Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير حول النهايات

النهايات الاعتيادية التي يجب حفظها

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ ، $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

II. الحالات غير المحددة الأربع

$\frac{0}{0}$ ← وضع $(x - a)$ كعامل مشترك أو استخدام النهايات المرجعية
$\frac{\infty}{\infty}$ ← وضع الحد المهيمن كعامل مشترك
$\infty - \infty$ ← وضع عامل مشترك أو الكمية المرافقة (إذا كانت جذور)
$0 \times \infty$ ← تحويل إلى $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$

III. الاستمرارية

تعريف

$f$ مستمرة في $a$ إذا كان $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

$f$ مستمرة على مجال $I$ إذا كانت مستمرة في كل نقطة من $I$ .

الدوال المستمرة عادة

كثيرات الحدود مستمرة على $R$
الدوال الكسرية مستمرة على مجال تعريفها
$sin, cos, \cdot, exp$ مستمرة على مجالات تعريفها
مجموع، جداء، مركبة دوال مستمرة = مستمرة

IV. الامتداد بالاستمرارية

إذا لم تكن $f$ معرفة في $a$ لكن $x \to a lim f (x) = ℓ$ موجودة ومنتهية، يمكن امتداد $f$ بوضع $\tilde{f} (a) = ℓ$ . الامتداد $\tilde{f}$ مستمر في $a$ .

V. مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)

الصياغة

إذا كانت $f$ مستمرة على $[a, b]$ وإذا كان $k$ محصورا بين $f (a)$ و $f (b)$ ، فإنه يوجد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f (c) = k$ .

نتيجة (TVI الصارمة / التقابل)

إذا كانت $f$ مستمرة ومتغيرة تغيرا رتيبا قطعيا على $[a, b]$ ، فإنه لكل $k$ محصور بين $f (a)$ و $f (b)$ ، يوجد $c \in [a, b]$ وحيد بحيث $f (c) = k$ .

التطبيق الكلاسيكي في الباكالوريا علوم تجريبية

"بين أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا وحيدا على $I$ ".

الطريقة:

تبرير أن $f$ مستمرة على $I$
تبرير أن $f$ متغيرة تغيرا رتيبا قطعيا (إشارة $f^{'}$ )
إثبات أن $f (a) \cdot f (b) < 0$
الاستنتاج بواسطة TVI الصارمة

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $f (x) = x^{3} + x - 1$ .
1) بين أن $f$ متزايدة تزايدا قطعيا على $R$ .
2) بين أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا وحيدا $α \in] 0, 1 [$ .

الحل:

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ لكل $x$ . إذن $f$ متزايدة تزايدا قطعيا على $R$ .

2) $f$ مستمرة (كثيرة حدود) ومتزايدة تزايدا قطعيا على $[0, 1]$ .
$f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ . إذن $f (0) \cdot f (1) < 0$ .
حسب TVI الصارمة، يوجد $α \in] 0, 1 [$ وحيد بحيث $f (α) = 0$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $\frac{0}{0} = 0$ : هذه حالة غير محددة، يجب رفعها.
تطبيق TVI دون تبرير الاستمرارية.
نسيان الرتابة القطعية في TVI الصارمة.
الاستنتاج "يوجد" بدلا من "يوجد وحيد" بينما المطلوب هو الوحدانية.
الخلط بين النهاية من اليسار ومن اليمين عند حدود مجال التعريف.

📈 Figure clé

Asymptotes :

x = 1

y = 2

🔑 Formules clés à retenir

النهايات الاعتيادية:

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

الحالات غير المحددة الأربع: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

الاستمرارية: $x \to a lim f (x) = f (a)$

TVI الصارمة:

$f$ مستمرة + متغيرة تغيرا رتيبا قطعيا + $f (a) f (b) < 0$

$\Rightarrow$ حل وحيد $α \in] a, b [$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 TVI الصارمة = 3 شروط إلزامية: مستمرة، متغيرة تغيرا رتيبا قطعيا، تغيير الإشارة.
🎯 إذا رأيت "حل وحيد"، فكر تلقائيا في TVI الصارمة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: رفع شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$ (كسور نسبية)

متى؟ تعوض بالقيمة وتحصل على $\frac{0}{0}$ (عند عدد حقيقي) أو $\frac{\infty}{\infty}$ (عند $\pm \infty$ ) مع متعددات حدود.

