Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. العدد المشتق والمماس

تعريف

لتكن f دالة معرفة على مجال I و $a \in I$ . نقول إن f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

تسمى هذه النهاية العدد المشتق للدالة f في a.

تأويل هندسي

إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a، فإن المنحنى $C_{f}$ يقبل في النقطة A(a ; f(a)) مماسا معادلته:

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

$f^{'} (a)$ هو المعامل الموجه لهذا المماس.

الاشتقاقية والاتصال

إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a، فإن f متصلة في a. العكس خاطئ (مثال: الدالة $x \mapsto ∣ x ∣$ متصلة في 0 ولكنها غير قابلة للاشتقاق).

II. الاشتقاق على اليمين / على اليسار

تعاريف

$f_{d}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
$f_{g}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

f قابلة للاشتقاق في a $\Leftrightarrow$ $f_{d}^{'} (a)$ و $f_{g}^{'} (a)$ موجودان و متساويان.

مثال: الدالة $f (x) = ∣ x ∣$ في 0. $f_{d}^{'} (0) = 1$ و $f_{g}^{'} (0) = - 1$ $\Rightarrow$ f غير قابلة للاشتقاق في 0. المنحنى يقبل نقطة مزواة.

III. مشتقات الدوال الاعتيادية

جدول يجب معرفته

$f (x)$	$f^{'} (x)$	مجال الاشتقاق
k (ثابتة)	0	$R$
x	1	$R$
$x^{n}$ (n $\in$ $N^{*}$ )	$n \cdot x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$\frac{1}{x ^{n}}$	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin (x)$	$cos (x)$	$R$
$cos (x)$	$- sin (x)$	$R$
$tan (x)$	$1 + tan^{2} (x) = \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}$	$R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$

IV. العمليات على المشتقات

قواعد الحساب

لتكن u و v دالتين قابلتين للاشتقاق على I، و $λ \in R$ .

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(λ \cdot u)^{'} = λ \cdot u^{'}$
$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ (إذا كان $v \neq = 0$ )
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ (إذا كان $v \neq = 0$ )
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{'} \cdot u^{n - 1}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (إذا كان $u > 0$ )

مشتقة دالة مركبة

لتكن g قابلة للاشتقاق في f(a) و f قابلة للاشتقاق في a. إذن $g \circ f$ قابلة للاشتقاق في a و:

$(g \circ f)^{'} (a) = g^{'} (f (a)) \cdot f^{'} (a)$

حالات خاصة:

$(sin (u))^{'} = u^{'} \cdot cos (u)$ $(cos (u))^{'} = - u^{'} \cdot sin (u)$
$(tan (u))^{'} = u^{'} \cdot (1 + tan^{2} (u)) = \frac{u ^{'}}{c o s ^{2} ( u )}$

V. المشتقة ورتابة دالة

مبرهنة أساسية

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I.

$f^{'} \geq 0$ على I $\Leftrightarrow$ f تزايدية على I
$f^{'} \leq 0$ على I $\Leftrightarrow$ f تناقصية على I
$f^{'} = 0$ على I $\Leftrightarrow$ f ثابتة على I
$f^{'} > 0$ على I (باستثناء نقط معزولة) $\Rightarrow$ f تزايدية قطعا على I

دراسة تغيرات دالة

حساب $f^{'} (x)$ .
دراسة إشارة $f^{'} (x)$ (التعميل، دراسة المميز، إلخ).
إنشاء جدول التغيرات مع تحديد النهايات عند حدود المجال.
استنتاج القيم القصوى الممكنة.

VI. القيم القصوى المحلية

شرط ضروري

إذا كانت f تقبل قيمة قصوى محلية في a (a نقطة داخلية من I) وكانت f قابلة للاشتقاق في a، فإن $f^{'} (a) = 0$ .

العكس خاطئ: الدالة $f (x) = x^{3}$ لها $f^{'} (0) = 0$ دون أن تكون 0 قيمة قصوى.

