Fonctions exponentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. الدالة الأسية

تعريف

الدالة الأسية، يُرمز لها بـ $exp$ أو $e^{x}$ ، هي الدالة العكسية للوغاريتم النيبيري.

$exp : R \to] 0, + \infty [$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (المشتقة هي نفسها!)
$e^{0} = 1$ ، $e^{1} = e$
$exp$ متزايدة تماماً، دائماً موجبة

العلاقة الأساسية

$e^{l n x} = x$ (إذا كان $x > 0$ )
$ln (e^{x}) = x$ (لكل $x$ )
$e^{x} = y \Leftrightarrow x = ln y$ (مع $y > 0$ )

II. الخصائص الجبرية

من أجل $a, b \in R$ ، $n \in Z$ :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$

III. النهايات المهمة

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ (المقارنة بين النمو — الأسية تفوز)
$x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$ (المقارنة بين النمو)

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

$(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

المعادلات

$e^{x} = a$ : إذا كان $a > 0$ ، فإن $x = ln a$ ؛ وإلا لا يوجد حل
$e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y$
التعويض $X = e^{x}$ للرجوع إلى معادلة كثيرة حدود

V. الدالة $a^{x}$ (القوة العامة)

من أجل $a > 0$ : $a^{x} = e^{x l n a}$ .

المشتقة : $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ .

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطى: لتكن $f (x) = (x - 1) e^{- x}$ على $R$ .
1) احسب $x \to - \infty lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ .
2) احسب $f^{'} (x)$ وأنشئ جدول التغيرات.

الحل:

1) عند $+ \infty$ : $f (x) = \frac{x - 1}{e ^{x}}$ . بالمقارنة بين النمو، $lim = 0$ .
عند $- \infty$ : $x - 1 \to - \infty$ و $e^{- x} \to + \infty$ ، إذن $f (x) \to - \infty$ .

2) $f^{'} (x) = e^{- x} + (x - 1) (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - (x - 1)) = (2 - x) e^{- x}$ .
$e^{- x} > 0$ ، إذن $f^{'}$ لها إشارة $2 - x$ .
$f$ متزايدة على $] - \infty, 2]$ ، متناقصة على $[2, + \infty [$ .
القيمة العظمى عند $x = 2$ : $f (2) = e^{- 2} \approx 0, 135$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $e^{a + b} = e^{a} + e^{b}$ . خطأ (إنها $e^{a} \times e^{b}$ ).
$(e^{u})^{'} = e^{u}$ . خطأ، يجب $u^{'} \cdot e^{u}$ .
الاعتقاد بأن $e^{x} = - 2$ لها حل. خطأ، $e^{x} > 0$ دائماً.
التطبيق الخاطئ للمقارنة بين النمو (الترتيب $ln ≪ x^{n} ≪ e^{x}$ ).
من أجل $a^{x}$ ، الاشتقاق كـ $x a^{x - 1}$ . خطأ، يجب المرور عبر $e^{x l n a}$ .

📈 Figure clé

Courbe de

e^{x}

🔑 Formules clés à retenir

التعريف : $exp = ln^{- 1}$

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ ، $e^{0} = 1$ ، $e^{x} > 0$

الخصائص :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = e^{a} / e^{b}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$

النهايات :

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} / x^{n} = + \infty$

المشتقة : $(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

المعادلة : $e^{x} = a$ (a > 0) $\Leftrightarrow x = ln a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $exp$ تحول المجموع إلى جداء. عكس $ln$ .
🎯 لحل $e^{2 x} + a \cdot e^{x} + b = 0$ : ضع $X = e^{x}$ وحل المعادلة الكثيرة الحدود في $X$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الدوال الأسية

النوع 1 : تبسيط تعبير يحتوي على $e^{x}$

متى؟ عندما يُطلب تبسيط أو تجميع تعبير يحتوي على أسيّات.