عند $\pm \infty$ : أخرج الحد ذا الدرجة الأعلى كعامل مشترك في البسط والمقام، ثم بسّط.
حيلة سريعة عند $\pm \infty$ : نهاية كسر نسبي تساوي نهاية خارج قسمة الحدود ذات الدرجة الأعلى.
عند عدد حقيقي $a$ يعطي $\frac{0}{0}$ : أخرج $(x - a)$ كعامل مشترك في البسط والمقام (جذر واضح)، ثم بسّط.
عوّض من جديد في العبارة المبسطة واستنتج.

مثال سريع: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

النوع 2: شكل غير محدد مع جذور (المرافق)

متى؟ لديك شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ أو $\infty - \infty$ والعبارة تحتوي على جذر تربيعي .

اضرب البسط والمقام في العبارة المرافقة (غيّر الإشارة بين الحدين).
استعمل المتطابقة $(A - B) (A + B) = A - B$ لإزالة الجذر.
بسّط العامل الذي ينعدم، ثم عوّض بالقيمة.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = x \to 0 lim \frac{1}{x + 1 + 1} = \frac{1}{2}$ .

النوع 3: نهاية بالمقارنة أو الحصر (مبرهنة الشرطيين)

متى؟ وجود $sin$ أو $cos$ أو جزء صحيح: الدالة محدودة لكنها متذبذبة، الحساب المباشر مستحيل.

احصر الجزء المحدود، مثلاً $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ .
اضرب/اقسم الحصر على الباقي (انتبه للإشارة التي تعكس المتراجحات).
احسب نهايتي الحدين: إذا كانتا متساويتين وتساويان $ℓ$ ، فمبرهنة الشرطيين تعطي النهاية $ℓ$ .
حالة $+ \infty$ : إذا كان $f (x) \geq g (x)$ و $g (x) \to + \infty$ ، فإن $f (x) \to + \infty$ .

مثال سريع: $0 \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{∣ x ∣}$ ، وبما أن $\frac{1}{∣ x ∣} \to 0$ عند $+ \infty$ ، فإن $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$ .

النوع 4: دراسة الاستمرارية عند نقطة

متى؟ يُطلب منك معرفة إذا كانت $f$ مستمرة عند $a$ ، غالباً لدالة معرفة بمجالات (تغيير الصيغة عند $a$ ).

تحقق من أن $a$ ينتمي إلى المجال واحسب $f (a)$ .
احسب النهاية على اليسار $x \to a^{-} lim f (x)$ والنهاية على اليمين $x \to a^{+} lim f (x)$ .
$f$ مستمرة عند $a$ إذا وفقط إذا $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ .
إذا اختلفت النهايتان أو اختلفتا عن $f (a)$ : $f$ غير مستمرة عند $a$ .

مثال سريع: $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ من أجل $x \neq = 1$ و $f (1) = 2$ : $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ ، إذن $f$ مستمرة عند $1$ .

النوع 5: الإطالة بالاستمرارية

متى؟ $f$ غير معرفة عند $a$ (غالباً شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ ) ويُطلب معرفة إذا كان يمكن إطالتها بشكل مستمر عند $a$ .

تحقق من أن $a \in / D_{f}$ لكن $a$ حد للمجال.
احسب $x \to a lim f (x)$ (ارفع الشكل غير المحدد).
إذا كانت هذه النهاية عدداً حقيقياً منتهياً $ℓ$ : الإطالة موجودة، نضع $g (a) = ℓ$ و $g (x) = f (x)$ في مكان آخر؛ $g$ مستمرة عند $a$ .
إذا كانت النهاية لا نهائية أو غير موجودة: لا توجد إطالة ممكنة.

مثال سريع: $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ غير معرفة عند $3$ ؛ $x \to 3 lim f (x) = 6$ ، إذن الإطالة $g (3) = 6$ مستمرة عند $3$ .

النوع 6: إثبات أن معادلة $f (x) = k$ تقبل حلاً (مبرهنة القيم المتوسطة)

متى؟ يُطلب إثبات وجود حل للمعادلة $f (x) = k$ (غالباً $k = 0$ ) على مجال، دون حسابه.