شرط كاف (تغير الإشارة)

إذا غيرت $f^{'} (x)$ إشارتها في a:

+ ثم − $\Rightarrow$ قيمة قصوى كبرى محلية في a
− ثم + $\Rightarrow$ قيمة قصوى صغرى محلية في a

VII. المشتقات من الرتب العليا

$f^{''} = (f^{'})^{'}$ : المشتقة الثانية
$f^{''} > 0$ على I $\Rightarrow$ f محدبة (المنحنى موجه نحو الأعلى)
$f^{''} < 0$ على I $\Rightarrow$ f مقعرة (المنحنى موجه نحو الأسفل)
نقطة الانعطاف هي نقطة تنعدم فيها $f^{''}$ مع تغيير إشارتها

VIII. التقريب التآلفي (المماس)

النشر من الرتبة الأولى

إذا كانت f قابلة للاشتقاق في a، فإنه بجوار a:

$f (a + h) \approx f (a) + h \cdot f^{'} (a)$

من أجل h صغير. المنحنى يكون قريبا من مماسه بجوار نقطة التماس.

📈 Figure clé

Tangente à

f (x) = x^{2}

au point d’abscisse

1

(pente

f^{'} (1) = 2

)

🔑 Formules clés à retenir

العدد المشتق : $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
المماس : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$
المشتقات الاعتيادية : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ · $(1/ x)^{'} = - 1/ x^{2}$ · $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ · $(sin)^{'} = cos$ · $(cos)^{'} = - sin$
العمليات على المشتقات : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ · $(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ · $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$
مشتقة دالة مركبة : $(g \circ f)^{'} = f^{'} \cdot (g^{'} \circ f)$
تغيرات الدالة : $f^{'} \geq 0 \Leftrightarrow f$ تزايدية · $f^{'} \leq 0 \Leftrightarrow f$ تناقصية
القيم القصوى المحلية : $f^{'} (a) = 0$ وتغير إشارة $f^{'}$
قابلية الاشتقاق $\Rightarrow$ الاتصال (العكس غير صحيح)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

f'(a) = 0 ≠ قيمة قصوى: f'(a) = 0 هو شرط ضروري ولكنه غير كافٍ لوجود قيمة قصوى. يجب التحقق من تغير إشارة f'. مثال: الدالة f(x) = x³ لها f'(0) = 0 ولكن 0 هي نقطة انعطاف، وليست قيمة قصوى.

❌

مشتقة u/v: (u/v)' = (u'v − uv')/v². الترتيب مهم! "مشتقة u في v ناقص u في مشتقة v" — وليس العكس. خطأ في الترتيب يغير الإشارة.

❌

قابلية الاشتقاق ≠ الاتصال: قابلة للاشتقاق ⇒ متصلة، ولكن متصلة ⇒ ليست بالضرورة قابلة للاشتقاق. الدالة القيمة المطلقة f(x) = |x| متصلة عند 0 ولكنها غير قابلة للاشتقاق.

🟢 نصائح احترافية

✅

معادلة المماس عند a: y = f'(a)(x − a) + f(a). احسب دائمًا f(a) و f'(a) أولاً، ثم عوض.

✅

مشتقة دالة مركبة f(g(x)): = g'(x) · f'(g(x)). "مشتقة الدالة الخارجية × مشتقة الدالة الداخلية". مثال: (sin(x²))' = 2x·cos(x²).

💡

جدول التغيرات: إشارة f' تعطي اتجاه التغير. ضع f'(x) = 0، ادرس إشارة f' على كل مجال، ثم استنتج التغيرات والقيم القصوى المحلية.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بالتعريف

متى؟ «أثبت أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x_{0}$ » أو «احسب $f^{'} (x_{0})$ بالتعريف (معدل التزايد)».

