0$ ، فإن $u_{n} > 0$ لكل $n$ .

النوع 7 : دراسة متتالية مساعدة $v_{n}$ للرجوع إلى متتالية معروفة

متى ؟ متتالية تراجعية من النوع $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ؛ نضع $v_{n} = u_{n} - ℓ$ لجعلها هندسية.

ابحث عن النقطة الثابتة $ℓ$ حل المعادلة $ℓ = a ℓ + b$ .
ضع $v_{n} = u_{n} - ℓ$ وأثبت أن $v_{n + 1} = a v_{n}$ : $(v_{n})$ هندسية أساسها $a$ .
عبّر عن $v_{n} = v_{0} \cdot a^{n}$ ، ثم ارجع إلى $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .
تحصل هكذا على الصيغة الصريحة لـ $u_{n}$ .

مثال سريع : $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ نقطتها الثابتة $ℓ = 3$ ؛ $v_{n} = u_{n} - 3$ تحقق $v_{n + 1} = 2 v_{n}$ ، ومنه $u_{n} = v_{0} \cdot 2^{n} + 3$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Suite arithmétique

Facile

Énoncé

لتكن

(u_{n})

متتالية حسابية حدها الأول

u_{0} = 5

وأساسها

r = 3

. احسب

u_{10}

والمجموع

S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}

Ma réponse

Suites numériques

Suites numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف المتتالية العددية

تعريف

طريقتا تعريف المتتالية

II. المتتاليات الحسابية

تعريف

صيغ يجب حفظها عن ظهر قلب

كيف نتعرف على متتالية حسابية؟

III. المتتاليات الهندسية

تعريف

صيغ يجب حفظها عن ظهر قلب

كيف نتعرف على متتالية هندسية؟

IV. اتجاه تغير المتتالية

تعريف

3 طرق لدراسة اتجاه التغير

V. المتتاليات المحدودة من الأعلى، المحدودة من الأسفل، المحدودة

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1 : حساب الحدود الأولى / توليد المتتالية

النوع 2 : التعرف على متتالية حسابية أو هندسية

النوع 3 : التعبير عن الحد العام

النوع 4 : حساب مجموع حدود متتالية

النوع 5 : دراسة رتابة متتالية

النوع 6 : إثبات خاصية بالتراجع

النوع 7 : دراسة متتالية مساعدة vn​ للرجوع إلى متتالية معروفة

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Suite arithmétique

Suite géométrique : terme général

Reconnaître arithmétique/géométrique

Calcul de termes

Recherche de la raison

Somme géométrique

Somme d'une suite arithmétique

Exercices Intermédiaires

Démontrer qu'une suite est arithmétique

Comparaison croissance arith vs géo

Sens de variation

Application : épargne mensuelle

Suite géométrique

Variation d'une suite

Problème concret (épargne)

Exercices Difficiles

Application : intérêts composés vs simples

Suite récurrente : encadrement

Suite auxiliaire géométrique

Suite arithmético-géométrique

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Suites numériques

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

النوع 7 : دراسة متتالية مساعدة $v_{n}$ للرجوع إلى متتالية معروفة