برر أن $f$ مستمرة على المجال $[a, b]$ (مجموع/جداء/خارج قسمة دوال مستمرة).
احسب $f (a)$ و $f (b)$ وتحقق من أن $k$ محصور بينهما، أي $f (a) < k < f (b)$ أو العكس (غالباً $f (a) \cdot f (b) < 0$ من أجل $k = 0$ ).
استنتج بمبرهنة القيم المتوسطة: يوجد على الأقل $c \in] a, b [$ بحيث $f (c) = k$ .
للوحدانية: أضف أن $f$ تزايدية أو تناقصية قطعاً على $[a, b]$ (نتيجة مبرهنة القيم المتوسطة).

مثال سريع: $f (x) = x^{3} + x - 1$ مستمرة، $f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ ، إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلاً في $] 0, 1 [$ .

النوع 7: نهاية دالة مركبة والنمو المقارن

متى؟ الدالة على شكل $g (u (x))$ (جذر، أس) أو تتعرف على نهاية مرجعية معتادة.

ضع $X = u (x)$ وحدد $x \to a lim u (x) = b$ .
احسب $X \to b lim g (X) = ℓ$ ، إذن $x \to a lim g (u (x)) = ℓ$ (تركيب النهايات).
أعد استعمال النهايات المرجعية، مثلاً $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ و $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .

مثال سريع: $x \to + \infty lim x^{2} + 1 = + \infty$ لأن $X = x^{2} + 1 \to + \infty$ و $X \to + \infty$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

69 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 69 corrigés

Exercices Faciles

24 exercices

Asymptote horizontale d'une fonction rationnelle

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{4 x - 7}{2 x + 1}$ . Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ et en déduire l'asymptote horizontale de la courbe en $+ \infty$ .

Ma réponse

Limites et continuité

Limites et continuité — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير حول النهايات

النهايات الاعتيادية التي يجب حفظها

II. الحالات غير المحددة الأربع

III. الاستمرارية

تعريف

الدوال المستمرة عادة

IV. الامتداد بالاستمرارية

V. مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)

الصياغة

نتيجة (TVI الصارمة / التقابل)

التطبيق الكلاسيكي في الباكالوريا علوم تجريبية

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: رفع شكل غير محدد 00​ أو ∞∞​ (كسور نسبية)

النوع 2: شكل غير محدد مع جذور (المرافق)

النوع 3: نهاية بالمقارنة أو الحصر (مبرهنة الشرطيين)

النوع 4: دراسة الاستمرارية عند نقطة

النوع 5: الإطالة بالاستمرارية

النوع 6: إثبات أن معادلة f(x)=k تقبل حلاً (مبرهنة القيم المتوسطة)

النوع 7: نهاية دالة مركبة والنمو المقارن

Limites et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale d'une fonction rationnelle

Continuité d'une fonction par morceaux

Continuité en un point

Existence d'une solution (TVI)

Forme 0/0 par factorisation

Image d'un intervalle par une fonction continue monotone

Limite usuelle sin x / x

Limite avec racine au dénominateur

Limite avec racine : conjugué

Limite d'une fonction irrationnelle simple en +∞

Limite d'une fonction rationnelle en +∞

Limite d'une fraction rationnelle en +∞

Limite rationnelle en −∞ (degré numérateur supérieur)

Continuité par morceaux

Limite par règle des polynômes

Continuité d'une fonction par morceaux

Limite en un point fini

FI infini sur infini

Forme indéterminée $\infty/\infty$

Limite avec polynôme et racine

Limite par factorisation

Limite à l'infini d'une fraction

Prolongement par continuité

Prolongement par continuité

Exercices Intermédiaires

Asymptote oblique d'une fonction rationnelle

Branche parabolique en +∞

Conjugué : √(x²+3x) − √(x²+x)

Détermination d'un paramètre pour la continuité

Différence racine - x en +∞

Direction d'une branche infinie irrationnelle

Existence d'une solution d'une équation

Existence et unicité par la monotonie

Forme indéterminée √(x²+x) − x

Image d'un intervalle non monotone

Image d'un intervalle ouvert

Prolongement par continuité

Limite avec valeur absolue (limites latérales)

Limite en -∞ avec racine carrée

Limite irrationnelle au dénominateur en −∞

TVI avec dichotomie

Limite par changement de variable

TVI pour racine d'équation

Limite avec changement de variable

Limite avec valeur absolue

Continuité et paramètre

Continuité en un point

Théorème des valeurs intermédiaires

النوع 1: رفع شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$ (كسور نسبية)

النوع 6: إثبات أن معادلة $f (x) = k$ تقبل حلاً (مبرهنة القيم المتوسطة)