اكتب معدل التزايد $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ (أو $\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ ).
بسّط: حلّل بإخراج $(x - x_{0})$ أو استعمل الكمية المرافقة إذا كان هناك جذر.
احسب النهاية عندما $x \to x_{0}$ (أو $h \to 0$ ).
إذا كانت النهاية منتهية، فهي $f^{'} (x_{0})$ و $f$ قابلة للاشتقاق عند $x_{0}$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ : $x \to x_{0} lim \frac{x ^{2} - x _{0}^{2}}{x - x _{0}} = x \to x_{0} lim (x + x_{0}) = 2 x_{0}$ ، إذن $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$ .

النوع 2: حساب مشتقة باستعمال الصيغ المعتادة

متى؟ يُطلب $f^{'} (x)$ لتعبير جبري (مجموع، جداء، خارج قسمة، قوة).

احفظ: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ، $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ ، $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ ، $(sin x)^{'} = cos x$ ، $(cos x)^{'} = - sin x$ .
طبّق القواعد: $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ ، $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ، $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
حدّد $u$ ، $v$ ، احسب $u^{'}$ ، $v^{'}$ على حدة، ثم اجمع.
اختزل وحدّد مجال القابلية للاشتقاق.

مثال سريع: $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ : $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

النوع 3: اشتقاق دالة مركبة

متى؟ وجود «دالة داخل دالة»: $u$ ، $u^{n}$ ، $sin (u)$ ، $cos (u)$ .

حدّد الدالة الداخلية $u (x)$ واحسب $u^{'} (x)$ .
طبّق الصيغة المناسبة: $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ ، $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ، $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ ، $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ .
عوّض $u$ و $u^{'}$ بتعبيريهما، ثم بسّط.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} + 1$ : $u = x^{2} + 1$ ، $u^{'} = 2 x$ ، إذن $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

النوع 4: معادلة المماس

متى؟ «حدّد معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $C_{f}$ عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ ».

احسب $f (x_{0})$ (إحداثية نقطة التماس).
احسب $f^{'} (x)$ ثم $f^{'} (x_{0})$ (المعامل الموجّه).
اكتب الصيغة: $(T) : y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .
انشر واختزل للحصول على $y = a x + b$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ عند $x_{0} = 1$ : $f (1) = 1$ ، $f^{'} (x) = 2 x$ ، $f^{'} (1) = 2$ ، إذن $(T) : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

النوع 5: دراسة التغيرات باستعمال المشتقة

متى؟ «ادرس تغيرات $f$ » أو «أنشئ جدول التغيرات».

احسب $f^{'} (x)$ وحدّد مجالها.
ادرس إشارة $f^{'} (x)$ (حلّ $f^{'} (x) = 0$ ، ثم جدول الإشارات).
طبّق القاعدة: $f^{'} > 0 \Rightarrow f$ متزايدة؛ $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ متناقصة.
أنشئ جدول التغيرات بتسجيل إشارة $f^{'}$ والأسهم.

مثال سريع: $f (x) = x^{2} - 2 x$ : $f^{'} (x) = 2 x - 2$ ، $f^{'} (x) > 0$ من أجل $x > 1$ . $f$ تتناقص على $] - \infty; 1]$ ، تتزايد على $[1; + \infty [$ .

النوع 6: تحديد القيم الحدية

متى؟ «أثبت أن $f$ تقبل قيمة حدية» أو «أوجد القيمة العظمى / الصغرى لـ $f$ ».

حلّ $f^{'} (x) = 0$ لإيجاد النقط الحرجة $x_{0}$ .
ادرس تغيّر إشارة $f^{'}$ حول $x_{0}$ .
إذا انتقلت $f^{'}$ من $+$ إلى $-$ : قيمة عظمى محلية عند $x_{0}$ ؛ من $-$ إلى $+$ : قيمة صغرى محلية.
احسب قيمة القيمة الحدية $f (x_{0})$ واستنتج.

مثال سريع: $f (x) = - x^{2} + 4 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0$ عند $x = 2$ ، $f^{'}$ تنتقل من $+$ إلى $-$ : قيمة عظمى $f (2) = 4$ .