طبّق الخصائص: $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ ؛ $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ ؛ $(e^{a})^{n} = e^{na}$ ؛ $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .
القيم الأساسية: $e^{0} = 1$ و $e^{1} = e$ .
العلاقة التبادلية مع $ln$ : $e^{l n a} = a$ (من أجل $a > 0$ ) و $ln (e^{a}) = a$ .
أخرج العامل المشترك لأصغر قوة من $e$ عندما يكون ذلك مفيداً.

مثال سريع: $\frac{e ^{2 x} \times e ^{x}}{e ^{3 x}} = e^{2 x + x - 3 x} = e^{0} = 1$ .

النوع 2 : حل معادلة تحتوي على $e^{x}$

متى؟ معادلة من النوع $e^{A} = e^{B}$ ، $e^{A} = k$ ، أو تُرجع إلى متعددة حدود في $e^{x}$ .

$e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ (الدالة الأسية متزايدة تماماً وبالتالي تقابلية).
$e^{A} = k$ : ممكنة فقط إذا كان $k > 0$ ، عندئذ $A = ln k$ .
معادلة «مخفية»: ضع $X = e^{x}$ (مع $X > 0$ ) للحصول على متعددة حدود، ثم حلّها.
ارجع إلى $x = ln X$ واحتفظ فقط بالقيم $X > 0$ .

مثال سريع: $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ : نضع $X = e^{x}$ ، إذن $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ تعطي $X = 1$ أو $X = 2$ ، أي $x = 0$ أو $x = ln 2$ .

النوع 3 : حل متراجحة تحتوي على $e^{x}$

متى؟ متراجحة من النوع $e^{A} < e^{B}$ أو $e^{A} < k$ .

تذكّر أن $e^{x} > 0$ لكل عدد حقيقي $x$ (مفيد جداً لتحديد الإشارة).
التزايد التام: $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ (الاتجاه محفوظ).
$e^{A} < k$ : إذا كان $k \leq 0$ لا يوجد حل؛ إذا كان $k > 0$ فإن $A < ln k$ .
استنتج مجال الحلول.

مثال سريع: $e^{x} > 1 = e^{0}$ تكافئ $x > 0$ .

النوع 4 : حساب نهاية تحتوي على $e^{x}$ (المقارنات التزايدية)

متى؟ شكل غير معيّن من النوع $\frac{e ^{x}}{x}$ ، $x e^{x}$ ، أو نهاية عند $\pm \infty$ .

النهايات الأساسية: $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ و $x \to - \infty lim e^{x} = 0^{+}$ .
المقارنات التزايدية: $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ و $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ (الدالة الأسية «تتفوق» على القوة).
نهاية مرجعية: $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ .
بالنسبة لدالة مركبة، ضع $X = u (x)$ وارجع إلى نهاية معروفة.

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = + \infty$ لأن الدالة الأسية تتزايد أسرع من أي قوة لـ $x$ .

النوع 5 : اشتقاق دالة تحتوي على $e^{x}$

متى؟ عندما يُطلب مشتقة دالة تحتوي على أسية.

المشتقة الأساسية: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
دالة مركبة: $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (تُطبّق كلما كان هناك تعبير في الأس).
ادمج مع قواعد الجداء والقسمة إذا لزم الأمر.
أخرج $e^{u}$ كعامل مشترك (موجب تماماً دائماً) لدراسة إشارة $f^{'}$ .

مثال سريع: $f (x) = x e^{x}$ تعطي $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$ ، بإشارة $1 + x$ .

النوع 6 : دراسة كاملة لدالة تحتوي على $e^{x}$

متى؟ تمرين «دراسة وتمثيل $f$ » حيث $f$ تحتوي على أسية.

المجال: غالباً $R$ بأكمله (الدالة الأسية معرّفة في كل مكان).
النهايات عند الحدود $\pm \infty$ عبر المقارنات التزايدية، والبحث عن مقاربات.
اشتق باستخدام $u^{'} e^{u}$ ؛ بما أن $e^{u} > 0$ ، فإن إشارة $f^{'}$ هي إشارة العامل المتبقي.
جدول التغيرات، القيم القصوى، نقاط التقاطع مع المحاور، ثم التمثيل.

