Barycentre — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. مرجح نقطتين مثقلتين

تعريف

لتكن A و B نقطتين من المستوى و α و β عددين حقيقيين بحيث $α + β \neq = 0$ . مرجح النقطتين المثقلتين (A ; α) و (B ; β) هو النقطة الوحيدة G التي تحقق ما يلي:

$α \cdot G A + β \cdot GB = 0$

نرمز له بـ G = bar{(A, α) ; (B, β)}.

صيغة المتجهة الموضعية

لكل نقطة M من المستوى:

$(α + β) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B$

وبصفة خاصة، بأخذ M = A : $A G = \frac{β}{α + β} \cdot A B$ .

حالة خاصة: المرجح المتساوي

إذا كان $α = β$ ، فإن G هي منتصف [AB] : G = bar{(A,1); (B,1)}.

II. خاصيات أساسية

التجانس

لكل $k \in R^{*}$ , bar{(A, kα) ; (B, kβ)} = bar{(A, α) ; (B, β)}.

يمكننا دائماً أن نرجع إلى معاملات مجموعها 1 (إحداثيات مرجحية معيارية).

الانتماء إلى المستقيم (AB)

مرجح G للنقطتين (A, α) و (B, β) (مع $α + β \neq = 0$ ) ينتمي إلى المستقيم (AB). وبشكل أدق:

$G \in [A B] \Leftrightarrow$ α و β لهما نفس الإشارة.
$G \in / [A B]$ (خارج [AB]) $\Leftrightarrow$ α و β لهما إشارتان متضادتان.

III. مرجح ثلاث نقط مثقلة

تعريف

لتكن A, B, C و α, β, γ بحيث $α + β + γ \neq = 0$ . مرجح G للنقط (A, α), (B, β), (C, γ) هو النقطة الوحيدة التي تحقق ما يلي:

$α \cdot G A + β \cdot GB + γ \cdot GC = 0$

لكل M : $(α + β + γ) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B + γ \cdot M C$ .

IV. مبرهنة التجميع

تجميعية المرجح

إذا كان G = bar{(A, α), (B, β), (C, γ)} مع $α + β + γ \neq = 0$ و $α + β \neq = 0$ , وإذا كان H = bar{(A, α), (B, β)}, فإن:

G = bar{(H, $α + β$ ) ; (C, γ)}

نستبدل نقطتين بمرجحهما الجزئي مرفقاً بمجموع معاملاتهما.

تطبيق: مركز الثقل

مركز ثقل G للمثلث ABC هو المرجح المتساوي للرؤوس الثلاثة: G = bar{(A,1),(B,1),(C,1)}.

باستخدام التجميعية مع A' منتصف [BC] : G = bar{(A, 1), (A', 2)}, إذن $A G = \frac{2}{3} \cdot A A^{'}$ . نجد أن G تقع على ثلثي كل متوسط انطلاقاً من الرأس.

V. إحداثيات المرجح

الصيغة الديكارتية

في معلم، إذا كانت A( $x_{A}$ , $y_{A}$ ), B( $x_{B}$ , $y_{B}$ ), C( $x_{C}$ , $y_{C}$ ), فإن G = bar{(A,α),(B,β),(C,γ)} إحداثياتها هي:

$x_{G} = \frac{α \cdot x _{A} + β \cdot x _{B} + γ \cdot x _{C}}{α + β + γ}$

$y_{G} = \frac{α \cdot y _{A} + β \cdot y _{B} + γ \cdot y _{C}}{α + β + γ}$

VI. استقامية وتلاقي

معيار الاستقامية

تكون ثلاث نقط A, B, C مستقيمية $\Leftrightarrow$ يوجد α, β, γ ليست كلها منعدمة بحيث $α + β + γ = 0$ و $α \cdot A + β \cdot B + γ \cdot C = 0$ (كتابة تآلفية).

الأكثر فائدة: إذا كان M = bar{(A, α), (B, β)} و N = bar{(A, α'), (C, γ')}, يمكننا استخدام التجميعية لإثبات استقامية M, N و مرجح ثالث.