النوع 7: دراسة القابلية للاشتقاق في نقطة (من اليسار / من اليمين)

متى؟ دالة معرّفة بفترات، وجود أو قيمة مطلقة؛ «هل $f$ قابلة للاشتقاق عند $x_{0}$ ؟».

احسب العدد المشتق من اليسار: $f_{g}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0}^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ .
احسب العدد المشتق من اليمين: $f_{d}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ .
إذا كان $f_{g}^{'} (x_{0}) = f_{d}^{'} (x_{0})$ (ومنتهٍ): $f$ قابلة للاشتقاق عند $x_{0}$ . وإلا، لا (نقطة زاوية).
إذا كانت إحدى النهايتين غير منتهية: مماس شاقولي عند هذه النقطة.

مثال سريع: $f (x) = ∣ x ∣$ عند $0$ : $f_{g}^{'} (0) = - 1$ و $f_{d}^{'} (0) = 1$ ؛ $- 1 \neq = 1$ إذن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $0$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

68 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 68 corrigés

Exercices Faciles

24 exercices

احسب مشتقة (دوال اعتيادية)

Facile

Énoncé

احسب المشتقة لكل دالة من الدوال التالية:

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7$
$g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$
$h (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
$k (x) = 3 x + 4$
$m (x) = sin (2 x) + cos (x)$

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

Dérivation — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. العدد المشتق والمماس

تعريف

تأويل هندسي

الاشتقاقية والاتصال

II. الاشتقاق على اليمين / على اليسار

تعاريف

III. مشتقات الدوال الاعتيادية

جدول يجب معرفته

IV. العمليات على المشتقات

قواعد الحساب

مشتقة دالة مركبة

V. المشتقة ورتابة دالة

مبرهنة أساسية

دراسة تغيرات دالة

VI. القيم القصوى المحلية

شرط ضروري

شرط كاف (تغير الإشارة)

VII. المشتقات من الرتب العليا

VIII. التقريب التآلفي (المماس)

النشر من الرتبة الأولى

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الاشتقاق

النوع 1: حساب العدد المشتق بالتعريف

النوع 2: حساب مشتقة باستعمال الصيغ المعتادة

النوع 3: اشتقاق دالة مركبة

النوع 4: معادلة المماس

النوع 5: دراسة التغيرات باستعمال المشتقة

النوع 6: تحديد القيم الحدية

النوع 7: دراسة القابلية للاشتقاق في نقطة (من اليسار / من اليمين)

Dérivation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

احسب مشتقة (دوال اعتيادية)

معادلة المماس

دراسة تغيرات الدالة

مشتقة الدوال المركبة البسيطة

مشتقة جداء دالتين

معادلة المماس في نقطة

Calcul de dérivées de fonctions usuelles

Variations d'une fonction polynôme de degré 3

Variations et tableau d'un polynôme du troisième degré

حساب مشتقة دالة حدودية

مشتقة دالة ثابتة

مشتقة دالة كسرية بسيطة

مشتقة دالة أسية

حساب العدد المشتق

مماس المنحنى

مشتقة دالة ثابتة

مماس منحنى

مشتقة دالة حدودية

حساب العدد المشتق

مشتقة دالة ثابتة

مماس منحنى

مشتقة دالة ثابتة

مشتقة دالة تآلفية

مشتقة دالة خطية

Exercices Intermédiaires

الاشتقاق في نقطة

دراسة شاملة لدالة كسرية

مماس مواز أو عمودي

مسألة استمثال

مشتقة دالة مركبة : (2x−1)⁵

دراسة تغيرات f(x) = x³ − 3x

Dérivabilité d'une fonction prolongée et tangente

Dérivabilité à gauche et à droite en un point de raccordement

Étude complète d'une fonction avec racine carrée

Calcul de limites à l'aide du nombre dérivé

Dérivabilité en un point, tangente et approximation affine

Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction définie par morceaux

Calcul de dérivées (produit, quotient, racine, puissance)

Dérivabilité à droite de 0 et variations de $x-2\sqrt{x}$