لتكن $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$ المعرفة على $]0,+\infty [$.

1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس تغيرات الدالة $f$.
3. استنتج أنه لكل $x>0$ : $\ln (x)\le \frac{x}{e}$.
4. بين أن المعادلة $\ln (x)=\frac{x}{100}$ تقبل حلين بالضبط.

لتكن $f(x)=x-\ln (x)$ معرفة على $]0,+\infty [$.

1. احسب نهايات $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس تغيراتها وحدد القيمة الصغرى لـ $f$.
3. استنتج أنه من أجل كل $x>0$ : $\ln (x)\le x-1$.
4. حل المتراجحة $\ln (x+1)>2x-3$ على $]-1,+\infty [$. (نقبل أن هناك نقطة تقاطع وحيدة $\alpha \approx 1.79$.)

لتكن $f$ الدالة المعرفة على المجال $]0,+\infty [$ بما يلي: $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$.

1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول تغيرات الدالة $f$.
3. بين أن الدالة $f$ تقبل قيمة قصوى. أعط هذه القيمة.
4. ادرس تقعر الدالة $f$ (احسب $f^{\prime \prime }(x)$).
5. حل المتراجحة $f(x)\ge 0$. استنتج حلول المتراجحة $\ln (x)\ge x\cdot \ln (x)$ على المجال $]0,+\infty [$.

لتكن الدالة $h(x)=x-1-\ln (x)$ المعرفة على المجال $]0,+\infty [$.

1. بين أن $h(x)\ge 0$ لكل $x>0$، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x=1$. استنتج المتراجحة: $\ln (x)\le x-1$ لكل $x>0$.
2. بوضع $x=1/t$ ($t>0$)، بين أن: $1-\frac{1}{t}\le \ln (t)\le t-1$
3. استنتج أن: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$
4. تطبيق: بين أنه لكل $n\ge 1$: $\frac{1}{n+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}$
5. استنتج التأطير التالي: $\ln (2)\le \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n)\le \ln (2)+1$ لكل $n\ge 1$.

لتكن $f$ دالة معرفة بما يلي: $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. حدد مجموعة تعريف الدالة $D_f$.
2. بين أن $f$ دالة زوجية.
3. احسب نهايات الدالة $f$ عند $+\infty$ وادرس تغيراتها.
4. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها على المجال $[0,+\infty [$.
5. ضع جدول تغيرات الدالة على $\mathbb{R}$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x^2-3x+2$.

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=0$.

2. أعط نفي القضية $P:(\forall (a,b)\in {\mathbb{R}}^2);[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b]$.

3. استنتج أن $P$ خاطئة.

4. احسب $f(1)$ و $f(-1)$، ثم بين أن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

حدد مجموعة تعريف كل من الدوال التالية.

1. $f(x)=x^4-5x-2$

2. $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4}$

3. $f(x)=\sqrt{6-2x}$

4. $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$

5. $f(x)=\sqrt{x^2-5x}$

1. ليكن $x,y\in \mathbb{R}$. أثبت أن: $x^2+y^2=2xy\Rightarrow x=y$.

2. ليكن $x,y\in \mathbb{R}$. أثبت أن: $1+xy-x-y=0\Rightarrow (x=1\text{ou}y=1)$.

3. أثبت أنه إذا كان $m$ و $n$ عددين طبيعيين فرديين، فإن $m+n$ زوجي.

1. ليكن $n\in \mathbb{N}$. أثبت أن $n^2+n+1$ فردي (استعمل الحالتين $n=2k$ و $n=2k+1$).

2. ليكن $n\in \mathbb{N}$. أثبت أن $n(n+1)(n+2)$ من مضاعفات $3$ (استعمل $n=3k$، $n=3k+1$، $n=3k+2$).

3. أثبت أن $(\forall x\in \mathbb{R});\sqrt{x^2+1}-x>0$ (استعمل الحالتين $x<0$ و $x\ge 0$).

1. ليكن $y\in \mathbb{R}$ و $x\in {\mathbb{R}}^{+}$. أثبت:
   a) $(y\ne 2\text{et}y\ne -2)\Rightarrow 2y^2-8\ne 0$ ;
   b) $x\ne 0\Rightarrow \sqrt{x+1}\ne 1+\frac{x}{2}$.