تلاقي المستقيمات

لإظهار أن ثلاثة مستقيمات متلاقية، يمكننا البحث عن نقطة مشتركة كمرجح للنقط التي تحدد كل منها.

VII. خطوط المستوى مع $M A^{2}$ و $M B^{2}$

الصيغة الأساسية (التبسيط)

لتكن A, B, G منتصف [AB]. لكل M :

$M A^{2} + M B^{2} = 2 \cdot M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ (حيث I هي المنتصف)

$M A^{2} - M B^{2} = 2 \cdot M I \cdot B A$

خط المستوى { M : $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ }

إذا كان $α + β \neq = 0$ , نضع G = bar{(A,α),(B,β)}. إذن:

$α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = (α + β) \cdot M G^{2} + α \cdot G A^{2} + β \cdot G B^{2}$

خط المستوى هو إذن دائرة مركزها G (أو المجموعة الفارغة، أو نقطة).

إذا كان $α + β = 0$ , فإنه يؤول إلى $M A \cdot u = k$ : وهو مستقيم عمودي على (AB).

VIII. خط المستوى MA/MB = k

دائرة أبولونيوس

مجموعة النقط M بحيث $\frac{M A}{M B} = k$ (k > 0, k ≠ 1) هي دائرة قطرها [IJ] حيث:

I = bar{(A, 1), (B, k)} (داخل القطعة)
J = bar{(A, 1), (B, −k)} (خارج القطعة)

إذا كان k = 1 : فهي الواسط لـ [AB].

📈 Figure clé

Barycentre

G

(A, 2)

(B, 3)

🔑 Formules clés à retenir

تعريف: $α \cdot G A + β \cdot GB = 0$ ( $α + β \neq = 0$ )
الصيغة الأساسية: $(α + β) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B$
التجانس: $bar {(A, k α), (B, k β)} = bar {(A, α), (B, β)}$
التجميعية: تجميع نقطتين في مرجحهما الجزئي
الإحداثيات: $x_{G} = \frac{\sum α _{i} x _{i}}{\sum α _{i}}$
المرجح المتساوي الأوزان لمثلث: مركز الثقل، عند $\frac{2}{3}$ من المتوسطات
$α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ : تبسيط باستعمال G $\Rightarrow$ دائرة (أو مستقيم إذا كان $α + β = 0$ )
$\frac{M A}{M B} = k \neq = 1$ : دائرة Apollonius

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

المرجح ومجموع المعاملات المنعدم: إذا كان $α + β = 0$ ، فإن المرجح غير معرف كنقطة! في هذه الحالة، مجموعة النقط M بحيث $α \cdot M A + β \cdot M B = 0$ هي مستقيم عمودي على (AB).

❌

إحداثيات المرجح: $x_{G} = \frac{Σ α _{i} x _{i}}{Σ α _{i}}$ . لا تنسَ القسمة على مجموع المعاملات! إذا كان $Σ α_{i} = 5$ و $Σ α_{i} x_{i} = 10$ ، فإن $x_{G} = 2$ .

❌

المرجح المتساوي لا يساوي المنتصف: المرجح المتساوي لثلاث نقط A و B و C هو مركز ثقل المثلث، وليس منتصف أحد الأضلاع.

🟢 نصائح احترافية

✅

الخاصية التجميعية للتبسيط: لإيجاد $G = bar {(A, 2), (B, 3), (C, 5)}$ ، ابدأ بـ $I = bar {(A, 2), (B, 3)}$ (بوزن 5)، ثم $G = bar {(I, 5), (C, 5)} = منتصف [I C]$ .

✅

تبسيط $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2}$ : عبّر عن كل شيء بدلالة $G = bar {(A, α), (B, β)}$ للحصول على $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = (α + β) \cdot M G^{2} + ثابت$ . هذه هي معادلة دائرة!