مثال سريع: $f (x) = x e^{x}$ : $x \to - \infty lim f = 0^{-}$ (مقارب $y = 0$ )، قيمة صغرى عند $x = - 1$ مع $f (- 1) = - \frac{1}{e}$ .

النوع 7 : الأسية بأساس $a$ ونماذج التطور

متى؟ سياق نمو/تناقص (سكان، تفكك إشعاعي) أو كتابة $a^{x}$ .

اكتب $a^{x} = e^{x l n a}$ (مع $a > 0$ ) للرجوع إلى الأسية بأساس $e$ .
للاشتقاق: $(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x}$ .
نموذج $N (t) = N_{0} e^{k t}$ : إذا كان $k > 0$ نمو، إذا كان $k < 0$ تناقص؛ استخدم $ln$ لحل $N (t) =$ قيمة مستهدفة.
نصف العمر: حل $N (t) = \frac{N _{0}}{2}$ ، مما يعطي $t = \frac{ln 2}{∣ k ∣}$ .

مثال سريع: $N (t) = N_{0} e^{- 0, 1 t}$ : نصف العمر يحقق $e^{- 0, 1 t} = \frac{1}{2}$ ، أي $t = \frac{ln 2}{0 , 1} \approx 6, 93$ .

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Asymptote horizontale en -∞

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = e^{x} + 2$ . Déterminer l'asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $- in f t y$ .

Ma réponse

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. الدالة الأسية

تعريف

العلاقة الأساسية

II. الخصائص الجبرية

III. النهايات المهمة

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

المعادلات

V. الدالة ax (القوة العامة)

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الدوال الأسية

النوع 1 : تبسيط تعبير يحتوي على ex

النوع 2 : حل معادلة تحتوي على ex

النوع 3 : حل متراجحة تحتوي على ex

النوع 4 : حساب نهاية تحتوي على ex (المقارنات التزايدية)

النوع 5 : اشتقاق دالة تحتوي على ex

النوع 6 : دراسة كاملة لدالة تحتوي على ex

النوع 7 : الأسية بأساس a ونماذج التطور

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale en -∞

Croissance comparée e^x/x

Dérivée d'un produit avec $e^x$

Dérivée de $e^{3x-1}$

Dérivée de $e^{-x^2}$

Équation e^x = e^3

Équation exponentielle

Tangente à l'exponentielle

Équation exponentielle simple

Simplification

Inéquation exponentielle

Simplification d'exponentielle

Équation exponentielle

Équation $e^x = a$

Simplification exponentielle

Résoudre une équation avec exp

Inéquation avec l'exponentielle

Inéquation simple e^x < e^a

Limite de e^x en +∞ et -∞

Limite de x·e^x en -∞

Limite (e^x − 1)/x en 0

Puissance (e^a)^n

Sens de variation de $e^{x}-x$

Simplification d'un quotient e^(a-b)

Simplification de e^(a+b)

Tangente à $e^{x}$ en $0$

Exercices Intermédiaires

Asymptote oblique avec e^x

Équation avec e^(-x)

Équation produit nul

Équation quadratique en e^x

Étude de $(x-1)e^{x}$

Substitution X = e^x

Croissance exponentielle (population)

Croissance comparée

Étude de $f(x) = (x-1) e^x$

Étude de $x e^x$

Étude $f(x) = e^x - x$

Limite et primitive

Dérivée d'exponentielle composée

Étude variations exponentielle

Dérivée d'une fonction avec exp

Limites et croissance comparée

Extremum de $(x^2-3)e^{x}$

Inéquation après factorisation

Inéquation quadratique en e^x

Limite avec e^x en +∞ et -∞

Limite e^(2x)/(e^x − 1)

Limite e^x/(x+1) en +∞

Limite (e^x − x)/(e^x + x)