2. ليكن $n\in \mathbb{N}$. أثبت أنه إذا كان $n^2$ زوجيا، فإن $n$ زوجي.

1. بيّن أن $\left(\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{2}{3}\right\}\right);\frac{4x+1}{3x-2}\ne \frac{4}{3}$.

2. بيّن أن $(\forall n\in \mathbb{N});\frac{6n+5}{4n+2}\notin \mathbb{N}$.

3. بيّن أن $(\forall x\in \mathbb{R});x-\sqrt{x^2+1}<0$.

لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $S_n=1+2+\cdots +n$.

1. احسب $S_1$، $S_2$ و $S_3$.

2. برهن بالتراجع أن $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast });S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

3. استنتج أن $n(n+1)$ زوجي.

4. احسب $S_{100}$.

1. أنشر الجداء $(n+2)(2n+3)$.

2. برهن بالتراجع أن $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast });1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

1. أثبت أن القضايا التالية خاطئة:

   $P_1:(\forall x\in \mathbb{R}):\sqrt{x^2}=x$

   $P_2:(\forall x\in \mathbb{R}):x^2\ge x$

2. أعط نفي القضية $(R):(\forall x\in \mathbb{R}):\left[x^2=2x\Rightarrow x=0\right]$

3. استنتج أن القضية $(R)$ خاطئة.

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x^2-3x+2$.

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=0$.

2. أعط نفي القضية $(P):\left(\forall (a,b)\in {\mathbb{R}}^2\right):\left[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\right]$

3. استنتج أن $(P)$ خاطئة.

4. احسب $f(1)$ و $f(-1)$، ثم استنتج أن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

حدد مجموعة تعريف الدوال التالية.

1. $f(x)=x^4-5x-2$

2. $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4}$

3. $f(x)=\sqrt{6-2x}$

4. $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$

5. $f(x)=\sqrt{x^2-5x}$

لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $S_n=1+2+\dots +n$.

1. احسب $S_1$، $S_2$ و $S_3$.

2. أثبت بالتراجع أن $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

3. استنتج أن $n(n+1)$ زوجي.

4. احسب $S_{100}$.

1. نشر الجداء $(n+2)(2n+3)$.

2. برهن بالتراجع أن $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

قضايا كمية خاطئة

أثبت أن القضايا التالية خاطئة.

1. $P_1:(\forall y\in \mathbb{R})(\exists x\in \mathbb{R}):x^2+xy+y^2=0$

2. $P_2:(\forall x\in \mathbb{R})(\exists y\in \mathbb{R}):x^2+y-2xy=0$

قضايا كمية صحيحة

أثبت أن القضايا التالية صحيحة.

1. $Q_1:(\forall x\in \mathbb{R})(\exists y\in \mathbb{R}):x+2y-3=0$

2. $Q_2:\left(\forall x\in [1;2]\right)\left(\exists y\in \left[\frac{1}{2};1\right]\right):x+2y-3=0$

مثال مضاد مثلثي

أثبت أن القضية التالية خاطئة.

$P_3:(\forall x\in \mathbb{R}):3\cos (x)\ne 2{\sin }^2(x)$

القابلية للقسمة على 3

أثبت أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : إذا كان $3$ يقسم $n^2$ فإن $3$ يقسم $n$.

توصيف الصفر

لتكن $a\in \mathbb{R}$. أثبت أن:

$\left(\forall \epsilon >0:|a|\le \epsilon \right)\Rightarrow a=0$

لاعقلانية الجذور

أثبت بالخلف أن:

1. $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$

2. $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$

تساوي الكسور

أثبت أنه لكل $a,b\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ :

$\frac{a}{b+1}=\frac{b}{a+1}\Rightarrow a=b$

التأطير والجداء

1. بيّن أنه من أجل كل $a\in [0;1]$ : $0\le a-a^2\le \frac{1}{4}$.

2. ليكن $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ و $x_1,x_2,\dots ,x_n$ أعداد حقيقية من $[0;1]$. نضع $A_n=x_1{x}_2\cdots x_n$ و $B_n=(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)$. بيّن أن $0\le A_n{B}_n\le \frac{1}{4^n}$، ثم أن $B_n\le \frac{1}{2^n}$ أو $A_n\le \frac{1}{2^n}$.

متباينات كلاسيكية

لتكن $a,b,c$ أعدادًا حقيقية.

1. أثبت أن $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

2. أثبت أن $a^2+b^2+ab\ge 0$.

3. استنتج أن $a^3+a=b^3+b\iff a=b$.

القابلية للقسمة على 4

أثبت أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : ($4$ يقسم $n^2$) أو ($4$ يقسم $n^2-1$).

معادلات تتضمن جذوراً

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات:

$(E_1):\sqrt{x-1}=x-2(E_2):\sqrt{25-x^2}=x+1$

الاستدلال بالتراجع والقابلية للقسمة

أثبت بالتراجع أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $9$ يقسم $4^n+6n-1$.

متراجحة برنولي

برهن بالتراجع أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ وكل $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ :

$(1+x{)}^n\ge 1+nx$

المضروبات والتلسكوب

من أجل $n\in \mathbb{N}$، نضع $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ مع $0!=1!=1$.

1. احسب $2!$ و $4!$ و $5!$.

2. نضع $U_k=k!$ من أجل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. أثبت أن $U_{k+1}-U_k=k\cdot (k!)$.

3. استنتج $S_n=1(1!)+2(2!)+\cdots +n(n!)$ بدلالة $n$.

المجاميع التلسكوبية

احسب بدلالة $n$ :

1. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$

2. $\sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}$

3. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$

الجداءات التلسكوبية

احسب بدلالة $n$ :

1. $\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)$

2. $\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$

ليكن P : "المتجر مفتوح" و Q : "يمكنني شراء الفاكهة منه". ما هي قيمة حقيقة P ⇒ Q إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة؟

ليكن P : "الطلاب ينجحون" و Q : "لقد درسوا". حدد ما إذا كانت P $\iff$ Q صحيحة أم خاطئة إذا كانت P صحيحة ولكن Q خاطئة.

لكل x $\in$ {1, 2, 3}, P(x) : "x عدد فردي". أوجد نفي العبارة: "لكل x, P(x) صحيحة".

نعتبر الاستلزام P ⇒ Q : "إذا ذهبت إلى السوق، فإنني أتسوق". اكتب الاستلزام المضاد العكسي و اشرح معناه.

ليكن P : "أذهب إلى السوق" و Q : "أشتري الخضروات". تحقق من صحة الاستلزام P ⇒ Q إذا ذهبت إلى السوق لكنني لم أشتر الخضروات.

بين أن ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) تكافئ $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x) بالنسبة لخاصية P(x).

بين أن إذا كانت P ⇒ Q صحيحة، فإن ¬Q ⇒ ¬P صحيحة أيضا.

ليكن P : "أذهب إلى السوق" و Q : "أشتري الخضروات". حدد قيمة حقيقة الاستلزام P ⇒ Q إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

ليكن P : "ينطلق القطار من الرباط" و Q : "يصل القطار إلى فاس". حدد ما إذا كانت P $\iff$ Q صحيحة إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

بين أن ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) تكافئ $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x).

بين أن الاستلزام P ⇒ Q خاطئ في الحالة التي تكون فيها P صحيحة و Q خاطئة. خذ P : "الأسواق مفتوحة" و Q : "الزبائن يشترون المنتجات".

ليكن P : "سيارات الأجرة بمراكش متوفرة" و Q : "توجد سيارات أجرة بمراكش". حدد ما إذا كانت P $\iff$ Q صحيحة أم خاطئة إذا كانت الاقتراحين صحيحين.

بالنسبة لجميع تلاميذ الأولى باكالوريا، هل العبارة التالية صحيحة: "جميع تلاميذ هذا القسم يحبون الرياضيات". استعمل المكمم $\forall$.

بالنسبة لنفس مجموعة الطلاب، عبر عن نفي القضية "جميع الطلاب يحبون الرياضيات".

لكل x $\in$ {1, 2, 3}, إذا كانت P(x) : "x عدد زوجي", حدد ما إذا كانت $\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x) صحيحة أم خاطئة.

في المجموعة E = {1, 3, 5, 7}، حدد ما إذا كانت العبارة $\exists$x $\in$ E, P(x) : "x عدد زوجي" صحيحة أم خاطئة.

بين أن ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) يكافئ $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x) حيث P(x) : "x عدد فردي".