💡

طريقة المتجهات لإيجاد G: ضع $G A = A - G$ ، $GB = B - G$ ، ثم حل $α \cdot G A + β \cdot GB = 0$ بالإحداثيات. هذه هي الطريقة الأكثر مباشرة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المركز الثقلي

النوع 1: إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

متى؟ يُعطى لك $G = bar {(A, α), (B, β)}$ مع $α + β \neq = 0$ ويُطلب تحديد موضعه.

تحقق من أن $α + β \neq = 0$ (شرط الوجود).
اكتب العلاقة الشعاعية المختزلة: $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
احسب المعامل $\frac{β}{α + β}$ وضع $G$ على المستقيم $(A B)$ .
استنتج: $G \in (A B)$ ، في جهة $B$ إذا كان المعامل $> 0$ .

مثال سريع: $G = bar {(A, 2), (B, 1)}$ يعطي $A G = \frac{1}{3} A B$ .

النوع 2: استخدام الخاصية الأساسية

متى؟ نريد التعبير عن $α M A + β M B$ لنقطة $M$ أي كانت.

حدد المركز الثقلي $G = bar {(A, α), (B, β)}$ .
طبق الخاصية: $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
عوض في التعبير الأصلي لتبسيطه.
إذا كان $α + β = 0$ ، فإن الشعاع $α M A + β M B$ ثابت (مستقل عن $M$ ).

مثال سريع: $3 M A + M B = 4 M G$ مع $G = bar {(A, 3), (B, 1)}$ .

النوع 3: حساب إحداثيات مركز ثقلي

متى؟ نعرف إحداثيات $A, B, C$ ومعاملاتها في معلم.

تحقق من أن مجموع المعاملات $α + β + γ \neq = 0$ .
طبق الصيغة: $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B} + γ x _{C}}{α + β + γ}$ .
افعل المثل بالنسبة لـ $y_{G}$ (و $z_{G}$ في الفضاء).
اكتب الإحداثيات النهائية لـ $G$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}$ ، $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ (مركز الثقل).

النوع 4: استخدام خاصية التجميع للمركز الثقلي

متى؟ لدينا مركز ثقلي لـ 3 نقاط ونريد إرجاعه إلى مركز ثقلي لنقطتين.

اجمع نقطتين، مثلاً $A$ و $B$ ، واحسب $H = bar {(A, α), (B, β)}$ .
أعط لـ $H$ المعامل $α + β$ .
استنتج: $G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$ .
استخدم هذا التجميع لإنشاء $G$ أو إثبات استقامة.

مثال سريع: $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)} = bar {(I, 2), (C, 2)}$ مع $I$ منتصف $[A B]$ ، إذن $G$ منتصف $[I C]$ .

النوع 5: إثبات استقامة أو تقاطع

متى؟ يُطلب إثبات أن ثلاث نقاط مستقيمة أو أن مستقيمات متقاطعة.

عبر عن النقطة الأساسية كمركز ثقلي للنقاط المعطاة.
بخاصية التجميع، أظهر أنها مركز ثقلي لنقطتين من النقاط: إذن تنتمي إلى مستقيمهما.
كرر لإظهار الانتماء إلى مستقيم آخر (تقاطع).
استنتج الاستقامة أو التقاطع.

مثال سريع: مركز الثقل $G$ هو مركز ثقلي لـ $A$ ومنتصف $[B C]$ ، إذن $G$ على الوسيط الصادر من $A$ .

النوع 6: تحديد خط مستوى (مجموعة نقاط)

متى؟ نبحث عن مجموعة النقاط $M$ التي تحقق $∥ α M A + β M B ∥ = k$ أو ما شابه.

اختزل المجموع الشعاعي بفضل المركز الثقلي $G$ : $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
تصبح المعادلة $∣ α + β ∣ \cdot M G = k$ ، أي $M G = \frac{k}{∣ α + β ∣}$ .
تعرف على المجموعة: دائرة مركزها $G$ ونصف قطرها $\frac{k}{∣ α + β ∣}$ (إذا كان $k > 0$ ).
ناقش حسب إشارة $k$ : نقطة، دائرة أو مجموعة فارغة.

مثال سريع: $∥ M A + M B ∥ = 4$ يكافئ $2 M I = 4$ ، أي $M I = 2$ : دائرة مركزها $I$ (المنتصف) ونصف قطرها $2$ .

النوع 7: تطبيق على المراكز الثقلية الجزئية في الهندسة

متى؟ نريد تحديد موضع نقطة معرفة بعلاقة من نوع $A M = t A B$ كمركز ثقلي.

حول $A M = t A B$ إلى علاقة مركز ثقلي.
حدد: $M = bar {(A, 1 - t), (B, t)}$ .
تحقق بإعادة حساب $A M$ بالصيغة المختزلة.
استخدم هذه الكتابة للدمج مع نقاط أخرى.

مثال سريع: إذا كان $A M = \frac{2}{5} A B$ فإن $M = bar {(A, 3), (B, 2)}$ .

Barycentre — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

61 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 61 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

إنشاء مرجح

Facile

Énoncé

ليكن A و B نقطتين متمايزتين. أنشئ في كل حالة المرجح G :

G = bar{(A, 1), (B, 1)}
G = bar{(A, 2), (B, 1)}
G = bar{(A, 1), (B, 3)}
G = bar{(A, 3), (B, −1)}

Ma réponse

Barycentre

Barycentre — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. مرجح نقطتين مثقلتين

تعريف

صيغة المتجهة الموضعية

حالة خاصة: المرجح المتساوي

II. خاصيات أساسية

التجانس

الانتماء إلى المستقيم (AB)

III. مرجح ثلاث نقط مثقلة

تعريف

IV. مبرهنة التجميع

تجميعية المرجح

تطبيق: مركز الثقل

V. إحداثيات المرجح

الصيغة الديكارتية

VI. استقامية وتلاقي

معيار الاستقامية

تلاقي المستقيمات

VII. خطوط المستوى مع MA2 و MB2

الصيغة الأساسية (التبسيط)

خط المستوى { M : α⋅MA2+β⋅MB2=k }

VIII. خط المستوى MA/MB = k

دائرة أبولونيوس

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — المركز الثقلي

النوع 1: إنشاء المركز الثقلي لنقطتين

النوع 2: استخدام الخاصية الأساسية

النوع 3: حساب إحداثيات مركز ثقلي

النوع 4: استخدام خاصية التجميع للمركز الثقلي

النوع 5: إثبات استقامة أو تقاطع

النوع 6: تحديد خط مستوى (مجموعة نقاط)

النوع 7: تطبيق على المراكز الثقلية الجزئية في الهندسة

Barycentre — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

إنشاء مرجح

إحداثيات المرجح

تبسيط مجموع متجهي

متوسطات مثلث

حساب إحداثيات مرجح نقطتين

مركز ثقل مثلث

Déterminer les coefficients d'un barycentre

Échanger un point et son barycentre

Coordonnées d'un barycentre dans un repère

Construire un barycentre de trois points

Déterminer les coefficients du barycentre

نص التمرين

Permutation des coefficients et milieu

نص التمرين

Construction de deux barycentres et vecteur reliant

نص التمرين

Coordonnées d'un barycentre

نص التمرين

مرجح نقطتين

مرجح نقطتين

مرجح ومنتصف

مرجح ومنتصفات

مرجح نقطتين

المرجح والوضع النسبي

المرجح بمعاملات متساوية

المرجح بإشارات مختلفة

مرجح ثلاث نقط

المرجح والأوزان المختلفة

مرجح نقطتين

مرجح ثلاث نقط

Exercices Intermédiaires

الاستقامة و المرجح

مجموعة النقط MA² + MB² = k

خط المستوى مع ثلاث نقاط

مجموعة النقط MA² − MB² = k

مرجح ثلاث نقط والانتماء إلى [AB]

تبسيط نظام بمركز الأبعاد المتناسبة الجزئي

VII. خطوط المستوى مع $M A^{2}$ و $M B^{2}$

خط المستوى { M : $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ }